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68离散型随机变量及分布列

一、选择题(共 6 个小题,每小题 5 分,满分 30 分) 1.某射手射击所得环数 X 的分布列为: X P 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.22

则此射手“射击一次命中环数大于 7”的概率为( A.0.28 C.0.79 B.0.88 D.0.51

)

解析:P(X>7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) =0.28+0.29+0.22=0.79. 答案:C 2.在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便,现从中任意选 10 个村庄,用 X 表示这 10 C4C6 7 8 个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于 10 的是( C15 A.P(X=2) C.P(X=4) B.P(X≤2) D.P(X≤4) )

解析:15 个村庄中,7 个村庄交通不方便,8 个村庄交通方便,C4C6表示选出的 10 个 7 8 村庄中恰有 4 个交通不方便、6 个交通方便的村庄,故 P(X=4)= 答案:C 3.一盒中有 12 个乒乓球,其中 9 个新的,3 个旧的,从盒中任取 3 个球来用,用完后 装回盒中,此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量,则 P(X=4)的值为( 1 A. 220 27 C. 220 27 B. 55 21 D. 25 ) C4C6 7 8 . C10 15

解析:由题意取出的 3 个球必为 2 个旧球 1 个新球, 故 P(X=4)= 答案:C 4.设随机变量 X 等可能取值 1,2,3,?,n,若 P(X<4)=0.3,则( A.n=3 C.n=9 B.n=4 D.n=10 )
2 C3C1 27 9 . 3 = C12 220

1 1 1 3 解析:P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)= + + = =0.3, n n n n ∴n=10. 答案:D 5.设 X 是一个离散型随机变量,其分布列为: X P -1 0.5 0 1-2q 1 q2

则 q 等于( A.1 C.1- 2 2

) B.1± 2 2 2 2

D.1+

解析:由分布列的性质得:

?1-2q≥0 ? 2 ?q ≥0 ?0.5+1-2q+q2=1 ?
∴q=1- 答案:C 2 . 2

?0<q≤2, ?? 2 ?q=1± 2 .
1

6.随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=k)= 1 5 P( <X< )的值为( 2 2 2 A. 3 4 C. 5 ) 3 B. 4 5 D. 6

c ,k=1,2,3,4,其中 c 是常数,则 k?k+1?

c c c c 5 解析:由题意得, + + + =1,得 c= ,于是 2 6 12 20 4 c c 2 2 5 5 1 5 P( <X< )=P(X=1)+P(X=2)= + = c= × = . 2 2 2 6 3 3 4 6 答案:D 二、填空题(共 3 个小题,每小题 5 分,满分 15 分) 7.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有 3 个抢答题,比赛规定:对于每一个题,没 有抢到题的队伍得 0 分, 抢到题并回答正确的得 1 分, 抢到题但回答错误的扣 1 分(即得-1 分); X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜), X 的所有可能取值是________. 若 则 解析:甲获胜且获得最低分的情况是:甲抢到一题并回答错误,乙抢到两题并且都回

答错误,此时甲得-1 分,故 X 的所有可能取值为-1,0,1,2,3. 答案:-1,0,1,2,3 8.设随机变量 X 的概率分布列如下表所示: X P 0 a 1 1 3 2 1 6

F(x)=P(X≤x),则当 x 的取值范围是[1,2)时,F(x)=__________. 1 1 1 解析:∵a+ + =1,∴a= .∵x∈[1,2), 3 6 2 1 1 5 ∴F(x)=P(X≤x)= + = . 2 3 6 答案: 5 6

9.由于电脑故障,使得随机变量 X 的分布列中部分数据丢失(以“x,y”代替),其表 如下: X P 1 0.20 2 0.10 3 0.x5 4 0.10 5 0.1y 6 0.20

