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福建省2017年数学基地校高三毕业班总复习立体几何形成性试卷(文)Word版含答案

2017 高三毕业班总复习立体几何形成性试卷(文)

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

(1)如图, AB / / 平面? / / 平面 ? ,过 A , B 的直线 m ,n 分别交? 、? 于? 、 ?

于 C , E 和 D , F ,若 AC ? 2 , CE ? 3 , BF ? 4 ,则 BD 的长为( )

(A) 6 5

(B) 7 5

(C) 8 5

(D) 9 5

第(1)

题图

(2)在空间中, l 、 m 、 n 是三条不同的直线,? 、 ? 、 ? 是三个不同的平面,则下列结

论不正确的是( )
(A)若? // ? ,? // ? ,则 ? // ?

(B)若 l //? , l // ? , ? ? ? ? m ,则 l // m

(C)若? ? ? ,? ? ? , ? ? ? ? l ,则 l ? ?

(D)若? ? ? ? m , ? ? ? ? l , ? ?? ? n, l ? m, l ? n ,则 m ? n

(3)一水平放置的平面图形,用斜二测画法画出了它的直观图,此直观图恰好是一个

边长为 2 的正方形,则原平面图形的面积为( )

(A) 2 3

(B) 2 2

(C) 4 3 (D)8 2

(4)已知? 、? 是两个不同的平面,给出下列四个条件:①存在一条直线 a ,a ? ? , 第(3)题图

a ? ? ;②存在一个平面? ,? ? ? ,? ? ? ;③存在两条平行直线 a 、b ,a ? ? ,b ? ? ,

a // ? ,b //? ;④存在两条异面直线 a 、b , a ? ? ,b ? ? , a // ? ,b //? ,可以推出

? // ? 的是( )

(A)①③

(B)②④

(C)①④ (D)②③

(5)如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ⊥平面 ABC,

A1 A = AB =2, BC =1, AC = 5 ,若规定正(主)视方向 垂直平面 ACC1 A1 ,则此三棱柱的侧(左)视图的面积为( )

(A) 4 5 5

(B) 2 5

(C) 4

(D) 2
N

(6)如图是一正方体的平面展开图,在这个正方体中:

以下四个命题中错误的是( )

D

C

M

第(5)题图

(A) AF 与 CN 所在的直线平行; (B) CN 与 DE 所在的直线异面;

E

A

B

F 第(6)题图

(C) CN 与 BM 成 60°角; (D) DE 与 BM 所在的直线垂直.

(7)已知 m 、n 是两条不同直线,? 、? 为两个不同平面,那么使 m //? 成立的一个充分条

件是( )

(A) m // ? ,? // ?

(B) m ? ? ,? ? ?

(C) m ? n , n ? ? , m ??

(D) m 上有不同的两个点到? 的距离相等

(8) “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几

何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣

合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所

作的辅助线.其实际直观图中四边形不存在,当其正视图和侧视图完全相同时,它的正视图

和俯视图分别可能是( )

(9)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新

工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率

=新工件的体积/原工件的体积)(



(A)错误!未找到引用源。

(B)错误!未找

到引用源。

(C)错误!未找到引用源。

(D)错误!未找到引用源。

第(9)题图

(10)若一个正四面体的表面积为 S1 ,其内切球的表面积为 S 2

,则

S1 S2

=(



(A) 6 ?

(B) 2 ?

(C) 1 6?

(D) 6 3 ?

