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湛河区第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

湛河区第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. △ ABC 的外接圆圆心为 O,半径为 2, A.﹣3 B.﹣ 2. C. D.3 ) D.与无公共点 + + = ,且| |=| |, 在 方向上的投影为( )

姓名__________

分数__________

已知直线 a 平面 ? ,直线 b ? 平面 ? ,则(
B.与异面 )

A. a b

C.与相交

3. 下列命题的说法错误的是(

A.若复合命题 p∧q 为假命题,则 p,q 都是假命题 B.“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 C.对于命题 p:? x∈R,x2+x+1>0 则¬p:? x∈R,x2+x+1≤0 D.命题“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x2﹣3x+2≠0” 4. 执行如图所示的程序框图,若 a=1,b=2,则输出的结果是( )

A.9

B.11

C.13

D.15 ) )

5. 在△ ABC 中,a2=b2+c2+bc,则 A 等于( A.120° B.60° C.45° D.30°

6. ?ABC 中,“ A ? B ”是“ cos 2 B ? cos 2 A ”的( A. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【命题意图】 本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识, 意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 7. 拋物线 E:y2=2px(p>0)的焦点与双曲线 C:x2-y2=2 的焦点重合,C 的渐近线与拋物线 E 交于非原 点的 P 点,则点 P 到 E 的准线的距离为( )

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A.4 C.8 8. 记

B.6 D.10

,那么

A B C D
9. 若复数 z 满足 =i,其中 i 为虚数单位,则 z=( D.﹣1+i 时,z=x﹣y 的最大值为( D.2 ) ) )

A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i 10.已知 x,y 满足 A.4 B.﹣4 C.0

11.以下四个命题中,真命题的是( A. ?x ? (0,? ) , sin x ? tan x

B.“对任意的 x ? R , x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“存在 x0 ? R , x02 ? x0 ? 1 ? 0 C. ?? ? R ,函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 都不是偶函数 D. ?ABC 中,“ sin A ? sin B ? cos A ? cos B ”是“ C ?

?
2

”的充要条件

【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识,意在考查逻辑推理能力. 12.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如表所示: 平均环数 x 方差 ss A.甲 B.乙 甲 8.3 3.5 C.丙 D.丁 乙 8.8 3.6 丙 8.8 2.2 丁 8.7 5.4 )

从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛,最佳人选是(

二、填空题

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13.在(1+x)(x2+ )6 的展开式中,x3 的系数是



14.“黑白配”游戏,是小朋友最普及的一种游戏,很多时候被当成决定优先权的一种方式.它需要参与游戏的 人(三人或三人以上)同时出示手势,以手心(白)、手背(黑)来决定胜负,当其中一个人出示的手势与其 它人都不一样时,则这个人胜出,其他情况,则不分胜负.现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏.设甲乙丙三 人每次都随机出“手心(白)、手背(黑)”中的某一个手势,则一次游戏中甲胜出的概率是 .

15.设 16.向区域

,则

的最小值为

。 .

内随机投点,则该点与坐标原点连线的斜率大于 1 的概率为

?y ? m ? 17.设 m ? R ,实数 x , y 满足 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,若 2 x ? y ? 18 ,则实数 m 的取值范围是___________. ?3x ? 2 y ? 6 ? 0 ?
【命题意图】本题考查二元不等式(组)表示平面区域以及含参范围等基础知识,意在考查数形结合的数学思 想与运算求解能力. 18.某种产品的加工需要 A,B,C,D,E 五道工艺,其中 A 必须在 D 的前面完成(不一定相邻),其它工 艺的顺序可以改变,但不能同时进行,为了节省加工时间,B 与 C 必须相邻,那么完成加工该产品的不同工 艺的排列顺序有 种.(用数字作答)

三、解答题
19.已知函数 f(x)= (a>0)的导函数 y=f′(x)的两个零点为 0 和 3.

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若函数 f(x)的极大值为 ,求函数 f(x)在区间[0,5]上的最小值.

