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阿坝县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

阿坝县一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 函数 y=ax+1(a>0 且 a≠1)图象恒过定点( A.(0,1) B.(2,1) ) D.(0,2) C.(2,0)

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 如图所示,网格纸表示边长为 1 的正方形,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ( ) B. 6 10 +3 5 +14 D. 4 10 + 3 5 +15 A. 6 10 + 3 5 +15 C. 6 10 + 3 5 +15

【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识,意在考查空间想象能力和基本运算能力. 3. 已知点 A(﹣2,0),点 M(x,y)为平面区域 A.5 B.3 C.2 D. 上的一个动点,则|AM|的最小值是( )

4. 与椭圆 A. C. B. D.

有公共焦点,且离心率

的双曲线方程为(



5. 设集合 A={x|2x≤4},集合 B={x|y=lg(x﹣1)},则 A∩B 等于(



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A.(1,2) B.[1,2] 6. 函数 y=
2

C.[1,2) D.(1,2] )

(x ﹣5x+6)的单调减区间为(

A.( ,+∞) B.(3,+∞) ( )

C.(﹣∞, ) D.(﹣∞,2)

7. 已知 d 为常数,p:对于任意 n∈N*,an+2﹣an+1=d;q:数列 {an}是公差为 d 的等差数列,则¬p 是¬q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 、

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8. 在“唱响内江”选拔赛中, 甲、 乙两位歌手的 5 次得分情况如茎叶图所示, 记甲、 乙两人的平均得分分别 ,则下列判断正确的是( )

A. C.

< >

,乙比甲成绩稳定 ,甲比乙成绩稳定

B. D.

< >

,甲比乙成绩稳定 ,乙比甲成绩稳定 )

9. 命题“?a∈R,函数 y=π”是增函数的否定是( C.“?a∈R,函数 y=π”不是增函数

A.“?a∈R,函数 y=π”是减函数 B.“?a∈R,函数 y=π”不是增函数 D.“?a∈R,函数 y=π”是减函数 <0 的解集为( )

10.设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0,则不等式 A.(﹣1,0)∪(1,+∞) ∪(0,1)

B.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) D. 0) (﹣1,

11.实数 x,y 满足不等式组

,则下列点中不能使 u=2x+y 取得最大值的是(



A.(1,1) B.(0,3) C.( ,2) D.( ,0) 12.为了解决低收入家庭的住房问题,某城市修建了首批 108 套住房,已知 A, B, C 三个社区分别有低收入家 庭 360 户,270 户,180 户,现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数,则应从 C 社 区抽取低收入家庭的户数为( A.48 B.36 C.24 ) D.18
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【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用,在抽样考查中突出在实际中的应用,属于容易题.

二、填空题
13.已知条件 p:{x||x﹣a|<3},条件 q:{x|x2﹣2x﹣3<0},且 q 是 p 的充分不必要条件,则 a 的取值范围 是 .

14.台风“海马”以 25km/h 的速度向正北方向移动,观测站位于海上的 A 点,早上 9 点观测,台风中心位于其 东南方向的 B 点;早上 10 点观测,台风中心位于其南偏东 75°方向上的 C 点,这时观测站与台风中心的距离 AC 等于 km. 15. 设函数 f ( x) ? e x , g ( x) ? ln x ? m .有下列四个命题: ①若对任意 x ? [1, 2] ,关于 x 的不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,则 m ? e ; ②若存在 x0 ?[1, 2] ,使得不等式 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,则 m ? e2 ? ln 2 ; ③若对任意 x1 ?[1, 2] 及任意 x2 ?[1, 2] ,不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,则 m ?

e ? ln 2 ; 2

④若对任意 x1 ?[1, 2] ,存在 x2 ?[1, 2] ,使得不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则 m ? e . 其中所有正确结论的序号为 力,考查分类整合思想. 16.抽样调查表明,某校高三学生成绩(总分 750 分)X 近似服从正态分布,平均成绩为 500 分.已知 P(400 <X<450)=0.3,则 P(550<X<600)= . . 17.【盐城中学 2018 届高三上第一次阶段性考试】函数 f(x)=x﹣lnx 的单调减区间为 . 【命题意图】本题考查对数函数的性质,函数的单调性与导数的关系等基础知识,考查运算求解,推理论证能

18.某工厂产生的废气经过过虑后排放,过虑过程中废气的污染物数量 P (单位:毫克/升)与时间 t (单
? kt 位:小时)间的关系为 P ? P (P 0 , k 均为正常数).如果前 5 个小时消除了 10% 的污染物,为了 0e

消除 27.1% 的污染物,则需要___________小时. 【命题意图】本题考指数函数的简单应用,考查函数思想,方程思想的灵活运用.

