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成都市高二下第三次月考数学试题Word版(有答案)


成都市高二下第三次月考数学试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设集合 A.16 2.若复数 z ? A. ?3

A ? {x 0 ? x ? 3且x ? N
B.8

}的真子集的个数是( C.7 ) D. 3

) D.4 3

x ? 3i ( x ? R) 是实数,则 x 的值为( 1? i
B. 3 C. 0

3.曲线 C: y ? x 2 ? x 在 x ? 1 处的切线与直线 ax-y + 1 = 0 互相垂直,则实数 a 的值为( A. 3 B. -3 )

2 3 正视图 侧视图

1 C. 3

1 D. - 3
) 俯视图 图1

4.设图 1 是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(

9 ? ? 12 A. 2

9 ? ? 18 B. 2

C. 9? ? 42 )

D. 36? ? 18

5. 下列命题中正确结论的个数是(

①若 p,q 为两个命题,则“p 且 q 为真”是“p 或 q 为真”的必要不充分条件. ②若 p 为: ? ?? R, x 2 ? 2 x ? 0 ,则 ?p 为: ? ?? R, x 2 ? 2 x ? 0 . ③命题“ ?x, x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否命题是“ ?x, x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”. ④命题“若 ?p, 则 q”的逆否命题是“若 p,则 ?q ”. A.1 B. 2 C.3 D.4

6.已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的动点, 点 P 到准线的距离为 d, 且点 P 在 y 轴上的射影是 M, 7 ? 点 A? ?2,4?,则|PA|+|PM|的最小值是( 9 A. 2 7 B. 2 C.4 ) D.5

(x ? 7.将函数 y ? cos
左平移

?
3

) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向

? 个单位,所得函数的解析式为 6
y ? cos( 2 x ? 1 ? x? ) 2 2 2? ) 3
B .

A .

y ? cos( 2 x ?

?
2

)

C .

1 5? y ? cos( x ? ) 2 12

D. y ? cos(

8.阅读右侧的算法框图,输出的结果 S 的值为

A. 1

B.

9.已知偶函数 f ( x ) 在区间 [0, ??) 上单调递增,则满足

1 2

C. 3

D.

3 2

1 f (2 x ? 1) ? f ( ) 的 x 的取值范围为( ) 3
A.[0,

1 ] 3

B.(

1 1 , ) 3 2 1 2 , ) 3 3
第 8 题图

C.[

1 2 , ) 2 3

D.(

Sn 2n-3 10. (文) 设等差数列{an}、 {bn}的前 n 项和分别为 Sn、 Tn, 若对任意自然数 n 都有 = , Tn 4n-3 则

a4 的值为( b4
5 13



A.

B.

11 25

C.

1 4

D.

11 3

Sn 2n-3 10. (理) 设等差数列{an}、 {bn}的前 n 项和分别为 Sn、 Tn, 若对任意自然数 n 都有 = , Tn 4n-3 则 A. a9 a3 + 的值为( b5+b7 b8+b4 ) C.

3 7

B.

19 41

5 11

D.

1 3

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 11. 已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? 12.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 ?

?
6

, 写出直线 l 的标准参数方程_______________。

?1 2? ?2, 2 ? ? ,则 log2 f (2) ? _______. ? ?

β? α+β 4 π π ? α? 5 13.已知 cos? ?α-2?=-5,sin?β-2?=13,且2<α<π,0<β<2,则 cos 2 =____________. 14.(文)已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时 f ( x) ? x2 ? 2x ,则当 x ? 0 时,

f ( x) ? ______
知 y ? f ( x) 是 定 义 在 R上 的 奇 函 数 , 当 x<0时 14.(理)已 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1,则当x ? 0 时, f ( x) ? _ _____. 15 设 OA ? (t,1)(t ? Z ) , OB ? (2,4) ,满足 OA ? 4 ,则 ?OAB 不是直角三角形的概率是 __________

?? x ? y ? 2 ? 0 b?2 ? 16.(文)动点 P(a, b) 在不等式组 ? y ? x ? 0 表示平面区域内部及边界上运动, 则? ? 的 a ?1 ?y ? 0 ?