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20.已知直线 l:x﹣y+9=0,椭圆 E:

+

=1,

(1)过点 M( , )且被 M 点平分的弦所在直线的方程; (2)P 是椭圆 E 上的一点,F1、F2 是椭圆 E 的两个焦点,当 P 在何位置时,∠F1PF2 最大,并说明理由; (3)求与椭圆 E 有公共焦点,与直线 l 有公共点,且长轴长最小的椭圆方程.

21.选修 4﹣5:不等式选讲 已知 f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣2≤x≤1}. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若 恒成立,求 k 的取值范围.

22.【淮安市淮海中学 2018 届高三上第一次调研】已知函数 f ? x ? ? (1)当 a ? b ? 1 时,求满足 f ? x ? ? 3 的 x 的取值;
x

?3x ? a . 3x ?1 ? b

(2)若函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数

2 2 ①存在 t ? R ,不等式 f t ? 2t ? f 2t ? k 有解,求 k 的取值范围;

?

?

?

?

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②若函数 g ? x ? 满足 f ? x ? ? ? ? g ? x ? ? 2? ?? 求实数 m 的最大值.

1 ?x 3 ? 3x , 若对任意 x ? R , 不等式 g ? 2x ? ? m ? g ? x ? ?11恒成立, 3

?

?

23. 本小题满分 12 分如图, 在边长为 4 的菱形 ABCD 中,?BAD ? 60 , 点 E 、F 分别在边 CD 、CB 上. 点

E 与点 C 、D 不重合, EF ? AC , EF
平 面 ABFED . Ⅰ求 证 : BD ? 平 面 P O A;

AC ? O ,沿 EF 将 ?CEF 翻折到 ?PEF 的位置,使平 面 PEF ?

Ⅱ记 三 棱 锥 P ? A B D 的 体 积 为 V1 ,四 棱 锥 P ? BDEF 的 体 积 为 V2 ,且
D E A O F B C

P

V1 4 求此时线段 PO 的长. ? , V2 3

D A B F O

E C

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a , (a ? R) . (Ⅰ)若当 0 ? x ? 4 时, f ( x) ? 2 恒成立,求实数 a 的取值; (Ⅱ)当 0 ? a ? 3 时,求证: f ( x ? a) ? f ( x ? a) ? f (ax) ? af ( x) .

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湛河区第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:由题意, + + = ,得到 ,又| |=| |=| |,△OAB 是等边三角形,所以四边

形 OCAB 是边长为 2 的菱形, 所以 在 方向上的投影为 ACcos30°=2× = ;

故选 C.

【点评】本题考查了向量的投影;解得本题的关键是由题意,画出图形,明确四边形 OBAC 的形状,利用向 量解答. 2. 【答案】D 【解析】 试题分析:因为直线 a 平面 ? ,直线 b ? 平面 ? ,所以 a // b 或与异面,故选 D. 考点:平面的基本性质及推论. 3. 【答案】A 【解析】解:A.复合命题 p∧q 为假命题,则 p,q 至少有一个命题为假命题,因此不正确; B.由 x2﹣3x+2=0,解得 x=1,2,因此“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件,正确; C.对于命题 p:?x∈R,x2+x+1>0 则¬p:?x∈R,x2+x+1≤0,正确; D.命题“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x2﹣3x+2≠0”,正确. 故选:A.

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4. 【答案】C 【解析】解:当 a=1 时,不满足退出循环的条件,故 a=5, 当 a=5 时,不满足退出循环的条件,故 a=9, 当 a=9 时,不满足退出循环的条件,故 a=13, 当 a=13 时,满足退出循环的条件, 故输出的结果为 13, 故选:C 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答. 5. 【答案】A 【解析】解:根据余弦定理可知 cosA=
2 2 2 ∵a =b +bc+c , 2 2 2 ∴bc=﹣(b +c ﹣a )

∴cosA=﹣ ∴A=120° 故选 A 6. 【答案】A. 【解析】在 ?ABC 中 cos 2B ? cos 2 A ? 1 ? 2sin B ? 1 ? 2sin A ? sin A ? sin B ? sin A ? sin B
2 2 2 2

? A ? B ,故是充分必要条件,故选 A.
7. 【答案】 x2 y2 p 【解析】解析:选 D.双曲线 C 的方程为 - =1,其焦点为(± 2,0),由题意得 =2, 2 2 2 ∴p=4,即拋物线方程为 y2=8x, 双曲线 C 的渐近线方程为 y=± x,
2 ? ?y =8x 由? ,解得 x=0(舍去)或 x=8,则 P 到 E 的准线的距离为 8+2=10,故选 D. x ? y =± ?

