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课时跟踪检测(五十五) 双曲线


课时跟踪检测(五十五) 双曲线 第Ⅰ组:全员必做题 x2 y2 1.设 P 是双曲线 2- =1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,F1,F2 分 a 9 别是双曲线的左,右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|=( A.1 或 5 C.7 B.6 D.9 ) )

y2 2.(2013· 四川高考)抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2- =1 的渐近线的距离是( 3 1 A. 2 B. 3 2

C.1 D. 3 3.(2013· 深圳调研) 双曲线 x2-my2=1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m=( 1 A. 4 C.2 1 B. 2 D.4 )

x2 y2 4. (2013· 郑州模拟)如图所示,F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0) a b 的两个焦点,以坐标原点 O 为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的 两个交点分别为 A,B,且△F2AB 是等边三角形,则双曲线的离心率为 ( ) A. 2+1 C. 2+1 2 B. 3+1 D. 3+1 2

x2 y2 5.(2013· 武汉模拟)已知 P 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2 是其焦点, a b

???? ???? 5 双曲线的离心率是 ,且 PF1 · PF2 =0,若△PF1F2 的面积为 9,则 a+b 的值为( 4
A.5 C.7 B.6 D.8

)

x2 y2 6. (2013· 惠州模拟)已知双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的一个焦点与抛物线 y2=4 10x 的焦 a b 点重合,且双曲线的离心率等于 7.(2013· 陕西高考) 双曲线 10 ,则该双曲线的方程为________. 3

x2 y2 5 - =1 的离心率为 ,则 m 等于________. 16 m 4

x2 y2 8. (2013· 石家庄模拟)F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的 a b 直线 l 与双曲线的左、右两支分别交于 A,B 两点.若△ABF2 是等边三角形,则该双曲线的

离心率为________. x2 y2 9.设 A,B 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为 4 3, a b 焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y= 3 x-2 与双曲线的右支交于 M、N 两点,且在双曲线的右支上存在点 3

D,使 OM + ON =t OD ,求 t 的值及点 D 的坐标.

???? ?

????

??? ?

x2 y2 10. P(x0,y0)(x0≠± a)是双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)上一点,M、N 分别是双曲线 E a b 1 的左、右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 . 5 (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,C 为 双曲线上一点,满足 OC =λ OA + OB ,求 λ 的值.

??? ?

??? ?

??? ?

第Ⅱ组:重点选做题 x2 y2 1.(2013· 河北省重点中学联考) 设 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、 a b 右焦点, 若双曲线上存在点 A, 使∠F1AF2=90° , 且|AF1|=3|AF2|, 则双曲线的离心率为( A. 5 2 B. 10 2 )

5 C. 3

D.

10 3

x2 y2 2.(2014· 武汉模拟) 已知 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>b,b>0)的左、右焦点,P a b |PF1|2 为双曲线右支上的任意一点.若 =8a,则双曲线的离心率的取值范围是________. |PF2|

答 案

第Ⅰ组:全员必做题 b 3 1.选 C 由渐近线方程 3x-2y=0,知 = .又 b2=9,所以 a=2,从而|PF2|=7. a 2 2.选 B 因为抛物线的焦点坐标为(1,0),而双曲线的渐近线方程为 y=± 3x,所以所 求距离为 3 ,故选 B. 2

y2 3.选 D 双曲线方程可化为 x2- =1, 1 m ∴实轴长为 2,虚轴长为 2 ∴2=2?2 1 , m

?

1? ,解得 m=4. m?

4.选 B 连接 AF1,依题意得 AF1⊥AF2,∠AF2F1=30° ,|AF1|=c,|AF2|= 3c,因此 |F1F2| 2c 该双曲线的离心率 e= = = 3+1,选 B. |AF2|-|AF1| 3c-c c 5 5.选 C 设 c= a2+b2,则 = , a 4 4 3 ∴a= c,∴b= c2-a2= c. 5 5 ∵ PF1 · PF2 =0(即 PF1⊥PF2), S△PF1F2=9,∴|PF1|· |PF2|=18.
?||PF1|-|PF2||=2a, ? ∵? 2 2 2 ? ?|PF1| +|PF2| =|F1F2| ,
2 2 ? |PF2|=4a2, ?|PF1| +|PF2| -2|PF1|· ? ∴ 2 2 2 ?|PF1| +|PF2| =4c , ?

???? ????

两式相减得,2|PF1|· |PF2|=4b2, ∴b2=9,∴b=3,∴c=5,a=4,∴a+b=7. 6.解析:由已知可得抛物线 y2=4 10x 的焦点坐标为( 10,0),a2+b2=10.又双曲线

的离心率 e=

10 10 = , a 3

x2 ∴a=3,b=1,∴双曲线的方程为 -y2=1. 9 x2 答案: -y2=1 9

7.解析:

? ?b =m, ? 25 ? ?e =16
2 2

a2=16, 25 16+m ? = ?m=9. 16 16

答案:9 8.解析:如图,由双曲线定义得,|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1| =2a,因为△ABF2 是正三角形,所以|BF2|=|AF2|=|AB|,因此|AF1| =2a, |AF2|=4a, 且∠F1AF2=120° , 在△F1AF2 中, 4c2=4a2+16a2 1 +2×2a×4a× =28a2,所以 e= 7. 2 答案: 7 9.解:(1)由题意知 a=2 3, ∴一条渐近线为 y= 即 bx-2 3y=0.∴ b 2 3 x.

|bc| = 3. b2+12 x2 y2 - =1. 12 3

∴b2=3,∴双曲线的方程为

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0), 则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0. 将直线方程代入双曲线方程得 x2-16 3x+84=0, 则 x1+x2=16 3,y1+y2=12. 4 3 = , ?x y 3 ∴? x y ?12- 3 =1.
0 0 2 0 2 0

?x0=4 3, ∴? ?y0=3.

∴t=4,点 D 的坐标为(4 3,3). 10.解:(1)由点 P(x0,y0)(x≠± a)在双曲线 x2 y2 x2 y2 0 0 2- 2=1 上,有 2- 2=1. a b a b

y0 y0 1 由题意又有 · = , x0-a x0+a 5 可得 a2=5b2,c2=a2+b2=6b2, c 30 则 e= = . a 5
2 2 2 ? ?x -5y =5b (2)联立? , ?y=x-c ?

得 4x2-10cx+35b2=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),

?x +x = 2 , 则? 35b ?x x = 4 .
1 2 2 1 2

5c



设 OC =(x3,y3),

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ?x3=λx1+x2, ? OC =λ OA + OB ,即?
?y3=λy1+y2. ?
2 2 又 C 为双曲线上一点,即 x2 3-5y3=5b ,

有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2.
2 2 2 2 化简得:λ2(x2 1-5y1)+(x2-5y2)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b ,

又 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,
2 2 2 2 2 所以 x2 1-5y1=5b ,x2-5y2=5b .

由①式又有 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)· (x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2, 得: λ2 +4λ=0,解得 λ=0,或 λ=-4. 第Ⅱ组:重点选做题 1.选 B 由题可知点 A 在双曲线的右支上, 则|AF1|-|AF2|=2|AF2|=2a,则|AF2|=a,得|AF1|=3a,由∠F1AF2=90° ,得(3a)2+a2= c 10 (2c)2,则 e= = . a 2 c 2.解析:设|PF2|=y,则(y+2a)2=8ay?(y-2a)2=0?y=2a≥c-a?e= ≤3. a 答案:(1,3]


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