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栾城县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

栾城县第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 某单位安排甲、乙、丙三人在某月 1 日至 12 日值班,每人 4 天. 甲说:我在 1 日和 3 日都有值班; 乙说:我在 8 日和 9 日都有值班; 丙说:我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是( A.2 日和 5 日 B.5 日和 6 日 C.6 日和 11 日 D.2 日和 11 日 ) )

姓名__________

分数__________

2. 设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公比 q=2,Sk+2﹣Sk=48,则 k 等于( A.7 3. “1<m<3”是“方程 A.充分不必要条件 C.充要条件 渐近线方程是( A.y=± x B.y=± B.6 + C.5 =1 表示椭圆”的( ) D.4

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 x 的焦点相同,且双曲线 C 过点 P(﹣2,0),则双曲线 C 的 ) C.xy=±2 x D.y=± x

4. 已知双曲线 C 的一个焦点与抛物线 y2=8

5. 在等比数列 {an } 中, a1 ? an ? 82 , a3 ? an?2 ? 81,且数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 121,则此数列的项数 n 等于( A.4 ) B.5 C.6 D.7

【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式,对逻辑推理能力、运算能力及分类讨论思想的理解有一 定要求,难度中等. 6. 若函数 A.(﹣∞,2) B. 是 R 上的单调减函数,则实数 a 的取值范围是( C.(0,2) ) D. )

7. 函数 f(x)=( )x2﹣9 的单调递减区间为( A.(﹣∞,0) B.(0,+∞)

C.(﹣9,+∞) D.(﹣∞,﹣9) )

8. 袋中装有红、 黄、 蓝三种颜色的球各 2 个, 无放回的从中任取 3 个球, 则恰有两个球同色的概率为 (

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A.

B.

C.

D.

9. 若集合 A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为(

)

A5 B4 C3 D2
10.如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一点, 则此点取自阴影部分的概率是( )

A.1﹣

B. ﹣

C.

D.

11.已知函数 f(x)= x3+(1﹣b)x2﹣a(b﹣3)x+b﹣2 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是﹣3,则不 等式组 A. B.
2 2 所确定的平面区域在 x +y =4 内的面积为(



C.π

D.2π )
2

12.下列命题正确的是(

2 2 A.已知实数 a , b ,则“ a ? b ”是“ a ? b ”的必要不充分条件

2 B.“存在 x0 ? R ,使得 x0 ?1 ? 0 ”的否定是“对任意 x ? R ,均有 x ?1 ? 0 ”
x C.函数 f ( x) ? x 3 ? ( ) 的零点在区间 ( , ) 内 1

1 2

1 1 3 2

D.设 m, n 是两条直线, ? , ? 是空间中两个平面,若 m ? ? , n ? ? , m ? n 则 ? ? ?

二、填空题
13.已知 f(x)= ,则 f(﹣ )+f( )等于 .

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?y ? x y 2 ? 2 xy ? 3x 2 ? 14.已知 x , y 满足 ? x ? y ? 4 ,则 的取值范围为____________. 2 x ?x ? 1 ?
15.函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ?1) x ? 2 在区间 ( ??, 4] 上递减,则实数的取值范围是 16.下列命题: ①集合 ?a, b, c, d? 的子集个数有 16 个; ②定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 必满足 f (0) ? 0 ; ③ f ( x) ? (2 x ? 1)2 ? 2(2 x ?1) 既不是奇函数又不是偶函数; ④ A? R,B ? R, f :x? ⑤ f ( x) ? .

1 ,从集合 A 到集合 B 的对应关系 f 是映射; | x|

1 在定义域上是减函数. x
. )

其中真命题的序号是 A. 2

? ? ? ? ? ? ? 17.已知向量 a ? (1, x), b ? (1, x ?1), 若 (a ? 2b) ? a ,则 | a ? 2b |? (
B. 3 C.2 D. 5

【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识,意在考查转化思想、方程思想、逻辑思 维能力与计算能力. 18.已知 x ? 1, x ? 3 是函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ??? ? 0? 两个相邻的两个极值点,且 f ? x ? 在 x ? 处的导数 f ? ?