8. 【答案】B 【解析】【解析 1】 ,

所以 【解析 2】 ,

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9. 【答案】A 【解析】解: 可得 z=1﹣i. 故选:A. 10.【答案】A 【解析】解:由约束条件 作出可行域如图, =i,则 =i(1﹣i)=1+i,

联立

,得 A(6,2),

化目标函数 z=x﹣y 为 y=x﹣z, 由图可知,当直线 y=x﹣z 过点 A 时,直线在 y 轴上的截距最小,z 有最大值为 4. 故选:A. 【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 11.【答案】D

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12.【答案】C 【解析】解:∵甲、乙、丙、丁四人的平均环数乙和丙均为 8.8 环,最大, 甲、乙、丙、丁四人的射击环数的方差中丙最小, ∴丙的射击水平最高且成绩最稳定, ∴从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛, 最佳人选是丙. 故选:C. 【点评】本题考查运动会射击项目比赛的最佳人选的确定,是基础题,解题时要认真审题,注意从平均数和方 差两个指标进行综合评价.

二、填空题
13.【答案】 20 .
2 6 【解析】解:(1+x)(x + ) 的展开式中,

x3 的系数是由(x2+ )6 的展开式中 x3 与 1 的积加上 x2 与 x 的积组成;
2 6 又(x + ) 的展开式中,

通项公式为 Tr+1=

?x12﹣3r,

令 12﹣3r=3,解得 r=3,满足题意; 令 12﹣3r=2,解得 r=
3

,不合题意,舍去; =20.

所以展开式中 x 的系数是 故答案为:20.

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14.【答案】



3 【解析】解:一次游戏中,甲、乙、丙出的方法种数都有 2 种,所以总共有 2 =8 种方案,

而甲胜出的情况有:“甲黑乙白丙白”,“甲白乙黑丙黑”,共 2 种, 所以甲胜出的概率为 故答案为 . 【点评】本题考查等可能事件的概率,关键是分清甲在游戏中胜出的情况数目. 15.【答案】9 【解析】由柯西不等式可知 16.【答案】 .

【解析】解:不等式组

的可行域为:

由题意,A(1,1),∴区域 =( x3) 由 = ,

的面积为

,可得可行域的面积为:1

= ,

∴坐标原点与点(1,1)的连线的斜率大于 1,坐标原点与 与坐标原点连线的斜率大于 1 的概率为: 故答案为: . =

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【点评】本题考查线性规划的应用,几何概型,考查定积分知识的运用,解题的关键是利用定积分求面积. 17.【答案】 [?3, 6] . 【 解 析 】

18.【答案】 24

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【解析】解:由题意,B 与 C 必须相邻,利用捆绑法,可得 故答案为:24.

=48 种方法,

因为 A 必须在 D 的前面完成,所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 48÷2=24 种, 【点评】本题考查计数原理的应用,考查学生的计算能力,比较基础.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:f′(x)=
2 令 g(x)=﹣ax +(2a﹣b)x+b﹣c 2 函数 y=f′(x)的零点即 g(x)=﹣ax +(2a﹣b)x+b﹣c 的零点 2 即:﹣ax +(2a﹣b)x+b﹣c=0 的两根为 0,3



解得:b=c=﹣a,

令 f′(x)>0 得 0<x<3 所以函数的 f(x)的单调递增区间为(0,3), (2)由(1)得: 函数在区间(0,3)单调递增,在(3,+∞)单调递减, ∴ ∴a=2, ∴ ; , ,

