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2015届高三数学寒假作业(15)(加油!寒假最后一卷!)


2015 届高三数学寒假作业(15)(加油!寒假最后一卷!)
一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分) 1.函数 y ?

x ?1 的定义域为__________________. 2? x

2.函数 y ? log3 ( x ? 1) 的反函数是__________________. 3.若五个数 a, 0, 1, 2, 3 的平均数为 1,则这五个数的方差等于__________________. 4.方程

cos x sin x ? 0 的解为__________________. sin x cos x
图(1)

5.若“条件 ? : 2 ? x ? 4 ”是“条件 ? : 3m ? 1 ? x ? ? m ”的充分条

件,则 m 的取值范围是__________________. 6.从一个底面半径和高都是 R 的圆柱中,挖去一个以圆柱的上底为底,下底面的中心为顶 点的圆锥, 得到一个如图 (1) 所示的几何体, 那么这个几何体的体积是_________________. 7.在等差数列 {an } 中, a1 ? a2 ? a3 ? 0, a4 ? a5 ? a6 ? 18 ,则数列

{an } 的通项公式为__________________.
8.在 ?ABC 中, AB ? 13, BC ? 4, ?ACB ? 60? ,则 AC 的长等 于__________________. 9.已知 ? ? [

? 2?
6 , 3

] ,则 sin ? 的取值范围是__________________.

10.执行如图(2)所示的程序框图,若输入 x ? 0 ,则输出 y 的值为 __________________. 11.已知方程 x ? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0 (a ? R) 有实数根 b ,则复数
2

a ? bi ? __________________.
12.世博期间,5 人去某地铁站参加志愿者活动,该地铁站有 4 个出 口,要求每个出口都要有志愿者服务,不同安排方法有 __________________种(用数值表示).

图(2)

(n为奇数) ? n ? n 13. 设定义 N 上的函数 f ( n) ? ? n ,an ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2 ) , f ( ) (n为偶数) ? ? 2
?

那么 an ?1 ? a n ? __________________.

— 1 —

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 16 分) 15. 若函数 f ( x) ? sin(x ? ? ) 是偶函数, 则 ? 可取的一个值为 A. ? ? ?? B. ? ? ? ( )

?
2

C. ? ? ?

?
4

D. ? ? ?

?
8
( )

16. 关于数列{an}有以下命题, 其中错误的命题为 A.若 n ? 2 且 an?1 ? an?1 ? 2an ,则 {an } 是等差数列

B.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 2Sn ? 1 ? an ,则数列 {an } 的通项 an ? (?1)n ?1 C.若 n ? 2 且 an?1an?1 ? an ,则 {an } 是等比数列 D.若 {an } 是等比数列,且 m,n,k ? N ? , m ? n ? 2k ,则 am an ? ak
2 2

17.一颗骰子连续掷两次,朝上的点数依次为 a 、 b ,使复数 (a ? bi)(b ? 4ai) 为实数的概率 是 A. ( ) B.

1 3

1 4

C.

1 6

D.

1 12

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 78 分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 19. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 已知向量 m ? (a x , ? a), n ? (a x , a) ,其中 a ? 0 且 a ? 1 , (1)当 x 为何值时, m ? n ; (2)解关于 x 的不等式 m ? n ? m ? n .

— 2 —

20. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 野营活动中, 学生在平地上用三根斜杆搭建一个正三棱锥形的三脚支架 P ? ABC (如图 3) 进行野炊训练. 已知 PC ? 130 cm , A 、 B 两点间距离为 50 3cm . (1)求斜杆 PC 与地面 ABC 所成角的大小(用反三角函数值表示) ; (2)将炊事锅看作一个点 Q ,用吊绳 PQ 将炊事锅吊起烧水(锅的大小忽略不计) ,若使炊事锅

Q 到地面 ABC 及各条斜杆的距离都不小于 30 cm ,试问吊绳 PQ 长的取值范围.

P

C A
图(3)

B

21. (本小题满分 16 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 10 分)

b ? 3, x ? [1,2] x (1) b ? 2 时,求 f ( x ) 的值域; (2) b ? 2 时, f ( x ) 的最大值为 M,最小值为 m,且满足: M ? m ? 4 ,求 b 的取值范围.
已知 f ( x ) ? x ?