三、解答题
19.(本小题满分 13 分)

x2 ? y 2 ? 1 的上、下顶点分别为 A, B ,点 P 在椭圆上,且异于点 A, B ,直线 AP, BP 4 与直线 l : y ? ?2 分别交于点 M , N ,
如图,已知椭圆 C : (1)设直线 AP, BP 的斜率分别为 k1 , k2 ,求证: k1 ? k2 为定值; (2)求线段 MN 的长的最小值; (3)当点 P 运动时,以 MN 为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论.

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【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的位置关系,考查考生运算求解能力,分析问 题与解决问题的能力,是中档题.

20.等差数列{an} 中,a1=1,前 n 项和 Sn 满足条件 (Ⅰ)求数列{an} 的通项公式和 Sn;
n 1 (Ⅱ)记 bn=an2 ﹣ ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.



21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1 ? cos x , x ? ?0, ? (其中 a , b ? R ). 2
2

? ?? ? ?

1 ,求 f ( x ) 的单调区间; 2 ? ?? (2)若 b ? 0 ,讨论函数 f ( x ) 在 ?0, ? 上零点的个数. ? 2?
(1)若 a ? 0 , b ? ?

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【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性,最值、通过研究函数图象与性质,讨论函数的零点个 数,考查考生运算求解能力、转化能力和综合应用能力,是难题.

22.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< (1)求 f(x)的解析式;

)的一段图象如图所示.

(2)求 f(x)的单调减区间,并指出 f(x)的最大值及取到最大值时 x 的集合; (3)把 f(x)的图象向左至少平移多少个单位,才能使得到的图象对应的函数为偶函数.

23.(本小题满分 12 分)111] 在如图所示的几何体中, D 是 AC 的中点, EF // DB . (1)已知 AB ? BC , AF ? CF ,求证: AC ? 平面 BEF ; (2)已知 G、H 分别是 EC 和 FB 的中点,求证: GH // 平面 ABC .

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24.(本小题满分 10 分)直线 l 的极坐标方程为 θ=α(ρ∈R,ρ ≠0),其中 α∈[0,π),曲线 C1 的参数方

? ?x=cos t 程为? (t 为参数),圆 C2 的普通方程为 x2+y2+2 3x=0. y = 1 + sin t ? ?
(1)求 C1,C2 的极坐标方程; (2)若 l 与 C1 交于点 A,l 与 C2 交于点 B,当|AB|=2 时,求△ABC2 的面积.

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阿坝县一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D
0 【解析】解:令 x=0,则函数 f(0)=a +3=1+1=2. x ∴函数 f(x)=a +1 的图象必过定点(0,2).

故选:D.
0 【点评】本题考查了指数函数的性质和 a =1(a>0 且 a≠1),属于基础题.

2. 【答案】C 【解析】还原几何体,由三视图可知该几何体是四棱锥,且底面为长 6 ,宽 2 的矩形,高为 3,且 VE ^ 平面

1 1 1 ABCD , 如 图 所 示 , 所 以 此 四 棱 锥 表 面 积 为 S = 2 创 6 ? 10 + 创 2 3+ 创 2 2 2 2

45 + 2 ? 6

= 6 10 + 3 5 +15 ,故选 C.
V 46 C 46 2 6 B

10

10 3 D E 1 1

A

3. 【答案】D 【解析】解:不等式组 表示的平面区域如图,

结合图象可知|AM|的最小值为点 A 到直线 2x+y﹣2=0 的距离, 即|AM|min= 故选:D. .

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【点评】本题考查了不等式组表示的平面区域的画法以及运用;关键是正确画图,明确所求的几何意义. 4. 【答案】 A 【解析】解:由于椭圆的标准方程为:

2 2 2 则 c =13 ﹣12 =25

则 c=5 又∵双曲线的离心率 ∴a=4,b=3 又因为且椭圆的焦点在 x 轴上, ∴双曲线的方程为: 故选 A 【点评】运用待定系数法求椭圆(双曲线)的标准方程,即设法建立关于 a,b 的方程组,先定型、再定量,
2 2 若位置不确定时,考虑是否两解,有时为了解题需要,椭圆方程可设为 mx +ny =1(m>0,n>0,m≠n),双 2 2 曲线方程可设为 mx ﹣ny =1(m>0,n>0,m≠n),由题目所给条件求出 m,n 即可.