3 2

?3? ? ? 0 ,则 ?2?

?1? f ? ? ? ___________. ?3?

三、解答题
19.已知函数 f(x)=lnx﹣ax﹣b(a,b∈R) (Ⅰ)若函数 f(x)在 x=1 处取得极值 1,求 a,b 的值 (Ⅱ)讨论函数 f(x)在区间(1,+∞)上的单调性 (Ⅲ)对于函数 f(x)图象上任意两点 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),不等式 f′(x0)<k 恒成立, 其中 k 为直线 AB 的斜率,x0=λx1+(1﹣λ)x2,0<λ<1,求 λ 的取值范围.

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20.已知数列 a1,a2,…a30,其中 a1,a2,…a10,是首项为 1,公差为 1 的等差数列;列 a10,a11,…a20,是公
2 差为 d 的等差数列;a20,a21,…a30,是公差为 d 的等差数列(d≠0).

(1)若 a20=40,求 d; (2)试写出 a30 关于 d 的关系式,并求 a30 的取值范围;
3 (3)续写已知数列,使得 a30,a31,…a40,是公差为 d 的等差数列,…,依此类推,把已知数列推广为无穷数

列.提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?

21.(本小题满分 12 分)若二次函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 满足 f ? x+1? ? f ? x ? ? 2x , 且 f ? 0? ? 1. (1)求 f ? x ? 的解析式; (2)若在区间 ??1,1? 上,不等式 f ? x ? ? 2x ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

22.(本小题满分 10 分)选修 4 ? 1 :几何证明选讲 如图所示,已知 PA 与⊙ O 相切, A 为切点,过点 P 的割线交圆于 B, C 两点,弦 CD // AP , AD, BC 相 交于点 E , F 为 CE 上一点,且 DE 2 ? EF ? EC . (Ⅰ)求证: ?EDF ? ?P ; (Ⅱ)若 CE : BE ? 3 : 2, DE ? 3, EF ? 2 ,求 PA 的长.

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23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 以坐标原点为极点,以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的参数方程为 ? 为参数, ? ? [0, ? ] ),直线 l 的参数方程为 í

? ? x ? 2 cos? (? ? y ? 2 sin ? ?

ì x = 2 + t cos a ? ( t 为参数). ? y = 2 + t sin a ? (I)点 D 在曲线 C 上,且曲线 C 在点 D 处的切线与直线 x + y +2=0 垂直,求点 D 的极坐标; (II)设直线 l 与曲线 C 有两个不同的交点,求直线 l 的斜率的取值范围.
【命题意图】 本题考查圆的参数方程、 直线参数方程、 直线和圆位置关系等基础知识, 意在考查数形结合思想、 转化思想和基本运算能力.

24.某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点)处 都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获 Y(单位:kg)与它的“相近”作物 株数 X 之间的关系如下表所示: X 1 2 3 4

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Y 51 48 45 42 这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米. (I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰 好“相近”的概率; (II)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.

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栾城县第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:由题意,1 至 12 的和为 78, 因为三人各自值班的日期之和相等, 所以三人各自值班的日期之和为 26, 根据甲说:我在 1 日和 3 日都有值班;乙说:我在 8 日和 9 日都有值班,可得甲在 1、3、10、12 日值班,乙 在 8、9、2、7 或 8、9、4、5, 据此可判断丙必定值班的日期是 6 日和 11 日, 故选:C. 【点评】本题考查分析法,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 2. 【答案】D 【解析】解:由题意,Sk+2﹣Sk=
k k 即 3×2 =48,2 =16,



∴k=4. 故选:D. 【点评】本题考查等比数列的通项公式,考查了等比数列的前 n 项和,是基础题. 3. 【答案】B 【解析】解:若方程 + =1 表示椭圆,

则满足

,即



即 1<m<3 且 m≠2,此时 1<m<3 成立,即必要性成立, 当 m=2 时,满足 1<m<3,但此时方程 分性不成立 故“1<m<3”是“方程 故选:B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键. + =1 表示椭圆”的必要不充分条件, + =1 等价为 为圆,不是椭圆,不满足条件.即充

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4. 【答案】A
2 【解析】解:抛物线 y =8

x 的焦点(2
2

,0), , .