(11) 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点, AH : HB ?1: 3 , AB ? 平面? , H 为垂足,? 截 球 O 所得截面的面积为 4? ,则球 O 的表面积为( )

(A) 16? 3

(B) 16 3? 3

(C) 64? 3

(D) 16? 9

(12)如图,棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, P 为线段 A1B 上的动点,则下列结论

错误的是( )

(A) DC1 ? D1P (B)平面 D1A1P ? 平面 A1AP (C) ?APD1的最大值为 90 (D) AP ? PD1 的最小值为 2 ? 2

第(12)题图

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
(13)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为______. (14)设正三棱锥侧棱长为 1,底面三角形的边长为 2 。现从正三棱锥的 6 条棱中随机选取
2 条,这两条棱互相垂直的概率为________。
(15) ? , ? 是两平面,AB ,CD 是两条线段,已知? ? ? ? EF ,AB ? ? 于 B ,CD ? ? 于 D ,若增加一个条件,就能得出 BD ? EF ,现有下列条件:① AC ? ? ;② AC 与 CD 在 ? 内的射影在同一条直线上;③ AC / /EF .其中能成为增加条件的序号是
________.
(16) 如图所示,从棱长为 6 cm 的正方体铁皮箱 ABCD ? A1B1C1D1 中分离出
来由三个正方形面板组成的几何图形.如果用图示中这样一个装置来盛水,那
么最多能盛的水的体积为________ cm3 .
三、解答题
(17) (10 分)如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角 形, E , F 分别是 BC , CC1 的中点.
(I)证明:平面 AEF ? 平面 B1BCC1 ; (II)若直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角为 45°,求三棱锥 F ? AEC 的
体积.

第 (17)题图

(18) (12 分)如图所示,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,

AB

?

AA1

, ?CAB

?

? 2

.

(I)证明: CB1 ? BA1 ;

(II)已知 AB ? 2, BC ? 5, 求三棱锥 A1 ? ABC1的体积.

第(18)题图

(19) (12 分)如图,在三棱柱 ABC ? A?B?C? 中,点 D 是 BC 的中点,欲过点 A? 作一截面与平面 AC?D 平行.
(I)问应当怎样画线,并说明理由;
(II)求所作截面与平面 AC?D 将三棱柱分成的三部分的体积之比.

题图

第(19)

(20) (12 分)如图, AB 是圆 O 的直径, C 是圆 O 上除 A 、 B 外

D

的一点, ?AED在平面 ABC的投影恰好是 ?ABC.已知 CD ? BE ,

C

E

A

?

B

O

AB ? 4, tan ?EAB ? 1 . 4
(I)证明:平面 ADE ? 平面 ACD ; (II)当三棱锥 C ? ADE体积最大时,求三棱锥 C ? ADE高.

(21) (12 分)下面的一组图形为一四棱锥 S ? ABCD 的侧面与底面.

A

aD

a

a

a

B aC

a

第(21)题图

a a

2a

2a

a

a

(I)请画出四棱锥 S ? ABCD的示意图,是否存在一条侧棱垂直于底面?如果存在的话,指
出是示意图中的哪一条,说明理由.
(II)若 SA ? 面 ABCD, E 为 AB 中点,求证:面 SEC ? 面 SCD ;

(22) (12 分)如图 1,在 Rt?ABC 中,?C ? 90? , D 、 E 分别为 AC , AB 的中点,点 F 为线段 CD 上一点,将 ?ADE沿 DE 折起到 ?A1DE 的位置,使 A1F ? CD ,如图 2. (I)求证: DE ∥平面 A1CB ; (II)求证: A1F ? BE ; (Ⅲ)若 Q 为线段 A1B 中点, 求证: A1C ⊥平面 DEQ
第 ( 22 ) 题 图

2017 高三毕业班总复习立体几何形成性试卷(文)答案

1.[答案] C

解析:选 C.由 AB / /? / /? , 易证 AC ? BD CE DF

即 AC ? BD , ? BD ? AC ? BF ? 2? 4 ? 8

AE BF

AE

55

2.[答案] D

[解析] 根据平面平行的传递性可知选项 A 中的结论正确;如果一条直线平行于两个相交

平面,那么该直线平行于它们的交线,可知选项 B 中的结论正确;如果两个相交平面均垂

直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面,可知选项 C 中的结论正确;易知选

项 D 中的结论不正确.

