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南朝数学家祖冲之传


南朝数学家祖冲之传 家世与生平 祖冲之(429—500) ,是南北朝时期杰出的数学家、天文学家和机械发明家。字文远, 范阳郡遒县(今河北涞源)人,刘宋元嘉六年(429)生于建康(今江苏南京) 。曾祖父祖台 之,东晋时曾任侍中、光禄大夫等要职。祖父祖昌任刘宋大匠卿,是主管土木工程的官员。 父亲祖朔之为奉朝请,学识渊博,很受时人敬重。祖氏家庭的历代成员有较高的科学素养, 大都对数学和天文历法有所研究。 祖冲之自幼受到科学气氛的薰陶和良好的家庭教育, 青年 时代曾到华林学省专门从事学术研究。 后来步入仕途, 先后在刘宋朝和南齐朝担任南徐州 (今 江苏镇江)从事史、公府参军、娄县(今江苏昆山)令、谒者仆射、长水校尉等官职。任职 期间,曾写过《安边论》等讨论屯田、垦殖等方面应采取的政策的政论性文章。晚年,齐明 帝曾令他巡行四方,兴造大业,以利百姓,但因发生战争而作罢。这时他已是风烛残年,老 死将至,不久后即于南齐永元二年(500)逝世,享年七十二岁。 祖冲之从很小的时候起便对数学和天文学产生了浓厚的兴趣。 “专功数术, 他 搜炼古今” , 广泛收集从上古时代起直到 6 世纪他生活的时代止的各种文献资料,进行了认真的考察。 他还“亲量圭尺,躬察仪漏,目尽毫厘,心穷筹策” ,在公余之暇坚持进行天文观测和数学 计算,积累了大量的新资料。经过深入研究,他终于在数学、天文学和机械制造、交通工具 等领域,获得许多极有价值的新成果,攀登上了他生活时代的科学技术高峰。 关于圆周率的计算 祖冲之在数学方面的突出贡献是关于圆周率的计算, 确定了相当精确的圆周率值。 中国 古代最初采用的圆周率是“周三径一” ,也就是说,π=3。这个数值与当时文化发达的其他 国家所用的圆周率相同。但这个数值非常粗疏,用它计算会造成很大的误差。随着生产和科 学的发展,π=3 就越来越不能满足精确计算的要求。因此,中外数学家都开始探索圆周率 的算法和推求比较精确的圆周率值。在中国,据公元 1 世纪初制造的新莽嘉量斛(亦称律 嘉量斛,王莽铜斛,是一种圆柱形标准量器,现存)推算,它所取的圆周率是。世纪初,东 汉天文学家张衡在 《灵宪》 中取用π= 3.1547 2730232≈ , 又在球体积计算中取用π= ≈ 。 三国时东吴天文学 3.1466 3.1622 10 家王蕃在浑仪论说中取用π= ≈ 。以上这些圆周率近 似值,比起 142453.1556 古率“周三径一” ,精确度有所提高,其中π= 还是世界上最早的 记录。但这些数值大多是经验结果,并没有可靠 10 的理论依据。在这方面最先取得突破性 进展的是魏晋之际的数学家刘徽。他在《九章算术注》中创立了“割圆术” ,为计算圆周率 建立起相当严密的理论和完善的算法。他所得到的圆周率值π= = 与π= 15750392712503.14=3.1416,都很精确,在当时世界上是很先进的,至今仍在经常使用。继 刘徽之后,祖冲之则将圆周率推算到更加精确的程度。据《隋书·律历志》记载,祖冲之确 定了π的不足近似值 3.1415926 和过剩近似值 3.1415927,π的真值在这两个近似值之间, 即 3.1415926<π<3.1415927 精确到小数 7 位。这是当时世界上最先进的数学成果,直到 约一千年后,才为 15 世纪中亚数学家阿尔·卡西(Al—kash1 16 F.Vi ta 1540 1603) ))和世 纪法国数学家韦达( è , — )所超过。关于他得到这两个数值的方法,史无明载,一般 认为是基于刘徽割圆术。