5. 【答案】D
x 【解析】解:A={x|2 ≤4}={x|x≤2},

由 x﹣1>0 得 x>1 ∴B={x|y=lg(x﹣1)}={x|x>1} ∴A∩B={x|1<x≤2} 故选 D. 6. 【答案】B

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2 【解析】解:令 t=x ﹣5x+6=(x﹣2)(x﹣3)>0,可得 x<2,或 x>3,

故函数 y=

2 (x ﹣5x+6)的定义域为(﹣∞,2)∪(3,+∞).

本题即求函数 t 在定义域(﹣∞,2)∪(3,+∞)上的增区间. 结合二次函数的性质可得,函数 t 在(﹣∞,2)∪(3,+∞)上的增区间为 (3,+∞), 故选 B. 7. 【答案】A
* 【解析】解:p:对于任意 n∈N ,an+2﹣an+1=d;q:数列 {an}是公差为 d 的等差数列, * 则¬p:?n∈N ,an+2﹣an+1≠d;¬q:数列 {an}不是公差为 d 的等差数列,

由¬p?¬q,即 an+2﹣an+1 不是常数,则数列 {an}就不是等差数列,
* 若数列 {an}不是公差为 d 的等差数列,则不存在 n∈N ,使得 an+2﹣an+1≠d,

即前者可以推出后者,前者是后者的充分条件, 即后者可以推不出前者, 故选:A. 【点评】本题考查等差数列的定义,是以条件问题为载体的,这种问题注意要从两个方面入手,看是不是都能 够成立. 8. 【答案】A 【解析】解:由茎叶图可知 = (75+86+88+88+93)= 故选:A 【点评】本题主要考查茎叶图的应用,根据平均数和数据的稳定性是解决本题的关键. 9. 【答案】C 【解析】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“?a∈R,函数 y=π”是增函数的否定是:“?a∈R,函 数 y=π”不是增函数. 故选:C. 【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,是基础题. 10.【答案】D 【解析】解:由奇函数 f(x)可知 ,即 x 与 f(x)异号, = (77+76+88+90+94)= =86,则 < , ,

乙的成绩主要集中在 88 附近,乙比甲成绩稳定,

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而 f(1)=0,则 f(﹣1)=﹣f(1)=0, 又 f(x)在(0,+∞)上为增函数,则奇函数 f(x)在(﹣∞,0)上也为增函数, 当 0<x<1 时,f(x)<f(1)=0,得 当 x>1 时,f(x)>f(1)=0,得 <0,满足; >0,不满足,舍去; <0,满足; >0,不满足,舍去;

当﹣1<x<0 时,f(x)>f(﹣1)=0,得 当 x<﹣1 时,f(x)<f(﹣1)=0,得 所以 x 的取值范围是﹣1<x<0 或 0<x<1. 故选 D. 11.【答案】 D 【解析】解:由题意作出其平面区域,

将 u=2x+y 化为 y=﹣2x+u,u 相当于直线 y=﹣2x+u 的纵截距, 故由图象可知, 使 u=2x+y 取得最大值的点在直线 y=3﹣2x 上且在阴影区域内, 故(1,1),(0,3),( 而点( 故选 D. ,2)成立,

,0)在直线 y=3﹣2x 上但不在阴影区域内,

故不成立;

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【点评】本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,注意点在阴影区域内;属于中档题. 12.【答案】 C 【解析】根据分层抽样的要求可知在 C 社区抽取户数为 108 ?

180 2 ? 108 ? ? 24 . 360 ? 270 ? 180 9

二、填空题
13.【答案】 [0,2] .

【解析】解:命题 p:||x﹣a|<3,解得 a﹣3<x<a+3,即 p=(a﹣3,a+3);
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2 命题 q:x ﹣2x﹣3<0,解得﹣1<x<3,即 q=(﹣1,3).

