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2019-2020学年高中数学 第二章 讲明不等式的基本方法 2.1 比较法教案 新人教A版选修4-5.doc

2019-2020 学年高中数学 第二章 讲明不等式的基本方法 2.1 比较 法教案 新人教 A 版选修 4-5
1.作差比较法证明不等式的一般步骤 剖析:(1)作差:将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差. (2)变形:将差式进行变形,变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一 个或几个平方和等等. (3)判断符号:根据已知条件与上述变形结果,判断差的正负号. (4)结论:根据差的正负号下结论. 知识拓展 若差式的符号不能确定, 一般是与某些字母的取值有关时, 则需对这些字母 进行讨论. 2.作商比较法中的符号问题的确定 剖析:在作商比较法中, >1 ? b>a 是不正确的,这与 a,b 的符号有关,比如若 a,

b a

b b b>0,由 >1,可得 b>a,但若 a,b<0,则由 >1 得出的反而是 b<a,也就是说,在作 a a
商比较法中,要对 a,b 的符号作出判断.否则,结论可能是错误的. 名师点拔 使用作商比较法时一定要注意不等式两边的式子均为正值,若均为负值时,

可先同乘以-1,转化后再进行证明.

题型一 利用作差比较法证明不等式 【例 1】已知 a≥1,求证: a+1- a< a- a-1. 分析:因不等式两边进行分子有理化相减后,可判断差的符号,故可用作差比较法进行 证明. 证明:∵( a+1- a)-( a- a-1) = 1

a+1+ a



1

a+ a-1



a-1- a+1 <0, ( a+1+ a)( a+ a-1)

∴ a+1- a< a- a-1. 反思 根据左、右两边都含无理式的特点,也可以采取两边平方的方法来比较,但是应

先判断两边的符号,都大于 0 时,两边平方是等价变形,都小于 0 时要改变不等号. 题型二 利用作商比较法证明不等式 【例 2】已知 a>0,b>0,求证:

a b + ≥ a+ b. b a

分析:因为 a,b 均为正数,故而不等式左边和右边都是正数,所以可以用作商比较法 进行比较.

证明:∵

a b + b a a+ b



a b

a+ b



b a a+ b



a b + ab+b ab+a



a ab+a2+b ab+b2 a2+b2+(a+b) ab = , 2ab+(a+b) ab 2ab+(a+b) ab
2 2

又∵a +b ≥2ab, ∴

a2+b2+(a+b) ab 2ab+(a+b) ab ≥ =1, 2ab+(a+b) ab 2ab+(a+b) ab a b + ≥ a+ b. b a a b

当且仅当 a=b>0 时取等号.∴

反思

作商比较法的前提条件是两个数 a,b 都大于 0,对 进行整理,直到能清晰看出

a 与 1 的大小关系为止.在运算过程中注意运用计算技巧. b
题型三 比较法在综合题目中的应用 【例 3】已知数列{an}的首项 a1=5,前 n 项和为 Sn,且 Sn+1=2Sn+n+5(n∈N+). (1)证明数列{an+1}是等比数列; (2)令 f(x)=a1x+a2x +…+anx ,求函数 f(x)在点 x=1 处的导数 f′(1),并比较 2f′(1)与 23n -13n 的大小. 分析:在比较大小时,作差法的差式与“n”的取值有关,且大小关系随“n”的变化而 变化. (1)证明:由已知 Sn+1=2Sn+n+5,① ∴n≥2 时,Sn=2Sn-1+n+4,② ①②两式相减,得
2 2

n

Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即 an+1=2an+1,
从而 an+1+1=2(an+1). 当 n=1 时,S2=2S1+1+5,∴a1+a2=2a1+6. 又 a1=5,故 a2=11,从而 a2+1=2(a1+1). 故总有 an+1+1=2(an+1),n∈N+. 又∵a1=5,∴a1+1≠0,从而

an+1+1 =2, an+1

即{an+1}是以 a1+1=6 为首项,2 为公比的等比数列. (2)解:由(1)可知 an=3×2 -1. ∵f(x)=a1x+a2x +…+anx ,
2

n

n

∴f′(x)=a1+2a2x+…+nanx

n-1

.

从而 f′(1)=a1+2a2+…+nan =(3×2-1)+2(3×2 -1)+…+n(3×2 -1) =3(2+2×2 +…+n×2 )-(1+2+3+…+n) =3[n×2 =3(n×2
n+1
2 2

n

n

-(2+…+2 )]- -2
n+1

n

n(n+1)
2

n+1

+2)-

n(n+1)
2 +6.

=3(n-1)·2

n+1


2

n(n+1)
2

则 2f′(1)-(23n -13n) =12(n-1)·2 -12(2n -n-1) =12(n-1)·2 -12(n-1)(2n+1) =12(n-1)[2 -(2n+1)].(*) 当 n=1 时,(*)式=0, ∴2f′(1)=23n -13n; 当 n=2 时,(*)式=-12<0, ∴2f′(1)<23n -13n; 当 n≥3 时,n-1>0, 又 2 =(1+1) =Cn+Cn+…+Cn +Cn≥2n+2>2n+1, ∴(n-1)[2 -(2n+1)]>0, 即(*)式>0,从而 2f′(1)>23n -13n. 反思 此类比较大小的题是典型的结论不唯一的题. 在数列中, 大小问题可能会随“n”
2 2 2

n

2

n

n

n

n

0

1

n-1

n

n

变化而变化.往往 n=1,2,…,前几个自然数对应的值与后面 n≥n0 的值大小不一样,这就 要求在解答这样的题时, 要时刻有“大小关系不一定唯一”的念头, 即时刻提醒自己所求解 的问题是否需要讨论.


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