通过现代计算验证,如果按照割圆术计算,要得到小数 7 位准确 的圆周率值, 必须求出圆内接正 12288 边形的边长和 24576 边形的面积, 这样, 就要对 9 位 数进行上百次加减乘除和开方运算,还要选择适当的有效数字,保证准确的误差范围。对于 用算筹计算的古代数学家来说, 这绝不是一件轻而易举的事情, 只有掌握纯熟的理论和技巧, 并具备踏踏实实和一丝不苟的研究精神, 才能取得这样的杰出成就。 祖冲之的这项记录在中 国也保持了一千多年。中国古代数学家和天文学家还往往用分数表示常量的近似值。为此, 祖冲之确定了π的两个分数形式的近似值:约率π=227≈ ,密率π= ≈ 。这两个数值都 是π的渐近分数。其 3.14 3.1415929355113 中约率,刘宋天文学家何承天及古希腊阿基米德

等都已用到过。密率 227355113 是π的分母小于的最佳近似分数,则为祖冲之首创。关于密 率 10000355113 是如何得到的,今人有“调日法”术,连分数法,解同余式或不定方程,割 圆术等种种推测, 迄今尚无定论。 在欧洲, π= 是世纪由 35511316 德国数学家奥托 (V.Otto , 1550(?)—1605)和荷兰工程师安托尼兹(A.Anthonisz,1527—1607)分别得到,后通 称“安托尼兹率” ,但这已是祖冲之以后一千多年的事情了。自从我国古代灿烂的科学文化 逐渐得到世界公认以来,一些学者就建议把π= 称为“祖率” ,以纪念祖冲之 355113 的杰 出贡献。 关于球的体积公式及其证明 祖冲之的另一项重要数学成就是关于球的体积公式及其证明。 各种几何体的体积计算是 古代几何学中的基本内容。 《九章算术》商功章已经正确地解决了棱柱、棱锥、棱台和圆柱、 圆锥、圆台等各种几何体的体积计算问题。但球体积的计算比较复杂, 《九章算术》中的球 体积公式相当于= V d9163(d 为球的直径) ,是一个误差很大的近似公式。东汉科学家张 衡曾经研究了这个问题,他试图通过先求出球与外切正方体的体积之比然后再来计算球体 积,但没有得到正确的结果。魏晋时的刘徽则将球体积问题的研究推进了一大步。他指出, 《九章算术》少广章所说球与其外切圆柱的体积之比为π∶4,这一结论是错误的,并且说 明球与外切于球的“牟合方盖”的体积之比才是π∶4(两个底半径相同的圆柱垂直相交, 其公共部分称为“牟合方盖” ,好像两把扣在一起且上下对称的正方形的伞) 。因此,只要求 出牟合方盖体积,就可推算出球体积。然而,刘徽始终未能求出牟合方盖体积,所以也未能 解决球体积问题。他在《九章算术》少广章开立圆术的注释中说, “欲陋形措意,惧失正理, 敢不阙疑,以俟能言者” ,实事求是的提出问题,留待后人去解决,表现了一位杰出科学家 的虚心和慎重的科学态度。以后又经过近 200 年,祖冲之及其子祖暅才对于这一问题取得 了突破。 祖冲之父子通过对牟合方盖水平截面面积的分析, 判定它的体积等于正方体与两个 正方锥的体积之差,从而推算出牟合方盖的体积等于 2 3d 3( 为球的直径长度) ,并进一步 得到正确的球体积公式= π , d V d 3 16 完全解决了球体积的计算问题。由于当时用圆周 率,所以他们的球体 227 积公式为= 。祖氏父子在推导球体积公式过程中,还明确地提出 了 V11213 d 一个重要原理: “幂势不同,则积不容异”①,即二立体如果在等高处截面的面 积相等,则它们的体积也必定相等。这个原理现常被称为“祖氏公理” 。在西方,这个原理 也是一千年后才由 17 世纪意大利数学家卡瓦列里(F.B.Cavalieri,1598—1647)提出来的, 并被称为“卡瓦列里公理” 。这个原理很重要,它是后来创立微积分学的不可缺少的一步。 《隋书·律历志》在叙述祖冲之圆周率之后说他, “又设开差幂,开差立,兼以正负参 之,指要精密,算氏之最者也”①。