fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

2016上海学春考数学模拟试卷(一)【附加卷】【解答】


2016 上 海 市 普 通 高 校 春 季 招 生 统 一 考 试

数 学 II 卷 模 拟 试 卷 ( 一 ) 解 答
考生注意: 1 . 本 试 卷 共 2 页 , 7 道 试 题 , 满 分 30 分 . 考 试 时 间 40 分 钟 . 2 .本 试 卷 分 设 试 卷 和 答 题 纸 .试 卷 包 括 三 大 题 , 第 一 大 题 为 选 择 题 , 第 二 大 题 为 填 空 题 , 第三大题为解答题. 3.答 题 前 , 务 必 在 答 题 纸 上 填 写 姓 名 、报 名 号 、考 场 号 和 座 位 号 , 并 将 核 对 后 的 条 形 码 贴在指定位置上. 4 .作 答 必 须 涂 或 写 在 答 题 纸 上 , 在 试 卷 上 作 答 一 律 不 得 分 .第 一 大 题 的 作 答 必 须 涂 在 答 题纸上相应区域, 第二、第三大题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置.

一、选择题(本大题满分 9 分)本大题共有 3 题,每题有且只有一个正确答案.考生应在答 题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 3 分,否则一律得 0 分.
1. 若 a ? 0 , b ? 0 , 则不等式 ?b ?
1 1 (A) ? ? x ? 0 或 0 ? x ? b a 1 1 (C) x ? ? 或 x ? a b 1 ? a 等价于 x

[答]( D ) (B) ?
1 1 ?x? a b

1 1 (D) x ? ? 或 x ? b a

2.

在 △ ABC 中, “ A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的 (A) 充分非必要条件 (C) 充要条件 (B) 必要非充分条件 (D) 既非充分又非必要条件
a b ? ? sin A ? sin B , 其中 R 为 △ ABC 外接圆半径, 故选 C. 2R 2R

[答](

C



解: 由 A ? B ? a ? b ? 3.

设函数 y ? f ( x) 的定义域为区间 (?1,0) ? (0,1) , 且函数图像上所有的点都在曲线 x 2 ? y 2 ? 1 上, 下列说 法中错误的是 (A) 函数 y ? f ( x) 是奇函数的必要条件是它在 (?1,0) 上是单调函数 (B) 若函数 y ? f ( x) 是偶函数, 则它的值域是 (?1,0) ? (0,1) 的真子集 (C) 若函数 y ? f ( x) 存在反函数, 则它一定是奇函数 [答]( A )

2016 春考模拟 参考答案 第 1 页(共 4 页)

(D) 函数 y ? f ( x) 存在反函数的充要条件是函数的值域是 (?1,0) ? (0,1) 解: 逐一考虑 4 个选项,
2 ? ? 1 ? x , x ? (?1, ?0.5] ? (0,0.5) 对于 A, 考虑函数 f ( x) ? ? , 它是奇函数, 但却不单调, 故 A 错. 2 ? ?? 1 ? x , x ? (?0.5,0) ? [0.5,1)

对于 B, 首先显然 y ? f ( x) 的值域是 (?1,0) ? (0,1) 的子集,
1 3 1 3 1 1 考虑 ? 与 处的函数值, 不妨设 f (? ) ? , 则由 y ? f ( x) 是偶函数, 得 f ( ) ? ; 2 2 2 2 2 2

若?

3 3 1 1 3 1 在值域中, 则存在 x0 使得 f ( x0 ) ? ? , 解方程得 x0 ? ? , 但 f (? ) ? f ( ) ? , 矛盾! 2 2 2 2 2 2

故 y ? f ( x) 的值域是 (?1,0) ? (0,1) 的真子集, 即 B 正确. 对于 C, 若 y ? f ( x) 存在反函数, 则 y ? f ( x) 的对应法则是一一对应的, 设 x0 ? (?1, 0) ? (0,1) , f ( x0 ) ? y0 , 则由对应法则是一一对应, f (? x0 ) ? ? y0 , 即 y ? f ( x) 为奇函数, C 正确. 对于 D, 由 B 的分析可知, 若其值域是 (?1,0) ? (0,1) , 则它一定是一一对应, 即 y ? f ( x) 存在反函数; 反之, 若 y ? f ( x) 存在反函数, 则它是一一对应的, 由 C 的分析可知, 其值域为 (?1,0) ? (0,1) , 即 D 正确.

二、填空题(本大题满分 9 分)本大题共有 3 小题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 3 分,否则一律得 0 分.
4. 两位同学从政治、历史、地理中选择 1 科; 物理、化学、生物中选择 2 科. 符合要求的选择结果中, 有 且仅有两科相同的概率是____________(结果用数值表示) .
2 2 2 解: 总的选择的情况数为 (C1 3 ) (C3 ) ? 81 种;

1 2 2 2 符合要求的有两种情况: 1 文 1 理相同, 有 C1 3 C3 ? P2 种情况; 2 理相同, 有 C3 ? P3 种情况, 共计 36 种;

故所求概率为 5.