∵q 是 p 的充分不必要条件, ∴q?p, ∴ 解得 0≤a≤2, 则实数 a 的取值范围是[0,2]. 故答案为:[0,2]. 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法、充分必要条件的判定与应用,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题 14.【答案】 25 【解析】解:由题意,∠ABC=135°,∠A=75°﹣45°=30°,BC=25km, 由正弦定理可得 AC= 故答案为:25 . =25 km, ,

【点评】本题考查三角形的实际应用,转化思想的应用,利用正弦定理解答本题是关键. 15.【答案】①②④ 【 解 析 】

16.【答案】 0.3 .

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【解析】离散型随机变量的期望与方差. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】确定正态分布曲线的对称轴为 x=500,根据对称性,可得 P(550<ξ<600). 【解答】解:∵某校高三学生成绩(总分 750 分)ξ 近似服从正态分布,平均成绩为 500 分, ∴正态分布曲线的对称轴为 x=500, ∵P(400<ξ<450)=0.3, ∴根据对称性,可得 P(550<ξ<600)=0.3. 故答案为:0.3. 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,正确运用正态分布曲线的对称性是关键. 17.【答案】(0,1)

【解析】 考点:本题考查函数的单调性与导数的关系 18.【答案】15
?5k 【解析】 由条件知 0.9P , 所以 e 0 ?P 0e
?5 k

? 0.9 .消除了 27.1% 的污染物后, 废气中的污染物数量为 0.729P 0,

于是 0.729P 0 ?P 0e

? kt

,∴ e

? kt

? 0.729 ? 0.93 ? e?15k ,所以 t ? 15 小时.

三、解答题
19.【答案】 【解析】(1)易知 A? 0,1? , B ? 0, ?1? ,设 P ? x0 , y0 ? ,则由题设可知 x0 ? 0 ,

? 直线 AP 的斜率 k1 ?

y0 ? 1 y ?1 ,BP 的斜率 k2 ? 0 ,又点 P 在椭圆上,所以 x0 x0
(4 分)

2 2 x0 y0 ? 1 y0 ? 1 y0 ?1 1 ? y0 ? 1 , ? x0 ? 0? ,从而有 k1 ? k2 ? ? 2 ?? . 4 x0 x0 x0 4

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20.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)设等差数列的公差为 d, 由 =4 得 =4,

所以 a2=3a1=3 且 d=a2﹣a1=2, 所以 an=a1+(n﹣1)d=2n﹣1,

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=
n 1 n 1 (Ⅱ)由 bn=an2 ﹣ ,得 bn=(2n﹣1)2 ﹣ . 1 2 n 1 所以 Tn=1+32 +52 +…+(2n﹣1)2 ﹣

① ②

2Tn=2+32 +52

2

3

+…+(2n﹣3)2n﹣1+(2n﹣1)2n

①﹣②得:﹣Tn=1+22+222+…+22n﹣1﹣(2n﹣1)2n =2(1+2+22+…+2n﹣1)﹣(2n﹣1)2n﹣1 =2×
n ﹣(2n﹣1)2 ﹣1

=2n(3﹣2n)﹣3.
n ∴Tn=(2n﹣3)2 +3.

【点评】本题主要考查数列求和的错位相减,错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数 列.此方法是数列求和部分高考考查的重点及热点. 21.【答案】 【解析】(1)∵ a ? 0 , b ? ? ∴ f ( x) ? ?

1 , 2

1 1 ? ?? x ? 1 ? cos x , f ?( x) ? ? ? sin x , x ? ?0, ? . (2 分) 2 2 ? 2? ? 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? . 6 ? ? ? 当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ,当 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 , 6 6 2 ?? ?? ? ?? 所以 f ( x ) 的单调增区间是 ? , ? ,单调减区间是 ?0, ? . (5 分) ?6 2? ? 6?

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1 1 ? ? ?? ? 0? , ?a?? , 1 0 ? , 则 f ?( ) ? a? ? 又 f ?(?) ? f( 由零点存在定理,?? 0 ? ? 0, ? , 使 f ?(?0 0 ) ) ? 0 , 2 ? 2 ? 2? ? ?? 所以 f ( x ) 在 (0,?0 ) 上单调增,在 ? ?0 , ? 上单调减. ? 2? ?

? ?2 a ?1. 2 4 ? ?2 1 4 ? ?? a ? 1 ? 0 ,此时 f ( x) 在 ?0, ? 上有两个零点; 故当 ? ? a ? ? 2 时, f ( ) ? 2 ? 2 4 ? 2?
又 f (0) ? 0 , f ( ) ? 当?