据考证,这可能是指开带从平方和开带从立方法,即解 一般形式的二次方程和三次方程,其中各项系数可正可负,在当时中国乃至世界上,要解决 这类问题都是比较困难的。但因祖冲之的解法早已失传,现已无法了解其具体内容。祖冲之 及其子祖暅的数学成就总结在《缀术》一书中。唐显庆元年(656)国子监添设算学馆,规 定《缀术》为必读的“十部算经”之一,学习期限为四年,是数学书中学习时间最长的一种。 《缀术》还曾传入朝鲜和日本,被选作数学教育的教材。可惜的是祖冲之的这部数学专著早 已失传,其具体内容已无法详知了。 对天文历法的研究 祖冲之对天文历法的研究早在青少年时代就已经开始了。 经过多年的实际观测和反复推 算,他发现当时行用的何承天《元嘉历》已经与实际天象不合。例如按《元嘉历》算出的冬 至时太阳所在位置与实测结果已差 3 度, 冬至和夏至时刻已差 1 天, 五星出没时间差 40 天, 等等。这种情况显然是必须加以改变的。因此,他着手编制了一部新的历法,即后世所称的 《大明历》 。祖冲之在天文历法方面的成就,大都包含在《大明历》和为《大明历》所写的 “驳议”之中。按祖冲之的自述, 《大明历》 “改易之意有二,设法之情有三” 。所谓“改易”

是指在历法计算中引进岁差和对闰周的改革, 这是中国历法史上的重大进步, 对后世产生了 深远的影响。所谓“设法”是指推算上元积年时增加了一些条件,如甲子年,十一月初一为 甲子日,日月合璧,五星联珠等,这在数学上对于同余式解法的研究有所推动,但对于历法 的发展并没有太大的意义。
① 《九章算术》少广章开立圆术李淳风注。 ① “负”字原著为“员” ,此据钱宝琮主编《中国数学史》校改。

祖冲之《大明历》的重要贡献是在历法计算中首先考虑了岁差的影响。 冬至时刻太阳在黄道上的位置叫做冬至点。 中国古代的天文学家最初认为, 太阳在黄道 上运行,从冬至点开始经过一个回归年又回到原来的冬至点,也就是说,冬至点是固定不变 的。实际上,冬至点在恒星间的位置并不是固定不变的,它在星空中有极缓慢的移动,每年 的移动值就叫做岁差。早在战国时期,中国天文学家把冬至点确定在牵牛初度,如当时行用 的一种历法《颛顼历》 ,其冬至点距牛宿距星的赤道宿度不到 1 度。西汉末年刘歆发现当时 的冬至点已经不在牵牛初度,而是在牛宿以西靠近斗宿的建六星附近。东汉天文学家贾逵、 编?、李梵、刘洪等,通过实际观测和推算,进一步肯定了冬至点位置的变化,并指出当时 的冬至点既不在牵牛初度,也不在建星附近,而是在斗 21 度。但他们并没有深究其中的规 律,也没有认识到这一变化对于历法计算的影响。魏晋以后,天文观测日趋精密,对岁差现 象的探讨也有所前进, 其中最突出的就是东晋天文学家虞喜。 虞喜认识到经过一个回归年之 后,太阳并未在天上走一周天而回到原处,而是“每岁渐差” ,明确指出了岁差现象,并提 出“天自为天,岁自为岁”的新观点。他还给出了 50 年差 1 度的岁差值。其后何承天又给 出了 100 年差 1 度的岁差值。但虞喜和何承天还都没有在历法中考虑到岁差。祖冲之不仅 肯定了岁差现象的存在,指出“冬至所在,岁岁微差” ,而且最早把岁差作为一个重要因素 应用到历法计算中去,这对于提高所编制的历法的精度,是有重要作用的,并为后世历家所 遵循。据《隋书·律历志》记载,祖冲之经实测确定当时冬至点已移到斗 15 度,经与后秦 姜岌的观测值比较, 发现不到百年冬至点已移动了 2 度, 因而定岁差为 45 年 11 月差 1 度, 并用于历法计算。根据现代观测,冬至点大约每年沿黄道西移 50.2 秒,换算成赤经则为大 约 78 年西移 1°,由此可知,虞喜、何承天与祖冲之的岁差值与实际值相比,还有较大的 误差。