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2013-2014学年高中数学人教A版必修二同步辅导与检测:4.3.1空间直角坐标系_图文

◆数学?必修2?(配人教A版)◆

圆与方程

4.3 空间直角坐标系
4.3.1 空间直角坐标系

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1.掌握空间直角坐标系的建立过程和相关概念.? 2.能够在空间直角坐标系下表示点.?

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基础梳理 1.空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系:从空间某一定点引三条两两垂直, 且有相同单位长度的数轴:________,这样就建立了 ______________Oxyz.

②相关概念:______叫做坐标原点,______轴叫做坐标 轴.通过____________的平面叫做坐标平面,分别称为 ______平面、______平面、______平面. (2)右手直角坐标系
1.(1)x,y,z轴 空间直角坐标系 两个坐标轴 xOy yOz zOx 金品质?高追求 我们让你更放心! 点O x,y,z 每

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◆数学?必修2?(配人教A版)◆ 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向______的正方 向,食指指向______的正方向,如果中指指向______的正 方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
练习1.原点O的坐标是________. 2.空间一点的坐标 空间一点M的坐标可以用______________来表示, ________________叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标, 记作________.其中____叫做点M的横坐标,____叫做点M 的纵坐标,____叫做点M的竖坐标. (2)x轴 y轴 z轴 练习1. (0,0,0)

2.有序实数组(x,y,z) 有序实数组(x,y,z) M(x,y,z) x y z 金品质?高追求 我们让你更放心!

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◆数学?必修2?(配人教A版)◆ 思考应用 在空间直角坐标系中,一些特殊点的坐标特征是怎样的?
(1)xOy平面是坐标形如________的点构成的点集;

(2)xOz平面是坐标形如________的点构成的点集;
(3)yOz平面是坐标形如________的点构成的点集; (4)x轴是坐标形如________的点构成的点集; (5)y轴是坐标形如________的点构成的点集; (6)z轴是坐标形如________的点构成的点集. 其中x,y,z均为任意实数. (1)(x,y,0) (2)(x,0,z) (3)(0,y,z) (4)(x,0,0)

(5)(0,y,0) (6)(0,0,z) 金品质?高追求 我们让你更放心!

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◆数学?必修2?(配人教A版)◆ 自测自评 1.点P(-1,0,2)位于(
A.y轴上 ) B.z轴上

C.xOz平面内
答案:C

D.yOz平面内

解析:点P的纵坐标为0,则点P在平面xOz上.

2.y轴上的点的坐标的特点是(
A.竖坐标是0 B.横坐标是0

)

C.横、竖坐标都是0
D.横、纵坐标都是0 解析:y轴上的点的坐标是(0,c,0). 答案:C 金品质?高追求 我们让你更放心!

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3.在空间直角坐标系中,点(-2,1,4)关于x轴的对称点 的坐标是( ) A.(-2,1,-4) C.(2,-1,4) B.(-2,-1,-4) D.(2,1,-4)

解析: 点P(a, b ,c) 关于 x 轴的对称点为 P′(a ,-b ,-

c) .
答案:B 4.点B是点A(3,4,5)在坐标平面xOy内的正投影,则|OB| =________. 解析:点B的坐标为(3,4,0),|OB|= 32+42 =5. 答案:5 金品质?高追求 我们让你更放心!

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空间中点的坐标 如图在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,棱长为 1.求E,F点的坐标. 分析:以正方体顶点为坐标原点建立坐标系,给出 顶点D1、B1、B的坐标,再利用中点坐标公式写出E、F点 的坐标.
解析:建立如图所示坐标系 . E 解法一: 点在 xOy 面上的射影为 B,B(1,1,0), 1 竖坐标为 2. 1? ? ∴E?1,1,2?.

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F 在 xOy 面上的射影为 BD 的中点 G,竖坐标为 1 ?1,1,1?. F ∴ ?2 2 ? B1(1,1,1),D1(0,0,1),B(1,1,0),E 为 B1B 中点,F 为 B1D1 中点. 解法二: ?1+1 1+1 1+0? ?1 1 1? E 故 点的坐标为 ? 2 , 2 , 2 ?=? , ,2?, ?1+0 1+0 1+1? ?1 1 1? F 点的坐标为 ? 2 , 2 , 2 ?=?2,2, ?.

点评:熟记坐标轴上的点的坐标和坐标平面上点的坐标的

特征.

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跟踪训练 1.已知正四棱锥P—ABCD的底面边长为4,侧棱长为10,

试建立适当的空间直角坐标系,写出各顶点的坐标.
解析:因为正四棱锥PABCD的底面 边长为4,侧棱长为10,所以正四棱锥的 高为2 23 .

以正四棱锥的底面中心为原点,平 行于BC、AB所在的直线分别为x轴、y轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, 则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2, -2,0)、B(2,2,0)、C(-2,2,0)、D(-2,- 2,0)、P(0,0,2 ). 23
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空间中点的对称问题 求点A(1,2,-1)关于坐标平面xOy及x轴对称的 点的坐标. 分析:解决本题的关键是明确关于各坐标轴,各坐标 平面对称的两点,其点的坐标分量的关系,可借助于图 形. 解析:如图所示,过A作AM⊥xOy交平面于M,并 延长到C,使AM=CM,则A与C关于坐标平面xOy对称, 且C(1,2,1).

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过A作AN⊥x轴于N并延长到点B,使AN=NB, 则A与B关于x轴对称且B(1,-2,1). ∴A(1,2,-1)关于坐标平面xOy对称的点C(1,2,1); A(1,2,-1)关于x轴对称的点B(1,-2,1). 点评:对称关系简记为“关于谁对称谁不变,其余 的均相反”.特别地,关于原点对称,三个坐标符号都 要变.

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跟踪训练 2.在空间直角坐标系中,P(1,-2,-1),Q(-

1,2,-1)两点的位置关系是( A )
A.关于z轴对称 B.关于xOy面对称 C.关于坐标原点对称 D.以上都不对

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1.在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z),那么下列 说法正确的是( D )

A.点P关于x轴对称的点的坐标是P1(x,-y,z)
B.点P关于yOz平面对称的点的坐标是P2(x,-y,-z)

C.点P关于y轴对称的点的坐标是P3(x,-y,z)
D.点P关于原点对称的点的坐标是P4(-x,-y,-z)

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2.点A(-1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的 投影点的坐标分别为( )

A.(-1,0,1),(-1,2,0)
B.(-1,0,0),(-1,2,0)

C.(-1,0,0),(-1,0,0)
D.(-1,2,0),(-1,2,0) 解析:点A(-1,2,1)在x轴上的投影点的横坐标是-1, 纵坐标、竖坐标都为0,故为(-1,0,0),点A(-1,2,1)在xOy 平面上横、纵坐标不变且竖坐标是0,故为(-1,2,0). 答案:B 金品质?高追求 我们让你更放心!

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1.对空间直角坐标系的理解 (1)三条轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础; (2)一般情况下建立的坐标系是右手直角坐标系,即让 右手拇指指向x轴正方向,食指指向y轴正方向,中指指向z

轴正方向.
2.点关于原点,坐标轴及坐标平面的对称点的问题 有口诀:“关于谁对称谁不变,其他的互为相反数”.

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