取值范围是 16 . ( 理 ) 若直 线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? kx ? my ? 4 ? 0 交 于 M , N 两 点, 且 M , N 关于 直线
? kx ? y ? 2 ? 0 ? x ? y ? 0 对称,动点 P( a, b) 在不等式组 ? kx ? my ? 0 表示平面区域内部及边界上运动,则 ?y ? 0 ?

??

b?2 的取值范围是 a ?1

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. (本题满分 10) 已知函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 3 sin 2 x ? a ( x ? R ), 若 f ( x ) 有最大 值 2 .(1),求实数 a 的值;(2)x ? [0,

? ]求函数 f ( x ) 的值域。 2

18. (本题满分 10 分) 甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女。 ( 1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师性别相同的概率; ( 2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师来 自同一学校的概率。 19.(本小题满分 12 分)已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB / / DC ,

1 AB ? 1 , M 是 PB 的中点。 2 (1)证明:平面 PAD ⊥平面 PCD ; (2)求异面直线 AC 与 PB 所成角的余弦值;

?DAB ? 90? , PA ? 底面 ABCD ,且 PA ? AD ? DC ?
(3)求平面 PAD 与平面 PCB 所成角的余弦值。

x2 y2 3 ? ? 1 (a>b>0)的离心率为 。圆 C a 2 b2 3 以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径且与直线 y=x+2 相切。

20.(文)(本小题满分 12 分)已知椭圆

(Ⅰ)求 a 与 b;

(Ⅱ)设该椭圆的左,右焦点分别为 F1 和 F2 ,直线 l1 过 F2 且与 x 轴垂直,动直线 l 2 与 y 轴 垂直, l 2 交 l1 于点 p..求线段 PF1 垂直平分线与 l 2 的交点 M 的轨迹方程,并指明曲线类型。 20(理)(本小题满分 12 分)已知椭圆 G :

x2 ? y 2 ? 1 .过点(m,0)作圆 x2 ? y 2 ? 1的切 4

线 I 交椭圆 G 于 A,B 两点. (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率;(2)将 AB 表示为 m 的函数,并求 AB 的最大值. 21(本小题满分 12 分)若数列 ?an ? 满足前 n 项之和 Sn ? 2an ? 4, bn?1 ? an ? 2bn , 且b1 ? 2 , (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

? bn ? 是等差数列; n? ?2 ? (3)(文)求数列 ?bn ?的通项公式及前 n 项和 Tn.
(2)求证数列 ? (理)已知数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn,证 Tn≥2. 22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c , 点 P(1, f (1)) 在函数 y ? f ( x) 的图象上,P点的切线方程为 y ? 3x ? 1 .(1)若 y ? f ( x) 在 x ? ?2 时有极值,求 f ( x) 的解析式; (2)若函数 y ? f ( x) 在区间 ?? 2,1? 上单调递增,求实数 b 的取值范围; (理)(3)在(1)的条件下是否存在实数 m ,使得不等式 f ( x) ? m 在区间 ?? 2,1? 上恒成立, 若存在,试 求出 m 的最大值,若不存在,试说明理由.

高二下第三次月考数学试题参考答案
题号 答案

1 C
? ? x ?1? ? ?

2 A

3 D

4 B

5 A
12.

6 A


7 C
13 ?

8 D

9 D

10 B

二. 11. ?

3 t 2 1 y ?1? t 2
2

(t 为参数)

1 2

63 (理), 65
15.