尽管如此,岁差现象的发现,将太阳在黄道上运行一周的恒星年与反映四季变化周期 的回归年这两个概念区别开来, 并将岁差应用到编制历法中去, 仍是中国历法史上具有划时 代意义的重大进步。 祖冲之《大明历》中另一项重要贡献是关于闰周的改革。中国古代天文学家长期采用 19 年 7 闰的闰法, 用以调整回归年与朔望月的关系。 北凉天文学家赵■首先提出 600 年间 置入 221 个闰月的新闰周。但直到南朝何承天编制《元嘉历》时,仍未能接受改革闺周的 新思想。祖冲之认为 19 年 7 闰确实不够精密,因而在他所编制的《大明历》中大胆地采用 了改革闰周的思想,提出 391 年置入 144 个闰月的新闺周,突破了已经沿袭千年的闰法。 祖冲之的这一数据, 在相当长的时间内都是诸家历法中最好的结果。 除引进岁差和采用新闰 周外,祖冲之在《大明历》中还提出了交点月的概念并给出了交点月的数值。交点月的发现 对于推算日食和月食发生的时间和位置等都有很重要的作用。根据《大明历》的数据推算, 其交点月长度为 27.21223 日, 与今测值 27.21222 日仅差十万分之一日。 祖冲之还改进了前 代关于木星公转周期的数值,得出木星(当时叫岁星)每 84 年超辰一次的结论,这相当于 求出木星公转周期为 11.858 年,与今测值相同。他所采用的其他天文数据也都是相当精确 的,如近点月为 27.554688 日,与今测值相差不到十万分之十四日;回归年长度为 365.2428 日,与今测值只差万分之六日;五大行星会合周期的数值也很精确,其中误差最大的火星也 没有超过百分之一日,误差最小的水星已经接近与今测值相合。此外,他还发明了用圭表测

量冬至前后若干天的正午太阳影长以定冬至时刻的方法,这个方法也为后世长期采用。 《大明历》中有很多创造性的贡献,是当时最优秀的一部历法。祖冲之于宋孝武帝大明 六年(462)上书刘宋政府,请求对新历进行讨论,予以颁行。但因遭到皇帝宠臣戴法兴的 反对,参与讨论的人又畏惧戴法兴的权势,多所附合,所以尽管祖冲之写了一篇有理有据的 辩驳文章,事情仍然拖了下来。等到大明八年,孝武帝打算于次年改元颁用新历时,却因孝 武帝的去世而作罢。南齐武帝时,文惠太子萧长懋见到祖冲之《大明历》 ,曾建议齐武帝施 行, 后又因文惠太子的去世而被搁置起来。 直到祖冲之去世后, 他的儿子祖暅又于天监三年、 天监八年和九年三次上书,请求梁朝政府颁行。经过实际观测检验,证实新历为密,这部当 时最好的历法才在梁天监九年(510)正式颁用,实现了祖冲之的遗愿,但这已是祖冲之死 后 10 年, 《上大明历表》以后半个世纪的事情了。 在祖冲之上书请求颁行《大明历》后,太子旅贲中郎将戴法兴曾对祖冲之和《大明历》 进行了激烈的攻击。 思想保守的戴法兴认为, 历法中的传统方法是 “古人制章” , “万世不易” ①的, 他责骂祖冲之引进岁差, 改革闰周等都违背了儒家经典, “削闰坏章” 是 , “诬天背经” , 宣扬天文历法“非凡夫所测”“非冲之浅虑,妄可穿凿” , 。祖冲之则针锋相对地写出了一篇 辩驳的奏章(现称“驳议” ,亦有些学者称之为“驳戴法兴奏章”。在“驳议”中,祖冲之 ) 用观测事实证明, 由于岁差, 当时所见的天象确实已和儒家经典中所反映的春秋以前的情况 不同,而回归年的长度也的确比《四分历》要小。这类天文事实“非出神怪” ,都是“有形 可验、 有数可推” 的,只要进行精密的观测和研究, 完全可以掌握日月五星的运行规律。 “艺 之兴因代而推移” ,前代天文学家能够有所发现,有所前进,符合实际情况,得到人们的赞 同。那么完全可以在前人的基础上“累功而求密” ,因此,不应该“虚推古人”“信古而疑 , 今” ,假如“古法虽疏,永当循用” ,那还成什么道理!