∴函数 f(x)在区间[0,4]上的最小值为﹣2. 20.【答案】 【解析】解:(1)设以点 M( , )为中点的弦的端点为 A(x1,y1),B(x2,y2), ∴x1+x2=1,y1+y2=1, 把 A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆 E: + =1,

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,∴kAB=

=﹣

=﹣ ,

∴直线 AB 的方程为 y﹣ =﹣ (x﹣ ),即 2x+8y﹣5=0. (2)设|PF1|=r1,|PF2|=r1, 则 cos∠F1PF2= 又 r1r2≤( =
2 2 ) =a (当且仅当 r1=r2 时取等号)

﹣1=

﹣1=

﹣1,

∴当 r1=r2=a,即 P(0, (3)∵ =12,

)时,cos∠F1PF2 最小, =9. + =1(a2>9),

又∠F1PF2∈(0,π),∴当 P 为短轴端点时,∠F1PF2 最大. =3,∴

则由题意,设所求的椭圆方程为

2 2 2 2 4 将 y=x+9 代入上述椭圆方程,消去 y,得(2a ﹣9)x +18a x+90a ﹣a =0, 2 2 2 2 4 依题意△=(18a ) ﹣4(2a ﹣9)(90a ﹣a )≥0, 2 2 化简得(a ﹣45)(a ﹣9)≥0, 2 2 ∵a ﹣9>0,∴a ≥45,

故所求的椭圆方程为

=1.

【点评】本题考查直线方程、椭圆方程的求法,考查当 P 在何位置时,∠F1PF2 最大的判断与求法,是中档题, 解题时要认真审题,注意根的判别式、余弦定理、椭圆性质的合理运用. 21.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由|ax+1|≤3 得﹣4≤ax≤2 ∵不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣2≤x≤1}. ∴当 a≤0 时,不合题意; 当 a>0 时, ∴a=2; (Ⅱ)记 , ,

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∴h(x)=

∴|h(x)|≤1 ∵ ∴k≥1. 【点评】本题考查绝对值不等式的解法,考查恒成立问题,将绝对值符号化去是关键,属于中档题. 22.【答案】(1) x ? ?1 (2)① ? ?1, ?? ? ,②6 恒成立,

【解析】
2 ?3 ? 1 x ? 3 ,化简得 3 ? ? 3x ? ? 2 ? 3x ? 1 ? 0 x ?1 3 ?1 1 x x 解得 3 ? ?1? 舍 ? 或3 ? , 3 所以 x ? ?1

试题
x

解析:(1)由题意,

(2)因为 f ? x ? 是奇函数,所以 f ? ?x ? ? f ? x ? ? 0 ,所以
x ?x 化简并变形得: ? 3a ? b ? 3 ? 3 ? 2ab ? 6 ? 0

?

?

?3x ? a ?3x ? a ? ?0 3? x ?1 ? b 3x ?1 ? b

要使上式对任意的 x 成立,则 3a ? b ? 0且2ab ? 6 ? 0 解得: {

a ?1 a ? ?1 a ? ?1 ,因为 f ? x ? 的定义域是 R ,所以 { 舍去 或{ b?3 b ? ?3 b ? ?3

所以 a ? 1, b ? 3 ,所以 f ? x ? ?

?3x ? 1 3x ?1 ? 3

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?3x ? 1 1 ? 2 ? ? ? ?1 ? x ? x ?1 3 ?3 3? 3 ?1 ? 对任意 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 有:
① f ? x? ?

1? 2 2 ? 2? 3x2 ? 3x1 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? x1 ? ?? 3 ? 3 ? 1 3x2 ? 1 ? 3 ? 3x1 ? 1 3x2 ? 1 ? x2 x1 因为 x1 ? x2 ,所以 3 ? 3 ? 0 ,所以 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,

?

??

?

? ? ? ?

因此 f ? x ? 在 R 上递减.

