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高中数学人教a版选修4-4课时跟踪检测(十) 椭圆的参数方程 word版含解析

课时跟踪检测(十) 椭圆的参数方程 一、选择题 ?x=acos θ, ? 1. 椭圆? (θ 为参数), 若 θ∈[0,2π], 则椭圆上的点(-a,0)对应的 θ 等于( ? ?y=bsin θ ) A.π 解析:选 A ∵点(-a,0)中 x=-a, ∴-a=acos θ, ∴cos θ=-1,∴θ=π. π B. C.2π 2 3π D. 2 ? ?x=2cos t, π 2.已知椭圆的参数方程? (t 为参数),点 M 在椭圆上,对应参数 t= ,点 3 ?y=4sin t ? O 为原点,则直线 OM 的斜率为( A. 3 ) B.- 3 3 C.2 3 D.-2 3 解析:选 C 点 M 的坐标为(1,2 3), ∴kOM=2 3. x y x2 y2 3.直线 + =1 与椭圆 + =1 相交于 A,B 两点,该椭圆上点 P 使得△PAB 的面积 4 3 16 9 等于 4,这样的点 P 共有( A.1 个 个 解析:选 B 设椭圆上一点 P1 的坐标为(4cos θ,3sin θ),θ∈ ) B.2 个 C.3 个 D. 4 ?0,π?,如图所示,则 S 四边形 P1AOB=S△OAP1+S△OBP1 ? 2? 1 1 = ×4×3sin θ+ ×3×4cos θ 2 2 π? =6(sin θ+cos θ)=6 2sin? ?θ+4 ?. π 当 θ= 时,S 四边形 P1AOB 有最大值为 6 2. 4 所以 S△ABP1≤6 2-S△AOB=6 2-6<4. 故在直线 AB 的右上方不存在点 P 使得△PAB 的面积等于 4,又 S△AOB=6>4,所以在 8 直线 AB 的左下方,存在两个点满足到直线 AB 的距离为 ,使得 S△PAB=4. 5 故椭圆上有两个点使得△PAB 的面积等于 4. 2 ? ? ?x=cos θ-1, ?x=3cos t, ? 4.两条曲线的参数方程分别是 (θ 为参数)和? (t 为参数), 2 ?y=1+sin θ ?y=2sin t ? ? 则其交点个数为( A.0 解析:选 B ) B.1 C.0 或 1 D.2 2 ? ? ?x=cos θ-1, ?x=3cos t, x2 y2 ? 由? 得 x + y - 1 = 0( - 1 ≤ x ≤ 0,1 ≤ y ≤ 2) ,由 得 + = 1. 2 9 4 ?y=1+sin θ, ?y=2sin t ? ? 如图所示,可知两曲线交点有 1 个. 二、填空题 ?x=-4+2cos θ, ? 5.椭圆? (θ 为参数)的焦距为________. ? ?y=1+5sin θ ?x+4?2 ?y-1?2 解析:椭圆的普通方程为 + =1. 4 25 ∴c2=21,∴2c=2 21. 答案:2 21 6.实数 x,y 满足 3x2+4y2=12,则 2x+ 3y 的最大值是________. 解析:因为实数 x,y 满足 3x2+4y2=12, 所以设 x=2cos α,y= 3sin α,则 2x+ 3y=4cos α+3sin α=5sin(α+φ), 4 3 其中 sin φ= ,cos φ= . 5 5 当 sin(α+φ)=1 时,2x+ 3y 有最大值为 5. 答案:5 ? ?x=acos φ, 7.在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为? (φ 为参数,a>b>0), ? ?y=bsin φ 在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极 π? 2 轴)中, 直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为 ρsin? ?θ+4?= 2 m(m 为非零常数)与 ρ=b.若直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆 C 的离心率为____________. 解析:l 的直角坐标方程为 x+y=m,圆 O 的直角坐标方程为 x2+y2=b2,由直线 l 与 圆 O 相切, 得 m=± 2b. 从而椭圆的一个焦点为( 2b,0),即 c= 2b, c 6 所以 a= 3b,则离心率 e=a= . 3 答案: 6 3 三、解答题 5 ? ?x=4t2, ?x= 5cos θ, 8.已知两曲线参数方程分别为? (0≤θ<π)和? (t∈R),求它们 ?y=sin θ ?y=t ? 的交点坐标. ?x= 5cos θ 解:将? (0≤θ<π)化为普通方程,得 ?y=sin θ x2 2 +y =1(0≤y≤1,x≠- 5), 5 5 将 x= t2,y=t 代入,得 4 5 4 2 t +t -1=0, 16 4 解得 t2= , 5 ∴t= 2 5 5 54 (∵y=t≥0),x= t2= · =1, 5 4 45 ? 2 5?. ∴交点坐标为 1, 5 ? ? ?x=acos θ, ? 1 9.对于椭圆? (θ 为参数),如果把横坐标缩短为原来的a,再把纵坐标缩短 ?y=bsin θ ? ? ?x=cos θ, 1 为原来的 即得到圆心在原点,半径为 1 的圆的参数方程? (θ 为参数).那么,若 b ?y=sin θ ? 把圆看成椭圆的特殊情况,试讨论圆的离心率,并进一步探讨椭圆的离心率与椭圆形状的 关系. ? ?x=rcos θ, 解:设圆的参数方程为? (θ 为参数), ?y=rsin θ ? 如果将该圆看成椭圆, 那么在椭圆中对应的数值分别为 a=b=r, 所以 c= a2-b2=0, c 则离心率 e=a=0. 即把圆看成椭圆,其离心率为 0,而椭圆的离心率的范围是(0,1),可见椭圆的离心率越 小即越接近于 0,形状就越接近于圆,离心率越大,椭圆越扁. 10.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为 ?x= 3cos α, ? (α 为参数). ?y=sin α (1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O

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