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陕西省西安市第七十中学2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题


2015-2016 学年第一学期高一年级 期末数学试卷
一、单项选择(本小题共 10 道,每题 5 分,共 50 分) 1. 不共面的四点可以确定平面的个数为( A.2 个 B.3 个 C.4 个 ) B.过点(1,0)的一切直线 ) D.无法确定

2.方程 y=k(x-1)(k∈R)表示( A.过点(-1,0) 的一切直线

C.过点(1,0)且不垂直于 x 轴的一切直线 D.过点(1,0)且除 x 轴外的一切直线 3.已知 AB//PQ,BC//QR, ?ABC ? 30 ,则 ?PQR 等于( A. 30? B. 30? 或 150? C. 150?
?



D.以上结论都不正确

4. 平行线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 和 6 x ? my ? 2 ? 0 的距离是(



8 A. 5
5.下列命题

B.2

11 C. 5

7 D. 5

①任何一 条直线都有唯一的倾斜角;②任何一条直线都有唯一的斜率; ③倾斜角为 90°的直线不存在; ④倾斜角为 0°的直线只有一条. 其中正确的有( A.0 个 ) B.1 个 C.2 个 D.3 个 )

6. 设 m, n 为两条不同的直线, α , β , γ 为三个不同的平面, 则下列四个命题中为真 命题的是( A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n B.若 m∥α ,m∥β ,则α ∥β C.若 m∥α ,n∥β ,m∥n,则α ∥β D.若α ∥β ,α ∩γ =m,β ∩γ =n,则 m∥n 7、圆:x +y ﹣2x﹣2y+1=0 上的点到直线 x﹣y=2 的距离最大值是(
2 2

)

A.2

B.

C.

D. )
1

8.已知直线 a、b 与平面α 、β 、γ ,下列条件中能推出α ∥β 的是(

A.a⊥α 且 a⊥β C.a ? α , b ? β ,a∥b

B.a⊥γ 且β ⊥γ D.a ? α ,b ? α ,a∥β ,b∥β )

9. 已知直线:l1:ax-y+2a=0 与 l2:(2a-1)x+ay+a=0 互相垂直,则 a 的值为( A.a=0 B.a=1 C.a=0 或 a=1 D. 2 - 1

10、方程(x+y﹣1)

= 0 所表示的曲线是(

)

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本小题共 4 道,每题 5 分,共 20 分) 11. 直线-x+ 3y-6=0 的倾斜角是________,在 y 轴上的截距是________. 12.已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸 (单位:cm),可得这个几何体的体积是 3 ________ cm

13. 已知过点 M(﹣3,0)的直线 l 被圆 x +(y+2) =25 所截得的弦长为 8,那么直线 l 的方程为 14.一个四边形的直观图是一个底角为 45°,腰和上底长均为 1 的等腰梯形.则原四边形的面积为

2

2

15---19 题见答题卡

2

2015-2016 学年第一学期高一年级 期末数学参考答案 一、单项选择(本小题共 10 道,每题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 B 5 B 6 D 7 B 8 A 9 C 10 D

二、填空题(本小题共 4 道,每题 5 分,共 20 分) 11. 30° 2 3 12. 8 000 3

13.x=﹣3 或 5x﹣12 y+15=0 14. 2+ 2 三、解答题(本题共 5 道,共 50 分) 15.(10 分)已知点 A(2,2)和直线 l:3x+4y-20=0.求: (1)过点 A 和直线 l 平行的直线方程; (5 分) (2)过点 A 和直线 l 垂直的直线方程. (5 分) [解答] 3 由 l:3x+4y-20=0,得 kl=- . 4

3 设过点 A 且平行于 l 的直线为 l1,则 k l =kl=- , 4 1 3 所以 l1 的方程为 y-2=- (x-2),即 3x+4y-14=0. 4 (2)设过点 A 与 l 垂直的直线为 l2. 4 因为 kl k l2 =-1,所以 k l2 = , 3 4 故直线 l2 的方程为 y-2= (x-2), 3 即 4x-3y-2=0. 16. (10 分)正四棱台两底面边长分别为 2 和 4. (1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为 45°,求棱台的侧面积; (5 分) (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和,求它的高. (5 分) 解:(1)如图,设 O1,O 分别为上,下底面的中心,过 C1 作 C1E⊥AC 于 E,过 E 作 EF⊥BC 于 F, 连接 C1F,则 C1 F 为正四棱台的斜高.

