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无极县第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

无极县第一中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 设全集 U={1,3,5,7,9},集合 A={1,|a﹣5|,9},? UA={5,7},则实数 a 的值是( A.2 A. B.8 C.﹣2 或 8 D.2 或 8 是定义在 上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( B. ) ) 2. 如果 )

座号_____

姓名__________

分数__________

C. D. 3. 已知命题 p:?x∈R,cosx≥a,下列 a 的取值能使“¬p”是真命题的是( A.﹣1 B.0 C.1 D.2

4. 设数集 M={x|m≤x≤m+ },N={x|n﹣ ≤x≤n},P={x|0≤x≤1},且 M,N 都是集合 P 的子集,如果把 b ﹣a 叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合 M∩N 的“长度”的最小值是( A. B. C. D. ) )

5. 若 a>0,b>0,a+b=1,则 y= + 的最小值是( A.2 B.3 C.4 D.5

6. 过点(2,﹣2)且与双曲线 A. ﹣ =1 B. ﹣

2 ﹣y =1 有公共渐近线的双曲线方程是(

) ﹣ =1 )

=1

C.



=1

D.

7. 设 i 是虚数单位, 是复数 z 的共轭复数,若 z A.﹣1﹣i B.1+i C.﹣1+i D.1﹣i

=2( +i),则 z=(

8. 已知 f(x)=4+ax﹣1 的图象恒过定点 P,则点 P 的坐标是( A.(1,5) B.(1,4) C.(0,4) D.(4,0)



9. 设 l,m,n 表示不同的直线,α,β,γ 表示不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m∥l,m⊥α,则 l⊥α; ②若 m∥l,m∥α,则 l∥α; ③若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则 l∥m∥n; ④若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,n∥β,则 l∥m. 其中正确命题的个数是( A.1 B.2 C.3 ) D.4

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10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 面积的最大值为 4 A.等腰三角形 A. 3 ,则此时△ABC 的形状为( B.正三角形 C.直角三角形
?

(acosB+bcosA)=2csinC,a+b=8,且△ABC 的

) D.钝角三角形 ) C. 3 或 2 3 ) D.2

11.在 ?ABC 中, b ? 3 , c ? 3 , B ? 30 ,则等于( B. 12 3

12.单位正方体(棱长为 1)被切去一部分,剩下部分几何体的三视图如图所示,则(

A.该几何体体积为

B.该几何体体积可能为 D.该几何体唯一

C.该几何体表面积应为 +

二、填空题
13.已知命题 p:实数 m 满足 m2+12a2<7am(a>0),命题 q:实数 m 满足方程 在 y 轴上的椭圆,且 p 是 q 的充分不必要条件,a 的取值范围为 凸多面体的体积是 . . + =1 表示的焦点

14.在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去 8 个三棱锥后,剩下的 15.“黑白配”游戏,是小朋友最普及的一种游戏,很多时候被当成决定优先权的一种方式.它需要参与游戏的 人(三人或三人以上)同时出示手势,以手心(白)、手背(黑)来决定胜负,当其中一个人出示的手势与其 它人都不一样时,则这个人胜出,其他情况,则不分胜负.现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏.设甲乙丙三 人每次都随机出“手心(白)、手背(黑)”中的某一个手势,则一次游戏中甲胜出的概率是 16.已知 tanβ= ,tan(α﹣β)= ,其中 α,β 均为锐角,则 α=
2 2





17.已知 a , b 为常数,若 f ? x ? ? x ? 4x+3,f ? ax ? b? ? x ?10x ? 24 ,则 5a ? b ? _________. 18.已知 f ? x ?1? ? 2x ? 8x ?11 ,则函数 f ? x ? 的解析式为_________.
2

三、解答题
19.已知椭圆 (Ⅰ)求椭圆 的方程; 的离心率 ,且点 在椭圆 上.

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(Ⅱ)直线 与椭圆 面积的最大值.

交于



两点,且线段

的垂直平分线经过点

.求



为坐标原点)

20.设 p:实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2<0,q:实数 x 满足|x﹣3|<1. (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若其中 a>0 且¬p 是¬q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

21.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 以坐标原点为极点,以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为方程为 r = 2 ( ? ? [0, ? ] ),直线 l 的参数方程为 í

ì ? x = 2 + t cos a ( t 为参数). ? y = 2 + t sin a ?