?? x 2 ? 2 x ? 1 x ? 0 14 文 ? x ? 2 x 理? 0 x?0 ? (??, ?2] ? [2, ??)
三. 17, 解:(1)f(x)=cos2x+ 3 sin2x+a+1 =2sin(2x+

4 7

16. ( 文 理 )

? )+a+1 6

因为 f(x)的最大值是 2,所以 a= -1┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5 分 (2)∵0≤x≤

? ? ? 7? 1 ? , ∴ ≤2x+ ≤ , ∴- ≤sin(2x+ )≤1 6 2 2 6 6 6 ? ∴-1≤2sin(2x+ )≤2,即 f(x)的值域是[-1,2] ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10 分 6 4 18. 解:(Ⅰ)略。共 9 种结果 概率 . ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5 分 9 2 (2)略。共 15 种结果 概率为 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5 分 5
19.解:方法一:(Ⅰ)证明:∵PA⊥面 ABCD,CD⊥AD, ∴由三垂线定理得:CD⊥PD. 因而,CD 与面 PAD 内两条相交直线 AD,PD 都垂直, ∴CD⊥面 PA D. 又 CD ? 面 PCD,∴面 PAD⊥面 PCD. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4 分 (Ⅱ)解:过点 B 作 BE//CA,且 BE=CA, 则∠PBE 是 AC 与 PB 所成的角. 连结 AE,可知 AC=CB=BE=AE= 2 ,又 AB=2, 所以四边形 ACBE 为正方形. 由 PA⊥面 ABCD 得∠PEB=90° 在 Rt△PEB 中 BE= 2 ,PB= 5 ,

? cos?PBE ? 10 . 5

BE 10 ? . PB 5
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈

所以异面直线 AC 与 PB 所成角的余弦值为

┈┈8 分 方法二:因为 PA⊥PD,PA⊥AB,AD⊥AB,以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度,如图建 立空间直角坐标系,则各点坐标为 A(0,0,0)B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,

0,0),P(0,0,1),M(0,1, ) . (Ⅰ)证明:因 AP ? (0,0,1), DC ? (0,1,0),故AP ? DC ? 0, 所以AP ? DC. 由题设知 AD⊥DC,且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线,由此得 DC⊥面 PA D. 又 DC 在面 PCD 上,故面 PAD⊥面 PCD. ┈┈┈┈┈ ┈4 分 (Ⅱ)解:因 AC ? (1,1,0), PB ? (0,2,?1),

1 2

故 | AC |? 2 , | PB |? 5 , AC ? PB ? 2, 所以 cos ? AC, PB ??
┈8 分 (3)略 分 20 (文) 【解析】 (1) 由于 e ?
3 3

AC ? PB | AC | ? | PB |

?

10 . 5

┈┈┈┈┈┈┈┈

┈┈┈┈┈┈12

∴ e2 ?

c 2 a 2 ? b2 1 ? ? 3 a2 a2



b2 2 ? a2 3

又b ?

2 1?1

? 2

∴b =2,a =3 因此, a ? 3 . b= 2 .
2 2

┈┈┈┈┈┈┈

┈┈┈5 分 (2)由(1)知 F1,F2 两点分别为(-1,0),(1,0),由题意可设 P(1,t).(t≠0). t 那 么 线 段 PF1 中 点 为 N ( 0 , , ) 设 M(x 、 y) 是 所 求 轨 迹 上 的 任 意 点 . 由 于 2

t ? t ? MN ? PF1 ? 2 x ? t ( y ? ) ? 0 则 消去参数 t 得 y2 ? ?4 x( x ? 0) M N? ( ? x , ? y ) .1 P F? ? ( 2 ?, t? ) 2 2 ? ?y ? t
,其轨迹为抛物线 (除原点) ┈7 分 (理)20.解:(Ⅰ )由已知得 a ? 2, b ? 1, 所以 c ? ┈┈┈┈┈┈┈┈┈

a 2 ? b 2 ? 3.

所以椭圆 G 的焦点坐标为 (? 3,0), ( 3,0) 离心率为 e ? ┈┈┈4 分

c 3 ? . ┈┈┈┈┈┈ a 2

(Ⅱ )由题意知, | m |? 1 .当 m ? 1 时,切线 l 的方程 x ? 1 ,

点 A、B 的坐标分别为 (1,

3 3 ), (1,? ), 此时 | AB |? 3 2 2

当 m=-1 时,同理可得 | AB |?