3.[答案] D

[解析]由斜二测画法可知,原图形是一个平行四边形,且平行四边形的一组对边长为 2,

在 斜 二 测 图 形 中 O?B? ? 2 2 且 ?B?O?A? ? 45? , 那 么 在 原 图 形 中 , ?BOA ? 90? 且

OB ? 4 2 .因此,原平面图形的面积为 2 ? 4 2 ? 8 2 ,故正确答案为 D.
4.[答案] C
[解析]对于②,平面? 与 ? 还可以相交;对于③,

当 a // b 时,不一定能推出? // ? ,所以②③是错误的,

易知①④正确,故选 C.

5. [答案] A

[解析] 过 B 作 BE ? AC ,垂足为 E ,平面 B1BE



A1C1



E1 ,则

BE

?

25 5

,由题意根据三视图的

规则知,几何体的侧视图表示长为 2 5 ,宽为 2 的 5

矩形,所以几何体的侧视图的面积为 S ? 2 5 ? 2 ? 4 5 .

5

5

6.[答案] A

第(5)题图

N E

M F

D C

A

B

第(6)题图

[解析] 将此展开图还原成正方体(如图).可以看出: B、C、D 是正确命题. 7.[答案] C
[解析] 对于 A,直线 m 可能位于平面? 内;对于 B,直线 m 可能位于平面? 内;对于 D,当直线 m 与平面? 相交时, 显然在该直线上也能找到两个不同的点到平面? 的距离相等.

8.【答案】A [解析] 正视图和侧视图完全相同时,牟合方盖相对的两个曲面正对前方,正视图为一个圆, 而俯视图为一个正方形,且有两条实线的对角线。 9.[答案] A

[解析] 由题意可得,问题等价于圆锥的内接长方体的体积(其中一个面为正方形),如图
所示,则有 x ? 2 ? h ,?h ? 2 ? 2x ,所以长方 12
体体积V (x) ? (2x)2 (2 ? 2x) ? ?8x3 ? 8x2 (0 ? x ? 1)

令V '(x) ? ?24x2 ?16x ? 0,得x ? 2 , 3

32

? x ? 2 时V (x) 有最大值V ( 2) ? 32 ,故利用率为 27 ? 16 ,故选 A。

3

3 27

1 ? ?12 ? 2 9?

3

10.[答案] D

[解析]设正四面体棱长为 a ,则正四面体表面积为 S1 ? 4 ?

3 ?a2 ? 4

3a 2 ,其内切球半

径 为 正 四 面 体 高 的 1 , 即 r ? 1? 6 ?a ? 6 a , 因 此 内 切 球 表 面 积 为

4

43

12

S2

? 4?

?r2

?

? 6

a 2 ,则 S1 S2

?

3a 2 ? a2

?

63 ?

6

11. [答案] C

[解析] 过 H 的截面与球体左右分别交于 M , N 两点,三角形 ABN 为直角三角形,因为

HN ? 2 ,由射影定理可知, AH ? 2 3 , BH ? 2 3 ,所以球体的半径为 4 3 ,故表面

3

3

积 S ? 4? ? 16 ? 64? 33

第(12)题图

12. [答案] C
[解析] ? A1D1 ? DC1 , A1B ? DC1 , A1D1 ? A1B ? A1, ? DC1 ? 平面 A1BCD1 , D1P ? 平面 A1BCD1 因此 DC1 ? D1P ,故 A 正确;由于 D1A1 ? 平面 A1ABB1 , D1A1 ? 平面 D1 A1P ,故平面 D1A1P ? 平面 A1AP ,故 B 正确,

当 0 ? A1P ?

2 2

时,?APD1 为钝角,C

错;将面

AA1B 与面

A1BCD1 沿

A1B

展成平面图形,

线段 AD1 即为 AP ? PD1 的最小值,利用余弦定理解 AD1 ? 2 ? 2 ,故 D 正确,故答案
为 C.

13.[答案] 3 ? 3

[解析]

设圆锥底面半径为

r

,母线长为

l

,高为

h

,则

?? ? ??