(I)点 D 在曲线 C 上,且曲线 C 在点 D 处的切线与直线 x + y +2=0 垂直,求点 D 的直角坐标和曲线 C 的参数方程; (II)设直线 l 与曲线 C 有两个不同的交点,求直线 l 的斜率的取值范围.

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22.本小题满分 10 分选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 f ( x) ? log2 ( x ?1 ? x ? 2 ? m) . Ⅰ当 m ? 7 时,求函数 f ( x) 的定义域; Ⅱ若关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 的解集是 R ,求 m 的取值范围.

23. 如图, 在四棱锥 中点, 为 的中点,且

中, 等边

所在的平面与正方形

所在的平面互相垂直,





(Ⅰ)求证: 平面 ; (Ⅱ)求二面角 的余弦值; (Ⅲ)在线段 上是否存在点 ,使线段 求出 的长,若不存在,请说明理由.



所在平面成

角.若存在,

24.设函数 f(x)=x3﹣6x+5,x∈R (Ⅰ)求 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f(x)=a 有 3 个不同实根,求实数 a 的取值范围.

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无极县第一中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:由题意可得 3∈A,|a﹣5|=3, ∴a=2,或 a=8, 故选 D. 2. 【答案】B 【解析】【知识点】函数的奇偶性 【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数,y=x 是奇函数,故 故答案为:B 3. 【答案】D 【解析】解:命题 p:?x∈R,cosx≥a,则 a≤1. 下列 a 的取值能使“¬p”是真命题的是 a=2. 故选;D. 4. 【答案】C 【解析】解:∵集 M={x|m≤x≤m+ },N={x|n﹣ ≤x≤n}, P={x|0≤x≤1},且 M,N 都是集合 P 的子集, ∴根据题意,M 的长度为 ,N 的长度为 , 当集合 M∩N 的长度的最小值时, M 与 N 应分别在区间[0,1]的左右两端, 故 M∩N 的长度的最小值是 故选:C. 5. 【答案】C 【解析】解:∵a>0,b>0,a+b=1, ∴y= + =(a+b) ∴y= + 的最小值是 4. 故选:C. 【点评】本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质,属于基础题. =2+ =4,当且仅当 a=b= 时取等号. = . 是偶函数。

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6. 【答案】A 【解析】解:设所求双曲线方程为 把(2,﹣2)代入方程
2 ﹣y =λ, 2 ﹣y =λ,

解得 λ=﹣2.由此可求得所求双曲线的方程为 故选 A.



【点评】本题考查双曲线的渐近线方程,解题时要注意公式的灵活运用. 7. 【答案】B 【解析】解:设 z=a+bi(a,b∈R),则 =a﹣bi, 由z =2( +i),得(a+bi)(a﹣bi)=2[a+(b﹣1)i],
2 2 整理得 a +b =2a+2(b﹣1)i.

则 所以 z=1+i. 故选 B.

,解得



【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算,考查了复数相等的条件,两个复数相等,当且仅当实部等于实 部,虚部等于虚部,是基础题. 8. 【答案】A
x 1 【解析】解:令 x﹣1=0,解得 x=1,代入 f(x)=4+a ﹣ 得,f(1)=5,

则函数 f(x)过定点(1,5). 故选 A. 9. 【答案】 B 【解析】解:∵①若 m∥l,m⊥α, 则由直线与平面垂直的判定定理,得 l⊥α,故①正确; ②若 m∥l,m∥α,则 l∥α 或 l?α,故②错误; ③如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 平面 ABB1A1∩平面 ABCD=AB, 平面 ABB1A1∩平面 BCC1B1=BB1, 平面 ABCD∩平面 BCC1B1=BC, 由 AB、BC、BB1 两两相交,得:

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若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则 l∥m∥n 不成立,故③是假命题; ④若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,n∥β, 则由 α∩γ=n 知,n?α 且 n?γ,由 n?α 及 n∥β,α∩β=m, 得 n∥m,同理 n∥l,故 m∥l,故命题④正确. 故选:B.