因为 f t 2 ? 2t ? f 2t 2 ? k ,所以 t 2 ? 2t ? 2t 2 ? k ,
2 即 t ? 2t ? k ? 0 在

?

?

?

?

时有解

所以 ? ? 4 ? 4t ? 0 ,解得: t ? ?1 , 所以 的取值范围为 ? ?1, ?? ? ②因为 f ? x ? ? ? ? g ? x ? ? 2? ?? 即 g ? x? ? 3 ? 3
x ?x

1 ?x 3? x ? 3x 3 ? 3x ,所以 g ? x ? ? ?2 3 3 f ? x?

?

?

所以 g ? 2 x ? ? 32 x ? 3?2 x ? 3x ? 3? x

?

?

2

?2

不等式 g ? 2x ? ? m ? g ? x ? ?11恒成立, 即 3x ? 3? x

?

?

2

? 2 ? m ? 3x ? 3? x ? 11,
x

?

?

9 恒成立 3 ? 3? x 9 x ?x 令 t ? 3 ? 3 , t ? 2 ,则 m ? t ? 在 t ? 2 时恒成立 t 9 9 令 h ?t ? ? t ? , h ' ?t ? ? 1 ? 2 , t t
x ?x 即: m ? 3 ? 3 ?

t ? ? 2,3? 时, h ' ? t ? ? 0 ,所以 h ?t ? 在 ? 2,3? 上单调递减 t ? ?3, ??? 时, h ' ? t ? ? 0 ,所以 h ?t ? 在 ?3, ??? 上单调递增

所以 h ?t ?min ? h ?3? ? 6 ,所以 m ? 6 所以,实数 m 的最大值为 6 考点:利用函数性质解不等式,不等式恒成立问题 【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出 最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为 函数的最值问题。 23.【答案】

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【解析】Ⅰ证明:在菱形 ABCD 中, ∵ BD ? AC ,∴ BD ? AO . ∵ EF ? AC ,∴ PO ? EF , ∵平面 PEF ⊥平面 ABFED ,平面 PEF ∴ PO ? 平面 ABFED , ∵ BD ? 平面 ABFED ,∴ PO ? BD . ∵ AO Ⅱ设 AO
PO ? O ,∴ BD ? 平面 POA . BD ? H .由Ⅰ知, PO ? 平面 ABFED ,

平面 ABFED ? EF ,且 PO ? 平面 PEF ,

∴ PO 为三 棱 锥 P ? A B D 及四棱锥 P? BDEF 的高,

V 4 1 1 ∴ V1 ? S?ABD ? PO , V2 ? S梯形BFED ? PO ,∵ 1 ? , 3 3 V2 3
3 3 1 ∴ S梯形BFED ? S?ABD ? S?CBD ,∴ S?CEF ? S?CBD , 4 4 4 ∵ BD ? AC, EF ? AC , CO 2 S?CEF 1 ) ? ? , ∴ EF / / BD ,∴ ?CEF ∽ ?CBD . ∴ ( CH S ?CBD 4

1 1 1 ∴ CO ? CH ? AH ? ? 2 3 ? 3 , ∴ PO ? OC ? 3 . 2 2 2 24.【答案】

【解析】【解析】(Ⅰ) x ? a ? f ( x) ? 2 得, a ? 2 ? x ? a ? 2 由题意得 ? (Ⅱ)

?a ? 2 ? 0 ,故 2 ? a ? 2 ,所以 a ? 2 …… 5 分 ?4 ? a ? 2
0 ? a ? 3 ,? ?1 ? a ? 1 ? 2 ,? a ? 1 ? 2 ,

f ? ax ? ? af ? x ? ? ax ? a ? a x ? a ? ax ? a ? ax ? a 2 ? ? ax ? a ? ? ax ? a 2 ? a 2 ? a ? a a ? 1 ? 2a f ? x ? a ? ? f ? x ? a ? ? x ? 2 a ? x ? ? x ? 2a ? ? x ? 2a ? 2a ,

?

?

? f ? x ? a ? ? f ? x ? a ? ? f ? ax ? ? af ? x ? .……

10 分

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