由题意知∠C1CO=45°,

CE=CO-EO=CO-C1O1= 2 .
在 Rt△C1CE 中,C1E=CE= 2 , 又 EF=CE·sin 45°=1

3

∴斜高 C1F= C1E +EF = 3
2 2

∴S 侧=12 3 (2)∵S 上底+S 下底=20 ∴ S 侧=20 ∴h 斜=

5 . 3
2 2

又 EF=1,h= h斜-EF =

4 . 3

17. (10 分)已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) ,B(2,﹣2) ,且圆心 C 在直线 l:x﹣y+1=0 上 (1)求圆 C 的标准方程(5 分) (2)求过点(1,1)且与圆相切的直线方程. (5 分) 解: (1)∵圆心 C 在直线 l:x﹣y+1=0 上,设圆心 C(a,a+1) , ∵圆 C 经过点 A(1,1)和 B(2,﹣2) ,∴CA=CB, 2 2 2 2 ∴(a﹣1) +(a+1﹣1) =(a﹣2) +(a+1+2) , 解得 a=﹣3,∴圆心 C(﹣3,﹣2) ,半径 CA=5, 2 2 ∴圆 C 的方程为(x+3) +(y+2) =25. (2)因为点 A(1,1)在圆上,且 kAC= 所以过点(1,1)切线方程为 y﹣1=﹣ (x﹣1) ,化简得 4x+3y﹣7=0. 18. (10 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 是正三角形,且与底面 ABCD 垂直,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,N 是 PB 中点,过 A,D,N 三点的平面交 PC 于 M,E 为 AD 的中点. 求证:(1)EN ∥平面 PDC; (4 分) (2)BC⊥平面 PEB; (3 分) (3)平面 PBC⊥平面 ADMN. (3 分)

∴AD∥平面 PBC. 又平面 ADMN∩平面 PBC=MN,∴AD∥MN. ∴MN∥BC.又 N 为 PB 中点,

∴四边形 DENM 为平行四边形.

4

∴EN∥平面 PDC. (2)连接 PE,BE.∵四边形 ABCD 为边长为 2 的菱形,且∠BAD=60°,

∴BE⊥AD.又 PE⊥AD,BE∩PE=E,∴AD⊥平面 PEB. ∵AD∥BC,∴BC⊥平面 PEB. (3)由(2)结论可知 AD⊥PB, 又 PA=AB 且 N 为 PB 的中点, ∴AN⊥PB.又 AD∩AN=A,∴PB⊥平面 ADMN.

19. (10 分)已知圆 C:x +y -2x+4y-4=0,是否存在斜率为 1 的直线 l,使以 l 被圆 C 截 得的弦 AB 为直径的圆过原点;若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. [解] 假设存在斜率为 1 的直线 l,满足题意, 则 OA⊥OB, 设直线 l 的方程是 y=x+b,其与圆 C 的交点 A,B 的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 · =-1, 即 x1x2+y1y2=0.① 由?
? ?y=x+b, ?x +y -2x+4y-4=0, ?
2 2 2 2

2

2

y1 y 2 x1 x2

消去 y,得 2x +2(b+1)x+b +4b-4=0. 1 2 所以 x1+x2=-(b+1),x1x2= (b +4b-4),② 2

y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2
1 2 1 2 2 2 = (b +4b-4)-b -b+b = (b +2b-4),③ 2 2 把② ③式代入①式,得 b2+3b-4=0,解得 b=1,或 b=-4, 且 b=1,或 b=-4 都使得 2 2 Δ =4(b+1) -8(b +4b-4)>0 成立. 故存在直线 l 满足题意, 其方程为 y=x+1,或 y=x-4.

5


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