? 1
2

?l ??

? l2

2? ?

?r 2?

?

?l ??r

? ?

2 1



?h ?

3.

?V圆锥

?

1? 3

? 12

?

3 ? 3? 3

14. [答案] 2 5
[解析] 从正三棱锥的 6 条棱中随机选取 2 条,有 15 种选法,因为正三棱锥侧棱长为 1,

底面三角形的边长为 2 ,易知其中两条棱互相垂直的选法共有 6 种,所以所求概率为 2 。 5
15.[答案] ①②

[解析] 由题意得, AB / /CD ,? A, B,C, D 四点共面,①: AC ? ? , EF ? ? ,

AC ? EF ,又 AB ? ? , EF ?? ,?AB ? EF , AB ? AC ? A, ?EF ?面 ABCD, 又 BD ? 面 ABCD ,?BD ? EF ,故①正确;②:由 AC 与 CD 在 ? 内的射影在同一

条直线上可知 EF ? AC ,由①可知②正确;③错误,故填:①②.
16.[答案] 36

[解析] 最多能盛多少水,实际上是求三棱锥 C1 ? CD1B1 的体积. 又V三棱锥C1?CD1B1 ? V三棱锥C?B1C1D1 =13×(12×6×6)×6=36(cm3),
所以用图示中这样一个装置来盛水,最多能盛 36 cm3 体积的水.

17. 解 (I)证明:如图,因为三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,所以 AE ? BB1 又 E 是正 三角形 ABC 的边 BC 的中点,所以 AE ? BC ,因此 AE ? 平面 B1BCC1 .
而 AE ? 平面 AEF ,所以平面 AEF ? 平面 B1BCC1 . (II)设 AB 的中点为 D ,连接 A1D , CD .因为 ABC 是正三角形,所以 CD ? AB .又 三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,所以 CD ? AA1 . 因此 CD ? 平面 A1ABB1 , 于是 ?CA1D 为直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角. 由题设, ?CA1D ? 45 ,

所以 A1D ? CD ?

3 AB ? 2

3.

在 Rt AA1D 中, A1A ? A1D2 ? AD2 ? 3 ?1 ? 2 ,

第(17)题 图

所以

FC

?

1 2

AA1

?

2. 2

故三棱锥 F ? AEC 的体积V ? 1 S 3

1 AEC ?FC ? 3 ?

3? 2

2? 6. 2 12

18、[解析] (I)如图,连接 AB1 , ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,

?CAB ? ? 2



? AC

? 平面ABB1A1 ,故 AC

?

BA1 .

又 AB ? AA1,?四边形ABB1A1 是正方形,

? BA1 ? AB1 ,又 CA ? AB1 ? A ,

第(18)题图

? BA1 ? 平面CAB1,故 CB1 ? BA1 .

(II) AB ? AA1 ? 2,BC= 5,? AC ? A1C1 ?1,由(1)知,? A1C1 ? 平面ABA1 ,

?三棱锥A1

?

ABC1的体积=VC1 ? ABA1

?

1 3 S?ABA1

?

A1C1

?

1 ? 2?1 ? 3

2 3

.

19.[解析]: (I)在三棱柱 ABC ? A?B?C? 中,点 D 是 BC 的中点, 取 B?C? 的中点 E ,连接 A?E , A?B , BE , 则平面 A?EB ∥平面 AC?D , A?E, A?B, BE 即为应画的线.

理由如下:因为 D 为 BC 的中点, E 为 B?C? 的中点,所以 BD ? C?E . 又因为 BC ∥ B?C? , 所以四边形 BDC?E 为平行四边形, 所以 DC? ∥ BE . DC? ? 平面A?BE . BE ? 平面A?BE .

? DC? // 平面A?BE .

连接 DE ,则 DE ∥= BB? ,

所以 DE ∥= AA? ,

所以四边形 AA?ED 是平行四边形, 所以 AD ∥ A?E . AD ? 平面A?BE . AE? ? 平面A?BE .