— 3 —

22. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 已知函数 f ( x ) ,如果存在给定的实数对( a, b ) ,使得 f (a ? x) ? f (a ? x) ? b 恒成立, 则称 f ( x ) 为“S-函数”. (1)判断函数 f1( x) ? x, f 2 ( x) ? 3x 是否是“S-函数” ; (2)若 f 3 ( x) ? tan x 是一个“S-函数” ,求出所有满足条件的有序实数对 (a, b) ;

— 4 —

2015 届高三数学寒假作业(15)(加油!寒假最后一卷!) 答案:
1.函数 y ?

x ?1 的定义域为_____ [1,2) ? (2,??) _____. 2? x

2.函数 y ? log3 ( x ? 1) 的反函数是__ y ? 3 x ? 1 ( x ? R )___. 3.若五个数 a, 0, 1, 2, 3 的平均数为 1,则这五个数的方差等于______2_______. 4.方程

cos x sin x k? ? ? , (k ? Z ) ______. ? 0 的解为_____ x ? 2 4 sin x cos x
图(1)

5.若“条件 ? : 2 ? x ? 4 ”是“条件 ? : 3m ? 1 ? x ? ? m ”的充

分条件,则 m 的取值范围是____ (??,?4] _____. 6.从一个底面半径和高都是 R 的圆柱中,挖去一个以圆柱的上底为底,下底面的中心为顶 点的圆锥,得到一个如图(1)所示的几何体,那么这个几何体的体积是____ 7 .在等差数列 {an } 中, a1 ? a2 ? a3 ? 0, a4 ? a5 ? a6 ? 18 ,则数列

2? 3 R ____. 3

{an } 的通项公式为____ an ? 2n ? 4 _____.
8.在 ?ABC 中, AB ? 13, BC ? 4, ?ACB ? 60? ,则 AC 的长等于 ____1 或 3 ____. 9.已知 ? ? [

? 2?
6 ,

1 ] ,则 sin ? 的取值范围是____ [ ,1] ______. 2 3

10.执行如图(2)所示的程序框图,若输入 x ? 0 ,则输出 y 的值为 ______ ?

3 ________. 2
2

11 .已知方程 x ? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0 (a ? R) 有实数根 b ,则复数

图(2)

a ? bi ? ____ 2 ? 2i ____.
12.世博期间,5 人去某地铁站参加志愿者活动,该地铁站有 4 个出口,要求每个出口都要有 志愿者服务,不同安排方法有____240______种(用数值表示). 13. 设定义 N 上的函数 f ( n) ? ?
?

(n为奇数) ? n ? ,an ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2n ) , n f ( ) ( n 为偶数 ) ? ? 2

— 5 —

那么 an ?1 ? an ? ____ 4 _____.
n

15. 若函数 f ( x) ? sin(x ? ? ) 是偶函数, 则 ? 可取的一个值为 A. ? ? ?? B. ? ? ?

( D. ? ? ?

B



?
2

C. ? ? ?

?
4

?
8
C


16. 关于数列{an}有以下命题, 其中错误的命题为 A.若 n ? 2 且 an?1 ? an?1 ? 2an ,则 {an } 是等差数列



B.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 2Sn ? 1 ? an ,则数列 {an } 的通项 an ? (?1)n ?1 C.若 n ? 2 且 an?1an?1 ? an ,则 {an } 是等比数列 D.若 {an } 是等比数列,且 m,n,k ? N ? , m ? n ? 2k ,则 am an ? ak
2 2

17.一颗骰子连续掷两次,朝上的点数依次为 a 、 b ,使复数 (a ? bi)(b ? 4ai) 为实数的概率 是 A. (

D



1 3
得a
2x

B.

1 4

C.

1 6

D.

1 12

19 解: (1)因为 m ? n, 所以m ? n ? 0 ,??????????????????????2 分

? a 2 ? 0 ,即 a 2 x ? a 2 .????????????????????4 分

所以 2 x ? 2 ,即 x ? 1 ,∴当 x ? 1 时, m ? n .????????????6 分 (2)∵ m ? n ? m ? n ,∴ (m ? n) 2 ? (m ? n) 2 ,? m ? n ? 0 . 所以 a ? a ? 0 ,即 a ? a .???????????????????10 分 当 0 ? a ? 1 时, x ? 1 ,当 a ? 1 时, x ? 1 . 综上,当 0 ? a ? 1 时,不等式的解集为 (1,??) ;
2x 2 2x 2