他在“驳议”中还写下了两句名言: “愿闻显据,以核理实”“浮辞虚贬,窃非所惧” , 。为了明辨是非,他愿意彼此拿出明显的 证据来相互讨论,至于那些捕风捉影毫无根据的贬斥,他丝毫也不惧怕。 “驳议”是科学史 上的名篇。这篇理直气壮,语句铿锵和才华横溢的论文,充分显示了祖冲之的实践精神,批 判精神, 创造精神以及实事求是和敢于坚持真理的可贵品质, 这也是古往今来一切杰出科学 家所共有的科学精神。当然,事物都是一分为二的。戴法兴虽然是骄纵专断的权臣,但他也 是颇知古今的好学之士,因此他的看法也有一些可取之处。祖冲之是一位杰出的天文学家, 但他也有缺点。① 此段引文均见《宋书·律历志下》 。 例如关于上元积年问题,杨伟《景初历》 和何承天《元嘉历》 都有比较简单的处理方法, 可是祖冲之却把诸如近点月、 交点月以及五星运动周期等都列入了他的上元积年的考虑因素 之内,以至把过去已经很复杂的上元积年计算搞得更复杂,所得数据也格外庞大。戴法兴的 批评中就提到了这一点,并且指出要“省功于实用,不虚推以为烦也” ,这种看法无疑是很 正确的。 对多种机械的研究 祖冲之是一位博学多才的科学家, 对于各种机械也有研究。 他曾经设计制造过水碓磨 (利 用水力加工粮食的工具) ,铜制机件传动的指南车,一天能走百里的“千里船”以及类似于 木牛流马的陆上运输工具。他还设计制造过漏壶(计时器)和巧妙的欹器。此外,祖冲之也 精通音律,还写过小说《述异记》10 卷。祖冲之著述很多, 《隋书·经籍志》记载有《长水 校尉祖冲之集》51 卷,散见于各种史籍记载的有: 《缀术》《九章算术注》《大明历》《驳 , , , 议》《安边论》《述异记》《易老庄义》《论语孝经释》等。但其中绝大部分著作都已失传, , , , , 现在仅能见到《上大明历表》《大明历》《驳议》《开立圆术》等有限的几篇, 、 、 、 《太平御览》 中还收有《述异记》的片断。为了纪念和表彰祖冲之在科学上的卓越贡献,人们建议把密率 称为“祖率” ,紫金山天文台已把该台发现的一颗小行星命名为 355113“祖冲之星” ,莫斯 科大学里刻有世界著名科学家的雕像, 其中就有祖冲之的雕像, 中国历史博物馆等许多博物

馆都有祖冲之的雕像或画像,在月球背面也已有了以祖冲之名字命名的环形山。 祖冲之之子祖暅,字景烁,也是南北朝时期的著名数学家和天文学家,曾任梁朝员外散 骑侍郎、太府卿、南康太守、材官将军、奉朝请等官职。在战乱频繁的年代里,祖暅的生活 很不安定也不顺利, 甚至坐过监狱, 当过俘虏, 但他始终没有放弃数学和天文学的研究工作。 祖暅是祖冲之科学事业的继承者。在数学方面,他与父亲共同解决了球体积的计算问题,并 提出了“幂势既同,则积不容异”的原理,现在称为“祖氏公理”或“祖暅公理” 。数学名 著《缀术》很可能是这父子两人共同劳动的成果。在天文历法方面,他三次上书梁朝政府建 议改用《大明历》 ,终于被采纳颁行。他还曾亲自监造八尺铜表,测量日影长度,并发现北 极星与北天极不动处相差 1 度有余,纠正了北极星就是北天极的错误观点。出于研究天文 和准确计时的需要,他还研究与改进过当时通用的计时器漏壶,并撰有《漏刻经》1 卷,现 已失传。晚年曾参加阮孝绪编著《七录》的工作,负责天文、星占、图纬等方面的古籍。他 还著有《天文录》30 卷,也已失传,仅存若干片断,散见于唐瞿昙悉达修撰的《开元占经》 等书中。祖暅之子祖皓,少传家业,也精通数学和天文学。梁朝时曾任江都令,广陵太守, 深受百姓爱戴。侯景之乱时被俘,惨遭杀害。这个世代相传成绩卓著的科技世家至此也就无 以为继了。


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