第(19)题图

? AD // 平面A?BE .

又因为 AD ? DC? ? D , AD ? 平面AC?D , DC? ? 平面AC?D ,

所以平面 A?EB 平面AC?D A′

(II)设棱柱的底面积为 S ,高为 h .



V =V =13 三棱锥C?-ACD

三棱锥 B -A? B ? E

?

1 2

Sh=

1 6

Sh.

所以三棱柱夹在平面 AC?D 与平面 A?EB 间的体积为

V?=Sh-2? 1 Sh= 2 Sh , 63
∴所作截面与平面 AC?D 将三棱柱分成的三部分的体积之比为

1 Sh∶2 Sh∶1 Sh=1∶4∶1. . 636

20.[解析] (I)因为 AB 是直径,所以 BC ? AC

因为 ?ABC是 ?AED的投影,所以 CD ?平面 ABC,

D

CD ? BC 因为 CD ? AC ? C ,所以 BC ? 平面 ACD

C

E

因为 CD ?平面 ABC, BE ? 平面 ABC,所以 CD // BE

又因为 CD ? BE ,所以 BCDE 是平行四边形, BC // DE , A

? O

B

DE ? 平面 ACD因为 DE ?平面 ADE ,

所以平面 ADE ? 平面 ACD

第(20)题图

(II)依题意, EB ? AB? tan ?EAB ? 4 ? 1 ? 1 4

由⑴知 VC ? ADE

? VE?ACD

?

1 3

?

S

?ACD

? DE

?

1 ? 1 ? AC ? CD ? DE 32

? 1 ? AC? BC 6

? 1 ? (AC2 ? BC2 ) ? 1 ? AB2 ? 4 ,

12

12

3

等号当且仅当 AC ? BC ? 2 2 时成立

此时, AD ?

12 ? (2

2)2

? 3 , S?ADE

?

1 ? AD? DE 2

?3

2

设三棱锥 C ? ADE的高为 h ,则VC?ADE

?

1 3 ? S?ADE

?h

?

4 3

? h?2 2 3
21.[解析](I)存在一条侧棱 SA ? 平面ABCD ,如图所示. 在?SAD中,SA ? AB,

在?SAD中,SA ? AD,又 AB? AD ? A, AB, AD ? 面ABCD

?SA ? 面ABCD (II) 取SD中点F,SC的中点G,连接AF、FG、EG
SA ? 面ABCD,?SA ? CD

又 CD ? AD且SA ? AD ? A,?CD ? 面SAD

?CD ? AF Rt?SAD中,SA ? AD,
? AF ? SD,又 CD ? SD ? D,? AF ? 面SCD,

第(21)题图

FG / /CD, FG ? 1 CD, AE ? 1 CD

2

2

?FG / / AE, FG ? AE,?四边形AEGF为平行四边形

?EG / / AF,?EG ? 面SCD,又 EG ? 面SEC,?平面SEC ? 平面SCD

22. [解析] (I)因为 D, E 分别为 AC, AB 的中点,所以 DE / /BC.

又因为 DE ? 平面A1CB,所以DE / /平面A1CB (II)由已知得 AC ? BC,且DE / /BC,

所以 DE ? AC. 所以DE ? A1D, DE ? CD,所以DE ? 平面A1DC 而A1F ? 平面A1DC, 所以DE ? A1F

又因为 A1F ? CD, 所以A1F ? 平面BCDE.

第(22)题图

所以 A1F ? BE.

(Ⅲ)如图, P,Q 分别为 A1 C, A1B 的中点,则 PQ / / BC. 又因为 DE / /BC.,所以 DE / /PQ,

所以平面 DEQ 即为平面 DEP.

由(2)知, DE ? 平面A1 DC, 所以DE ? A1C.

又因为 P 是等腰直角三角形 DA1C 底边 A1C 的中点,所以 A1C ? DP. 所以 A1C ? 平面DEP, 从而 A1C ? 平面DEQ.


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