3

┈┈┈┈┈┈┈┈

┈┈┈6 分 当 | m |? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? k ( x ? m),

? y ? k ( x ? m), ? 由 ? x2 得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 m x ? 4k 2 m 2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ? 1. ?4
设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 )(x2 , y 2 ) ,则

x1 ? x2 ?
┈┈8 分

8k 2 m 1 ? 4k 2

, x1 x2 ?

4k 2 m 2 ? 4 1 ? 4k 2
| km | k ?1
2

┈┈┈┈┈┈

又由 l 与圆 x ? y ? 1相切, 得
2 2

? 1, 即m 2 k 2 ? k 2 ? 1.

所以 | AB |?

( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2
64 k 4 m ? 4( 4 k 2 m 2 ? 4) ? ] (1 ? 4k 2 ) 2 1 ? 4k 2
┈┈┈┈┈┈┈┈

? (1 ? k 2 )[ ? 4 3|m| . m2 ? 3

┈┈10 分 由于当 m ? ?3 时, | AB |? 所以 | AB |?

3,

4 3|m| , m ? (?? ,?1] ? [1,?? ) . m2 ? 3

因为 | AB |?

4 3|m| ? m2 ? 3

4 3 3 |m|? |m|

? 2,

且当 m ? ? 3 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2. ┈12 分 21.(1) an ? 2n?1 分 (2)

┈┈┈┈┈┈┈┈┈

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4

bn ?1 ? 2bn ? 2n ?1

,?

bn ?1 bn b ? n ?1 故{ n } 是以首项为 1,公差为 1 的等差数列。┈┈ n ?1 2 2 2n

┈┈8 分

(3) bn ? n.2n

, Tn ? (n ?1)2n?1 ? 2
?1 Tn ? (n ? 1) n2 ? 2 ≥2

(文)┈┈┈┈12 分 (理)┈┈┈┈

Tn ? (n ?1)2n?1 ? 2 单增
12 分

?14 ? 4a ? b ? 0 22、 解: (1)? x ? ?2 是方程 f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? 0 的根,


……1

? 3 ? 2a ? b ? 3 … 又切线的斜率, 即 f ' ( x) 在 x ? 1 时的值,


……………….2

且 点 P 既 在 函 数 y ? f ( x ) 的 图 像 上 , 又 在 切 线 y ? 3x ? 1 上 ,

? f (1) ? 4 ? 1 ? a ? b ? c
…..3 分 解 答

…………………

a ? 2, b ? ?4, c ? 5
……… …….5 分





f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 5

(2)? 曲线在点 P 处的切线方程为 y ? 3x ? 1 ? f ' (1) ? 3 ,得 2a ? ?b .欲使函数 y ? f ( x) 在 区 间 [?2,1] 上 单 调 递 增 , 只 需 当 ? 2 ? x ? 1 时 , f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? 0 成 立 . 即

3x 2 ? b( x ? 1) 成 立 . 当 x ? 1 时 对 一 切 的 实 数 b 不 等 式 3x 2 ? b( x ? 1) 成
立 ……………………………………………7 分

当 ? 2 ? x ? 1 时,则 ? 3 ? x ? 1 ? 0 ,可以化不等式为 b ? 故 增
3 2

3x 2 3x 2 ,此时 的最大值为 0 . x ?1 x ?1
[?2,1]
上 单 调 递

b?0



y ? f ( x)







………………………...10 分
2

(3)在(1)的条件下, f ( x) ? x ? 2 x ? 4 x ? 5 由 f ' ( x) ? 3x ? 4 x ? 4 ? 0 得函数的两个极 值 点 是

x ? ?2, x ?

2 3

.

















f (?2) ? 13



2 95 f( )? … 3 27

………..12 分

函数在区间的两个端点值分别为 f (?2) ? 13 , f (1) ? 4 .比较极值与端点的函数值,知在区 间 [?2,1] 上,函数 f ( x) 的最小值为 最大值为

95 95 .只需 m ? ,不等式 f ( x) ? m 恒成立.此时 m 的 27 27

95 …14 分 27


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