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圆与相似形的证明题


中考辅导班数学资料(七)

圆与相似形的证明题 1.如图,AD 是△ABC 的高,AE 是△ABC 的外接圆直径. 求证:ABAC = AEAD 证明:连结 BE ∵ AE⊙O 的直径,AD⊥BC ∴ ∠ABE = ∠ ∵ ∠E = ∠ ∴ △ABE ∽ △ ∴ = 90°

( (

)=( ) (

) )

∴ ABAC = AEAD 2.如图,由直径 AB 的端点 A 引两弦 AC、AD,延长 AC、AD 和过 B 点的切线分别交 于 E、F 求证:
EF AF = CD AC

证明:连结 CB ∵ AB 是直径,EF 与圆相切于点 B ∴ ∠ACB = ∠ABE = 90° ∴ ∠EAB + ∠E = ∠EAB + ∠ABC = ∴ ∠ABC = ∠ 又 ∵ ∠ABC = ∠ ∴ ∠ = ∠ 90°

∵ ∠CAD = ∠FAE ∴ △ ∴
EF AF = CD AC

∽ △

3.如图,已知 D 为△ABC 的 BC 边上一点,且∠ADB = ∠BAC, 过 D、C 的圆交 AC 于 E,连 BE,与圆交于 F 点。 求证:AB 2 = BFBE 证明: ∵ ∠ADB = ∠BAC,∠ABD = ∠ABC ∴ △ ∽ △
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∴ ∴

( (

)=( ) (

) )

∵ BDBC = BFBE ∴ AB 2 = BFBE 4. 如图,已知 AD 是圆的弦, BD = CD ,DE 是圆的切线且与弦 AB 的延长线相交于点 E. 求证:AD 2 = ACAE 证明:连结 BD

5. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠BAC 的平分线与 BC 边和外接圆分别相交于 D 和 E. 求证:ADEC = ACBD 证明:

6. 如图,AB 为⊙O 的直径,CF⊥AB 于 E,交⊙O 于 D,AF 交⊙O 于 G. 求证:ACDG = AGDF 证明:连结 CG

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7. 如图,PD 切⊙O 于 D,PC = PD,B 为⊙O 上一点,PB 交⊙O 于 A,连结 AC、BC. 求证:ACPB = PCBC 证明:

8. 如图,⊙O 是弦 AB∥CD,延长 DC 到 E,EB 延长线交⊙O 于 F,连结 DF. 求证:ADED = BEDF 证明:连结 CB

9. 如图,CD 切⊙O 于 P,PE⊥AB 于 E,AC⊥CD,BD⊥CD. 求证:① PE:AC = PB:PA; ② PE
2

= ACBD

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10. 如图,△ABC 内接于⊙O,⊙O 的直径 BD 交 AC 于 E,AF⊥BD 于 F,延长 AF 交 BC 于 G. 求证:AB
2

= BGBC

证明:连结 AD

11. 如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD 垂直 AB 于 M,P 是 CD 延长线上一点,PE 切⊙O 于 E,BE 交 CD 于 F. 求证:PF
2

= PDPC

证明:连结 AE

12. 如图,△ABC 中,AB = AC,O 是 BC 上一点,以 O 为圆心,OB 长为半径的圆与 AC 相切 于点 A,过点 C 作 CD⊥BA,垂足为 D. 求证:① ∠DAC = 2∠B;
2 ② CA = CDCO

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13. 如图,⊙O 1 和⊙O 2 相交于点 A 和点 B,且 O 1 在⊙O 2 上;过点 A 的直线 CD 分别与 ⊙O 1 、⊙O 2 交于点 C、D,过点 B 的直线 EF 分别与⊙O 1 、⊙O 2 交于点 E、F,⊙O 2 的弦 O 1 D 交 AB 于 P. 求证:① CE∥DF; 证明: ② O 1 A2 = O 1 PO 1 D

14. 如图,圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC 平分∠BCD,BD 交 AC 于点 F,过点 A 作圆的切 线 AE 交 CB 的延长线于 E. 求证:①AE∥BD; 证明: ②AD
2

= DFAE

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15. 已知:

,过点 D 作直线交 AC 于 E,交 BC 于 F,交 AB 的延长线于 G,经过 B、

G、F 三点作⊙O,过 E 作⊙O 的切线 ET,T 为切点. 求证:ET = ED 证明:

16. 如图,AB、AC 分别切⊙O 于 M、N,且 BE = EF = FC. 求证:AB = AC 证明:

17. 如图,⊙O 的两弦 AB、CD 相交于 E,过 E 作 BC 的平行线,交 AD 的延长线于 F,过 F 点作圆的切线 FG,G 为切点. 求证:FG = FE

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18. 如图,⊙O 与⊙O′外切于点 P,AB 是外公切线,切点是 A、B,AP 的延长线交⊙O′于 C,CD 切⊙O 于 D. 求证:BC = CD 证明:

19. 如图,A 是⊙O 上一点,割线 PC 交⊙O 于 B、C 两点,D 是 PC 上的一点,且 PD 是 PB 和 PC 的比例中项,PD = PA,连结 AD,并延长交⊙O 于点 E. 求证:BE = CE 证明:

20. 如图,△ABC 中,AC = BC,以 BC 为直径的圆与 AB、AC 分别交于 P、Q,过 P 的切线交 AC 于 M. 求证:① PM⊥AC; ②AM = MQ

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