则丢失的两个数据依次为______________. 解析:由于 0.20+0.10+0.x5+0.10+0.1y+0.20=1, 得 0.x5+0.1y=0.40,于是两个数据分别为 2,5. 答案:2,5 三、解答题(共 3 个小题,满分 35 分) 10.在学校组织的足球比赛中,某班要与其他 4 个班级各赛一场,在这 4 场比赛的任 意一场中,此班级每次胜、负、平的概率相等.已知当这 4 场比赛结束后,该班胜场多于 负场. (1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和; (2)若胜场次数为 X,求 X 的分布列. 解:(1)若胜一场,则其余为平,共有 C1=4 种情况;若胜两场,则其余两场为一负一 4
1 平或两平,共有 C2C2+C2=18 种情况;若胜三场,则其余一场为负或平,共有 C3×2=8 4 4 4

种情况;若胜四场,则只有一种情况.综上,共有 31 种情况. (2)X 的可能取值为 1,2,3,4, 4 18 8 P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= , 31 31 31 1 P(X=4)= , 31

所以 X 的分布列为: X P 1 4 31 2 18 31 3 8 31 4 1 31

11.(2011· 广东高考改编)为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙 两厂生产的产品中分别抽取 14 件和 5 件, 测量产品中微量元素 x, 的含量(单位: y 毫克). 下 表是乙厂的 5 件产品的测量数据: 编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

(1)已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素 x,y 满足 x≥175 且 y≥75 时,该产品为优等品.用上述样本 数据估计乙厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数 X 的 分布列. 14 5 解:(1)设乙厂生产的产品数量为 m 件,依题意得 =m,∴m=35. 98 答:乙厂生产的产品数量为 35 件. (2)∵上述样本数据中满足 x≥175 且 y≥75 的只有 2 件, 2 ∴估计乙厂生产的优等品的数量为 35× =14 件. 5 (3)依题意,X 可取值 0,1,2,则 C2 3 C1C1 3 C2 1 3 2 3 2 P(X=0)= 2= ,P(X=1)= 2 = ,P(X=2)= 2= , C5 10 C5 5 C5 10 ∴X 的分布列为 X P 0 3 10 1 3 5 2 1 10

12.某师范大学地理学院决定从 n 位优秀毕业生(包括 x 位女学生,3 位男学生)中选派 2 位学生到某贫困山区的一所中学担任第三批顶岗实习教师. 每一位学生被派的机会是相同 的. 3 (1)若选派的 2 位学生中恰有 1 位女学生的概率为 ,试求出 n 与 x 的值; 5 (2)记 X 为选派的 2 位学生中女学生的人数,写出 X 的分布列.

解:(1)从 n 位优秀毕业学生中选派 2 位学生担任第三批顶岗实习教师的总结果数为 C2 n n?n-1? = ,2 位学生中恰有 1 位女学生的结果数为 C1 -3C1=(n-3)×3. n 3 2 C1 -3C1 ?n-3?×3 3 n 3 依题意可得 = = ,化简得 n2-11n+30=0,解得 n1=5,n2=6. C2 n?n-1? 5 n 2 当 n=5 时,x=5-3=2;当 n=6 时,x=6-3=3,
?n=5 ?n=6 ? ? 故所求的值为? 或? . ?x=2 ?x=3 ? ?
2 ?n=5 ? C0C3 2 (2)当? 时, 可能的取值为 0,1,2.X=0 表示只选派 2 位男生, X 这时 P(X=0)= 2 C5 ? ?x=2

3 = , 10 X=1 表示选派 1 位男生与 1 位女生,这时 P(X=1)= X=2 表示选派 2 位女生,这时 P(X=2)= X 的分布列为: X P 0 3 10 1 3 5 2 1 10 C2 1 2 = . C2 10 5 C1C1 3 2 3 = , C2 5 5

0 ? ?n=6 C2C3 3 当? 时, 可能的取值为 0,1,2.X=0 表示只选派 2 位男生, X 这时 P(X=0)= 2 = C6 ?x=3 ?

1 , 5 X=1 表示选派 1 位男生与 1 位女生,这时 P(X=1)= X=2 表示选派 2 位女生,这时 P(X=2)= X 的分布列为: X P 0 1 5 1 3 5 2 1 5 C2C0 1 3 3 = . C2 5 6 C1C1 3 3 3 = , C2 5 6


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