【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养. 10.【答案】A 【解析】解:∵ ∴ ∴ (acosB+bcosA)=2csinC,
2 (sinAcosB+sinBcosA)=2sin C,

sinC=2sin2C,且 sinC>0, , ,解得:ab≤16,(当且仅当 a=b=4 成立) =4 ,

∴sinC=

∵a+b=8,可得:8≥2

∵△ABC 的面积的最大值 S△ABC= absinC≤ ∴a=b=4, 则此时△ABC 的形状为等腰三角形. 故选:A. 11.【答案】C 【解析】

考 点:余弦定理. 12.【答案】C 【解析】解:由已知中三视图可得该几何体是由一个边长为 1 的正方体,截掉一个角(三棱锥)得到

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且该三棱锥有条过同一顶点且互相垂直的棱长均为 1 该几何体的表面积由三个正方形,有三个两直角边为 1 的等腰直角三角形和一个边长为 故其表面积 S=3?(1×1)+3?( ×1×1)+ 故选:C. 【点评】 本题考查的知识点是由三视图求表面积, 其中根据三视图分析出该几何的形状及各边边长是解答本题 的关键. ?(
2 )=

的正三角形组成



二、填空题
13.【答案】 [ , ] . 【解析】解:由 m ﹣7am+12a <0(a>0),则 3a<m<4a 即命题 p:3a<m<4a, 实数 m 满足方程 + =1 表示的焦点在 y 轴上的椭圆,
2 2





,解得 1<m<2, 若 p 是 q 的充分不必要条件, 则 解得 , ,

故答案为[ , ]. 【点评】本题考查充分条件、必要条件,一元二次不等式的解法,根据不等式的性质和椭圆的性质求出 p,q 的等价条件是解决本题的关键. 14.【答案】 .

【解析】解:在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去 8 个三棱锥, 8 个三棱锥的体积为: 剩下的凸多面体的体积是 1﹣ = . = .

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故答案为: . 【点评】本题考查几何体的体积的求法,转化思想的应用,考查空间想象能力计算能力. 15.【答案】 .

3 【解析】解:一次游戏中,甲、乙、丙出的方法种数都有 2 种,所以总共有 2 =8 种方案,

而甲胜出的情况有:“甲黑乙白丙白”,“甲白乙黑丙黑”,共 2 种, 所以甲胜出的概率为 故答案为 . 【点评】本题考查等可能事件的概率,关键是分清甲在游戏中胜出的情况数目. 16.【答案】 .

【解析】解:∵tanβ= ,α,β 均为锐角,

∴tan(α﹣β)=

=

= ,解得:tanα=1,

∴α=

. .

故答案为:

【点评】本题考查了两角差的正切公式,掌握公式是关键,属于基础题. 17.【答案】 【解析】 试题分析:由 f ? x ? ? x ? 4x+3,f ? ax ? b? ? x ?10x ? 24 ,得 (ax ? b)2 ? 4(ax ? b) ? 3 ? x2 ? 10 x ? 24 ,
2 2

?a 2 ? 1 ? 2 2 2 2 即 a x ? 2abx ? b ? 4ax ? 4b ? 3 ? x ? 10 x ? 24 ,比较系数得 ? 2ab ? 4a ? 10 ,解得 a ? ?1, b ? ?7 或 ?b 2 ? 4b ? 3 ? 24 ?
a ? 1, b ? 3 ,则 5a ? b ? .
考点:函数的性质及其应用. 【方法点晴】本题主要考查了函数的性质及其应用,其中解答中涉及到函数解析式的化简与运算,求解解析式

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中的代入法的应用和多项式相等问题等知识点的综合考查, 着重考查了学生分析问题和解答问题的能力, 以及 推理与运算能力,试题有一定难度,属于中档试题,本题的解答中化简 f (ax ? b) 的解析式是解答的关键. 18.【答案】 f ? x ? ? 2x2 ? 4x ? 5 【解析】 试题分析: 由题意得, 令 t ? x ?1 , 则 x ? t ?1, 则 f ?t ? ? 2(t ?1)2 ? 8(t ?1) ?11 ? 2t 2 ? 4t ? 5 , 所以函数 f ? x ? 的解析式为 f ? x ? ? 2x2 ? 4x ? 5 . 考点:函数的解析式.