36 4 ? . 81 9

设 z1 是实数, z2 是复数. 在复平面上, 已知 z ? 1 ? i (其中 i 是虚数单位)对应的点落在以 z1 , z2 为焦点, 长轴长为 10 的椭圆上, 则当 z1 变化时, | z2 | 的最大值为____________.

2016 春考模拟 参考答案 第 2 页(共 4 页)

解: 由题意 | z ? z1 | ? | z ? z2 |? 10 ?| z2 ? z |? 10? | z1 ? z | , 故 z2 的轨迹是以 z 对应的点为圆心, 10? | z1 ? z | 为半径的圆, 由几何意义可知此时 | z2 | 的值不超过 10 ? 2 ? | z1 ? z | , 当 z1 变化时, 当 z1 ? 1 时, | z1 ? z | 的最小值为 1, 此时 | z2 | 的最大值为 9 ? 2 . 6. 直线 y ? mx ? 1 与椭圆 2 x 2 ? y 2 ? 2 交于 A, B 两点, 以 OA, OB 为邻边作平行四边形 OAPB(O 为坐标原 点), 则点 P 的轨迹方程是_____________. 解: 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 OP ? OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , 由 A, B 均在直线上可知 OP ? ( x1 ? x2 , m( x1 ? x2 ) ? 2) ,
? y ? mx ? 1 联立直线与椭圆方程得 ? 2 , 消去 y 得 (m2 ? 2) x 2 ? 2mx ? 1 ? 0 , 2 ?2 x ? y ? 2

? ? 4m2 ? 4(2 ? m2 ) ? 8m2 ? 8 ? 0 , 故直线与椭圆恒相交,
由韦达定理得 x1 ? x2 ?
?2m ?2m 4 , 故 P( 2 , 2 ), 2 m ?2 m ?2 m ?2

?2m ? x? 2 ? 2x ? m ?2 设 P ( x, y ) , 则 ? , 故m ? ? , 代入下式得 P 的轨迹方程为 2 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0( y ? 0) . 4 y ?y ? ? m2 ? 2 ?

三、解答题(本大题满分 12 分)本大题共有 1 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤.
7. (本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分. 设函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? tπ) (t 为常数, 且 0 ? t ? 2 ). (1)当 t ?
1 时, 求方程 f ( x) ? 1 在区间 [0, π] 上的解; 3
, xn ,

(2)将 y ? f ( x) 在区间 [0, ??) 上的零点从小到大依次记为 x1 , x2 , 若 T20 ? 100π , 求实数 t 的取值范围.

, 设数列 {xn } 的前 n 项和为 Tn ,

π? π? 1 ? ? (1)解: 此时 f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? , 即考虑方程 sin ? 2 x ? ? ? 在区间 [0, π] 上的解, 3? 3? 2 ? ? π? 1 π π 7π π 5π π 13π ? 由 x ? [0, π] ? 2 x ? ? [ , ] , 则由 sin ? 2 x ? ? ? 可知 2 x ? ? 或者 2 x ? ? , 3? 2 3 3 3 3 6 3 6 ?
2016 春考模拟 参考答案 第 3 页(共 4 页)

解得 x ?

11π π 或者 x ? . 12 4

(2)解: 函数 y ? 2sin 2 x 在 [0, π] 内的零点依次为 0, , π ,

π 2 tπ ? ? tπ ? ? 函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? tπ) ? 2sin ? 2 ? x ? ? ? 由 y ? 2sin 2 x 向左平移 个单位所得, 2 2 ?? ? ? π π 由 xn ?1 ? xn ? , 得 {xn } 是以 为公差的等差数列, 2 2 20 ? 19 π T20 ? x1 ? x2 ? ? x20 ? 20 ? x1 ? ? ? 20 x1 ? 95π , 2 2 ? ? tπ ? ? 下考虑 f ( x) ? 2sin ? 2 ? x ? ? ? 在 [0, ??) 的第一个零点, 2 ?? ? ? tπ π tπ π 当平移的量 ? ? 0 ? t ? 1 时, x1 ? ? ? , 2 2 2 2 1 1 T20 ? 100π ? (?10t ? 105) π ? 100π ? ?10t ? ?5 ? t ? , 即 ? t ? 1 ; 2 2 tπ π tπ 当平移的量 ? ? 1 ? t ? 2 时, x1 ? ? ? π , 2 2 2 3 3 T20 ? 100π ? (?10t ? 115) π ? 100π ? ?10t ? ?15 ? t ? , 即 ? t ? 2 ; 2 2 1 3 综上所述, t ? [ ,1] ? [ , 2) . 2 2

2016 春考模拟 参考答案 第 4 页(共 4 页)


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图