? ?2 4 1 ? ?? ? a ? ? f ( ) ? a ? 1 ? 0 ,此时 f ( x) 在 ?0, ? 上只有一个零点. 时, 2 ? ? 2 4 ? 2?

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22.【答案】 【解析】解:(1)由函数的图象可得 A=3, 再根据五点法作图可得 × (2)令 2kπ﹣ k∈z. 函数的最大值为 3,此时, 时 x 的集合为{x|x=5kπ+ x﹣ =2kπ+ ,即 x=5kπ+ ,k∈z,即 f(x)的最大值为 3,及取到最大值 ≤ x﹣ +φ=0,求得 φ=﹣ ≤2kπ+ T= =4π﹣ ,解得 ω= . ). ],

,∴f(x)=3sin( x﹣

,k∈z,求得 5kπ﹣π≤x≤5kπ+

,故函数的增区间为[5kπ﹣π,5kπ+

,k∈z}. )的图象向左至少平移 m 个单位,才能使得到的图象对应的函数为偶函数[即

(3)设把 f(x)=3sin( x﹣ y=3sin( x+ )]. = x+

则由 (x+m)﹣

,求得 m= π, )的图象向左平移 π 个单位,可得 y=3sin( x+ )=3cos x 的图象.

把函数 f(x)=3sin( x﹣

【点评】本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,正弦函数的单调性和最值,函数 y=Asin (ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.

23.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【解析】 试题分析: (1)根据 EF // DB ,所以平面 BEF 就是平面 BDEF ,连接 DF,AC 是等腰三角形 ABC 和 ACF 的公 共底边,点 D 是 AC 的中点,所以 AC ? BD , AC ? DF ,即证得 AC ? 平面 BEF 的条件;(2)要证明线面 平行,可先证明面面平行,取 FC 的中点为,连接 GI , HI ,根据中位线证明平面 HGI // 平面 ABC ,即可证

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明结论. 试题解析:证明:(1)∵ EF // DB ,∴ EF 与 DB 确定平面 BDEF . 如图①,连结 DF . ∵ AF ? CF , D 是 AC 的中点,∴ DF ? AC .同理可得 BD ? AC . 又 BD ? DF ? D , BD 、DF ? 平面 BDEF ,∴ AC ? 平面 BDEF ,即 AC ? 平面 BEF .

考点:1.线线,线面垂直关系;2.线线,线面,面面平行关系. 【方法点睛】本题考查了立体几何中的平行和垂直关系,属于中档题型,重点说说证明平行的方法,当涉及证 明线面平行时, 一种方法是证明平面外的线与平面内的线平行, 一般是构造平行四边形或是构造三角形的中位 线,二种方法是证明面面平行,则线面平行,因为直线与直线外一点确定一个平面,所以所以一般是在某条直 线上再找一点,一般是中点,连接构成三角形,证明另两条边与平面平行. 24.【答案】

?x=cos t ? 【解析】解:(1)由 C1:? (t 为参数)得 y = 1 + sin t ? ?
x2+(y-1)2=1, 即 x2+y2-2y=0, ∴ρ 2-2ρsin θ =0,即 ρ=2sin θ 为 C1 的极坐标方程,
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由圆 C2:x2+y2+2 3x=0 得 ρ 2+2 3ρ cos θ =0,即 ρ=-2 3cos θ 为 C2 的极坐标方程. (2)由题意得 A,B 的极坐标分别为 A(2sin α ,α ),B(-2 3cos α ,α ). ∴|AB|=|2sin α +2 3cos α | π =4|sin(α+ )|,α ∈[0,π), 3 π 1 由|AB|=2 得|sin(α+ )|= , 3 2 π 5π ∴α = 或 α= . 2 6 π π 5π 当 α= 时,B 点极坐标(0, )与 ρ≠0 矛盾,∴α = , 2 2 6 5π 此时 l 的方程为 y=x· tan (x<0), 6 即 3x+3y=0,由圆 C2:x2+y2+2 3x=0 知圆心 C2 的直角坐标为(- 3,0), | 3×(- 3)| 3 ∴C2 到 l 的距离 d= = , 2 2 2 ( 3) +3 1 ∴△ABC2 的面积为 S= |AB|·d 2 1 3 3 = ×2× = . 2 2 2 3 即△ABC2 的面积为 . 2

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