三、解答题
19.【答案】 【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆 【试题解析】(Ⅰ)由已知 点 在椭圆上, ,解得 , .

所求椭圆方程为 (Ⅱ)设 当直线 , 的斜率 时, , 的垂直平分线过点 , 的斜率 存在.

当且仅当 当直线 的斜率 消去 由 . , , 时, 设 得:

时, .



的中点为

由直线的垂直关系有

,化简得



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由①②得 又 到直线 的距离为 ,

时, 由 即 综上: 20.【答案】 , 时, ; ,解得 ;

. ;

2 2 【解析】解:(1)由 x ﹣4ax+3a <0 得(x﹣3a)(x﹣a)<0

当 a=1 时,1<x<3,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1<x<3. 由|x﹣3|<1,得﹣1<x﹣3<1,得 2<x<4 即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x<4, 若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真, ∴实数 x 的取值范围是 2<x<3.
2 2 (2)由 x ﹣4ax+3a <0 得(x﹣3a)(x﹣a)<0,

若¬p 是¬q 的充分不必要条件, 则¬p?¬q,且¬q?¬p, 设 A={x|¬p},B={x|¬q},则 A?B, 又 A={x|¬p}={x|x≤a 或 x≥3a}, B={x|¬q}={x|x≥4 或 x≤2}, 则 0<a≤2,且 3a≥4 ∴实数 a 的取值范围是 21.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查圆的参数方程和极坐标方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识, 意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力. .

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(Ⅱ)设直线 l : y ? k ( x ? 2) ? 2 与半圆 x ? y ? 2( y ? 0) 相切时
2 2

| 2k ? 2 | 1? k 2

? 2

? k 2 ? 4k ? 1 ? 0 ,? k ? 2 ? 3 , k ? 2 ? 3 (舍去)
设点 B(? 2 ,0) , k AB

?

2?0 ?2? 2 , 2? 2

故直线 l 的斜率的取值范围为 (2 ? 3,2 ? 2 ] . 22.【答案】 【 解 析 】 Ⅰ 当 m ? 7 时 , 函 数 f ( x) 的 定 义 域 即 为 不 等 式 x ?1 ? x ? 2 ? 7 ? 0 的 解 集 .[ 来 由 于

? x ? ?1 ??1 ? x ? 2 ,或 ? , ? ? x (? 2 ?) ?7 0 ?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 7 ? 0 ??( x ? 1) ?x ? 2 或? . 所以 x ? ?3 ,无解,或 x ? 4 . ?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 7 ? 0
综上,函数 f ( x) 的定义域为 (??, ?3) ? (4, ??) Ⅱ若使 f ( x) ? 2 的解集是 R ,则只需 m ? ( x ? 1 ? x ? 2 ? 4)min 恒成立. 由于 x ?1 ? x ? 2 ? 4 ? ( x ?1) ? ( x ? 2) ? 4 ? ?1 所以 m 的取值范围是 (??, ?1] .

23.【答案】 【解析】【知识点】空间的角利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题垂直 【试题解析】(Ⅰ) 平面 平面 (Ⅱ)取 分别以 则
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是等边三角形, , . , 底面 是交线,

为 平面

的中点,

平面 的中点

是正方形,



两两垂直.

的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系, ,





设平面

的法向量为





, 平面 的法向量即为平面

, 的法向量 .

由图形可知所求二面角为锐角, (Ⅲ)设在线段 使线段 平面 与 上存在点 所在平面成 , ,解得 在线段 上存在点 24.【答案】 【解析】解:(Ⅰ) ∴当 ∴f(x)的单调递增区间是 当 ∴当 即方程 f(x)=α 有三解. ;当 的图象有 3 个不同交点, ,单调递减区间是 , ,当线段 , 角, , ,适合 时,与 所在平 面成 角. ,

的法向量为

(Ⅱ)由(Ⅰ)的分析可知 y=f(x)图象的大致形状及走向,

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