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圆锥曲线


. 椭圆 一、椭圆的定义 1 、 椭 圆 的 第 一 定 义 : 平 面 内 一 个 动 点 P 到 两 个 定 点 F1 、 F2 的 距 离 之 和 等 于 常 数 ( PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ) ,这个动点 P 的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作 椭圆的焦距。 注意:若 ( PF1 ? PF2 ? F1 F2 ) ,则动点 P 的轨迹为线段 F1 F2 ; 若 ( PF1 ? PF2 ? F1 F2 ) ,则动点 P 的轨迹无图形。 二、椭圆的方程 1、椭圆的标准方程(端点为 a、b,焦点为 c) (1)当焦点在 x 轴上时,椭圆的标准方程: x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b 2 ; 2 a b y2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b 2 ; a2 b2 (2)当焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程: x2 y 2 ? ? 1 或者 mx2+ny2=1 2、两种标准方程可用一般形式表示: m n 三、椭圆的性质(以 x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 为例) a2 b2 1、对称性: 对于椭圆标准方程 x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) :是以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形;并且是以原点为对 a2 b2 称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。 2、范围: 椭圆上所有的点都位于直线 x ? ? a 和 y ? ?b 所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足 x . ?a, . y ? b。 3、顶点: ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆 x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为 A1 (?a,0) , a2 b2 A2 (a,0) , B1 (0,?b) , B2 (0, b) 。 ③线段 A1 A2 , B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴, A1 A2 的长半轴长和短半轴长。 4、离心率: ① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用 e 表示,记作 e ? ② 因为 (a ? c ? 0) ,所以 e 的取值范围是 (0 ? e ? 1) 。 ? 2a , B1 B2 ? 2b 。 a 和 b 分别叫做椭圆 2c c ? 。 2a a e 越接近 1,则 c 就越接近 a ,从而 b ? a 2 ? c 2 越小,因此椭圆越扁; 反之, e 越接近于 0, c 就越接近 0,从而 b 越接近于 a ,这时椭圆就越接近于圆。 2 2 当且仅当 a ? b 时, c ? 0 ,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为 x ? y ? a 。 ③ 离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。 注意:椭圆 x2 y2 ? ? 1 的图像中线段的几何特征(如下图): a2 b2 PF1 PM 1 ? PF2 PM 2 ?e ( PF1 ? PF2 ? 2a ) ( PM1 ? PM 2 ? 2a 2 ) c 5、椭圆的第二定义: 平面内与一个定点(焦点)和一条定直线(准线)的距离的比为常数 e, (0<e<1)的点的轨迹为椭圆 ( | PF | ?e) 。 d 即: 到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形, 也即上图中有 PF1 PM 1 ? PF2 PM 2 ? e。 . . x2 y2 ①焦

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