当 a ? 1 时,不等式的解集为 (??,1) .??????????????14 分 20. ( 解: (1)设 P 点在平面 ABC 上的射影为点 O,连接 CO, CO ? 50 ,?????3 分

5 5 ,所以 ?PCO ? arccos .?5 分 13 13 5 即 PC 与底面 ABC 所成角的大小为 arccos .??6 分 P 13 (2)在 Rt△POC 中,解得 PO ? 120 , 作 QD ? PC 交 PC 于 D 点, QD 30 D ? ? 78 .??11 分 由 QD ? 30 ,得 PQ ? 5 sin ?QPD Q 13
在 Rt△POC 中, cos ?PCO ?

C

O

B

— 6 —

A

又 PQ ? 120 ? 30 ? 90 ,????????????13 分 故吊绳长度的取值范围为 [78,90] .????????14 分

得分

评卷人

21. (本小题满分 16 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 10 分) 已知 f ( x ) ? x ?

b ? 3, x ? [1,2] x

(1) b ? 2 时,求 f ( x ) 的值域; (2) b ? 2 时, f ( x ) 的最大值为 M,最小值为 m,且满足: M ? m ? 4 ,求 b 的取值范围. 解: (1)当 b=2 时, f ( x) ? x ?

2 ? 3, x ? [1,2] . x 因为 f ( x ) 在 [1, 2 ] 上单调递减,在 [ 2 ,2] 上单调递增, ????????2分
所以 f ( x ) 的最小值为 f ( 2 ) ? 2 2 ? 3 .????????????????4分 又因为 f (1) ? f (2) ? 0 ,???????????????????????5分 所以 f ( x ) 的值域为 [2 2 ? 3,0] .???????????????????6 分

(2) (ⅰ)当 2 ? b ? 4 时,因为 f ( x ) 在 [1, b ] 上单调递减,在 [ b ,2] 上单调递增. 所以 M= max{f (1), f (2)} ? b ? 2, m ? f ( b ) ? 2 b ? 3.

M ? m ? b ? 2 b ? 1 ? 4 ,得 ( b ? 1) 2 ? 4 . 即 b ? 9 ,与 2 ? b ? 4 矛盾.???????????????????11 分 (ⅱ) b ? 4 时, f ( x ) 在[1,2]上单调递减. b b M=b-2, m ? ? 1 ,M - m= ? 1 ? 4 ,即 b ? 10 .?????????16 分 2 2

22 解: (1)若 f1 ( x) ? x 是“S-函数” ,则存在常数 (a, b) ,使得 (a+x)(a-x)=b. 2 2 即 x =a -b 时,对 x?R 恒成立.而 x2=a2-b 最多有两个解,矛盾, 因此 f1 ( x) ? x 不是“S-函数”.????????????????????3 分 若 f 2 ( x) ? 3 是“S-函数” ,则存在常数 a,b 使得 3 2a 即存在常数对(a, 3 )满足.
x x
a? x

? 3a? x ? 32a ,

因此 f 2 ( x) ? 3 是“S-函数”?????????????????????6 分 (2) f 3 ( x) ? tan x 是一个“S-函数” ,设有序实数对(a, b)满足: 则 tan(a-x)tan(a+x)=b 恒成立. 当 a= k? ?

?

2

, k ? Z 时,tan(a-x)tan(a+x)= -cot2(x),不是常数.????????7 分

因此 a ? k? ?

?
2

, k ? Z , x ? m? ?

?
2

, m?Z ,

— 7 —

tana ? tan x tana ? tan x tan2 a ? tan2 x ? ? ?b. 1 ? tana ? tan x 1 ? tana ? tan x 1 ? tan2 a tan2 x 即 (b ? tan2 a ? 1) tan2 x ? (tan2 a ? b) ? 0 恒成立. ???????????9 分 ? ? 2 2 ? ?b ? tan a ? 1 ? 0 ?tan a ? 1 ?a ? k? ? ?? ?? 即? 4, k ?Z , 2 ? ?b ? 1 ?tan a ? b ? 0 ? ?b ? 1 ? ? 当 x ? m? ? , m ? Z , a ? k? ? 时,tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1. 2 4 ? 因此满足 f 3 ( x) ? tan x 是一个“S-函数”的常数(a, b)= ( k? ? ,1), k ? Z .?12 分 4
则有

— 8 —


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