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2018版高中数学 第二章 概率 第11课时 条件概率课件 新人教B版选修2-3_图文

目标导航 (1)了解条件概率的概念.(2)掌握求条件概率的两种方法.(3) 能利用条件概率公式解一些简单的实际问题.

1 新知识·预习探究 知识点一 条件概率的概念
设 A,B 为两个事件,且 P(A)>0,称 P(B|A)=PP??AAB??为在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率.P(B|A)读作 A 发生的条 件下 B 发生的概率.

讲重点 正确把握条件概率的特点

1.对“条件”的理解:

每一个随机试验,都是在一定条件下进行的,条件概率则是当

试验结果的一部分信息已经知道,即在原随机试验的条件上又加上

一定的条件.

2.对公式的理解: ①如果知道事件 A 发生会影响事件 B 发生的概率,那么 P(B)≠P(B|A);②已知 A 发生,在此条件下 B 发生,相当于 AB 发

生,要求 P(B|A),相当于把 A 看作新的基本事件空间计算 AB 发生

n?AB?

的概率,即

P(B|A)=nn??AAB??=

n?Ω? n?A?

=PP??AAB??.

n?Ω?

知识点二 条件概率的性质 1.P(B|A)∈[0,1]. 2.如果 B 与 C 是两个互斥事件,则 P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A). 讲重点 对条件概率性质的理解 1.前提条件:P(A)>0. 2.P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A),必须 B 与 C 互斥,并且都是 在同一个条件 A 下.

2 新视点·名师博客 类型一 利用定义求条件概率
【例 1】 一个袋中有 2 个黑球和 3 个白球,如果不放回地抽 取两个球,记事件“第一次抽到黑球”为 A;事件“第二次抽到黑 球”为 B.
(1)分别求事件 A,B,AB 发生的概率; (2)求 P(B|A).

解析:由古典概型的概率公式可知 (1)P(A)=25,P(B)=2×51×+43×2=280=25,P(AB)=25× ×14=110.
1 (2)P(B|A)=PP??AAB??=120=14.
5

点评 1.在本题中,首先结合古典概型分别求出了事件 A、B 的概率, 从而求出 P(B|A),揭示出 P(A),P(B)和 P(B|A)三者之间的关系. 2.用定义法求条件概率 P(B|A)的步骤是:(1)分析题意,弄清概
率模型;(2)计算 P(A),P(AB);(3)代入公式求 P(B|A)=PP??AAB??.

变式训练 1 从 1,2,3,4,5,6 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取

到的两个数之和为偶数”,事件 B=“取到的两个数均为偶数”,

则 P(B|A)=( )

1

1

A.8 B.4

2

1

C.5 D.2

解析:方法一: P(A)=C23+C26C23=25,P(AB)=CC2326=15.
1 由条件概率计算公式,得 P(B|A)=PP??AAB??=52=12.
5 方法二:因为 n(A)=C32+C32=6,n(AB)=C32=3,
所以 P(B|A)=nn??AAB??=36=12. 答案:D

类型二 利用基本事件个数求条件概率
【例 2】 现有 6 个节目准备参加比赛,其中 4 个舞蹈节目,2 个语言类节目,如果不放回地依次抽取 2 个节目,求:
(1)第 1 次抽到舞蹈节目的概率; (2)第 1 次和第 2 次都抽到舞蹈节目的概率; (3)在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下,第 2 次抽到舞蹈节目的概 率.

解析:设第 1 次抽到舞蹈节目为事件 A,第 2 次抽到舞蹈节目 为事件 B,则第 1 次和第 2 次都抽到舞蹈节目为事件 AB.
(1)从 6 个节目中不放回地依次抽取 2 个的事件数为 n(Ω)=A26= 30,
根据分步计数原理 n(A)=A41A51=20,于是 P(A)=nn??ΩA??=2300=23.
(2)因为 n(AB)=A24=12,于是 P(AB)=nn??AΩB??=1320=25.

(3)方法一:由(1)(2)可得,在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下, 第 2 次抽到舞蹈节目的概率为
2 P(B|A)=PP??AAB??=52=35.
3 方法二:因为 n(AB)=12,n(A)=20,
所以 P(B|A)=nn??AAB??=1220=35.

点评 1.本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法,法一为定义法, 方法二利用基本事件个数直接作商,是一种重要的求条件概率的方 法. 2.求条件概率 P(B|A)的关键就是抓住事件 A 作为条件和 A 与 B
同时发生这两件事,然后具体问题具体分析,公式 P(B|A)=PP??AAB??既 是条件概率的定义,同时也是求条件概率的公式.

变式训练 2 某个班级有学生 40 人,其中有共青团员 15 人, 全班分成四个小组,第一小组有学生 10 人,其中共青团员 4 人.现 在要在班内任选一名共青团员当团员代表,求这个代表恰好在第一 组内的概率.

解析:把 40 名学生看成 40 个基本事件,其中第一小组所包含 的基本事件个数为 10 个,第一小组的团员所包含的基本事件个数 为 4 个.
记“代表恰好在第一组”为事件 A. 记“代表为团员代表”记为事件 B. ∴n(A)=10,n(AB)=4.
∴P(B|A)=nn??AAB??=140=25. 故这个团员代表恰好在第一组内的概率为25.

类型三 条件概率的性质及应用 【例 3】 有外形相同的球分装三个盒子,每盒 10 个.其中, 第一个盒子中有 7 个球标有字母 A,3 个球标有字母 B;第二个盒子 中有红球和白球各 5 个;第三个盒子中则有红球 8 个,白球 2 个.试 验按如下规则进行:先在第一个盒子中任取一个球,若取得标有字 母 A 的球,则在第二个盒子中任取一个球;若第一次取得标有字母 B 的球,则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球, 则称试验为成功.求试验成功的概率.

解析:设 A={从第一个盒子中取得标有字母 A 的球}, B={从第一个盒子中取得标有字母 B 的球}, C={第二次取出的球是红球}, D={第二次取出的球是白球}, 则容易求得 P(A)=170,P(B)=130, P(C|A)=12,P(D|A)=12,P(C|B)=45,P(D|B)=15. 事件“试验成功”表示为 CA∪CB,又事件 CA 与事件 CB 互斥, 故由概率的加法公式,得 P(CA∪CB)=P(CA)+P(CB)=P(C|A)·P(A)
+P(C|B)·P(B)=12×170+45×130=0.59.

点评 1.应用概率加法公式的前提是事件互斥. 2.为了求复杂事件的概率,往往可以先把该事件分解成两个或 多个互斥事件,求出简单事件概率后,相加即可得到复杂事件的概 率.

变式训练 3 把一副扑克(不含大小王)的 52 张随机均分给赵、 钱、孙、李四家,A=赵家得到 6 张草花(梅花),B=孙家得到 3 张 草花.
(1)计算 P(B|A);(2)计算 P(AB).


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