双曲线 C 的一个焦点与抛物线 y =8 双曲线 C 的渐近线方程是 y=± 故选:A. x.

x 的焦点相同,c=2

双曲线 C 过点 P(﹣2,0),可得 a=2,所以 b=2

【点评】本题考查双曲线方程的应用,抛物线的简单性质的应用,基本知识的考查. 5. 【答案】B

6. 【答案】B

【解析】解:∵函数

是 R 上的单调减函数,

∴ ∴ 故选 B 【点评】本题主要考查分段函数的单调性问题,要注意不连续的情况. 7. 【答案】B 【解析】解:原函数是由 t=x 与 y=(
2

) ﹣9 复合而成,

t

∵t=x2 在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)为增函数; 又 y=( ) ﹣9 其定义域上为减函数,
t

x2 ∴f(x)=( ) ﹣9 在(﹣∞,0)上是增函数,在(0,+∞)为减函数,

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∴函数 ff(x)=( ) ﹣9 的单调递减区间是(0,+∞). 故选:B. 【点评】本题考查复合函数的单调性,讨论内层函数和外层函数的单调性,根据“同増异减”再来判断是关键. 8. 【答案】B
3 【解析】解:从红、黄、蓝三种颜色的球各 2 个,无放回的从中任取 3 个球,共有 C6 =20 种, 1 1 其中恰有两个球同色 C3 C4 =12 种,

x2

故恰有两个球同色的概率为 P= 故选:B.

= ,

【点评】本题考查了排列组合和古典概率的问题,关键是求出基本事件和满足条件的基本事件的种数,属于基 础题. 9. 【答案】C 【解析】由已知,得{z|z=x+y,x∈A,y∈B}={-1,1,3},所以集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个 数为 3. 10.【答案】A 【解析】解:设扇形的半径为 r,则扇形 OAB 的面积为 ,

连接 OC,把下面的阴影部分平均分成了 2 部分,然后利用位移割补的方法,分别平移到图中划线部分,则阴 影部分的面积为: ﹣ ,

∴此点取自阴影部分的概率是 故选 A.



11.【答案】 B 【解析】解:因为函数 f(x)的图象过原点,所以 f(0)=0,即 b=2. 则 f(x)= x3﹣x2+ax,

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2 函数的导数 f′(x)=x ﹣2x+a,

因为原点处的切线斜率是﹣3, 即 f′(0)=﹣3, 所以 f′(0)=a=﹣3, 故 a=﹣3,b=2, 所以不等式组 则不等式组 如图阴影部分表示, 所以圆内的阴影部分扇形即为所求. ∵kOB=﹣ ,kOA= , 为
2 2 确定的平面区域在圆 x +y =4 内的面积,

∴tan∠BOA=

=1, , ,扇形的面积是圆的面积的八分之一, ×4×π = ,

∴∠BOA=

∴扇形的圆心角为

2 2 ∴圆 x +y =4 在区域 D 内的面积为

故选:B

【点评】本题主要考查导数的应用,以及线性规划的应用,根据条件求出参数 a,b 的是值,然后借助不等式 区域求解面积是解决本题的关键. 12.【答案】C 【解析】



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点:1.不等式性质;2.命题的否定;3.异面垂直;4.零点;5.充要条件. 【方法点睛】本题主要考查不等式性质,命题的否定,异面垂直,零点,充要条件.充要条件的判定一般有① 定义法:先分清条件和结论(分清哪个是条件,哪个是结论),然后找推导关系(判断 p ? q, q ? p 的真假), 最后下结论(根据推导关系及定义下结论). ②等价转化法:条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆 否命题来判断.

二、填空题
13.【答案】 4 .

【解析】解:由分段函数可知 f( )=2× = . f(﹣ )=f(﹣ +1)=f(﹣ )=f(﹣ ∴f( )+f(﹣ )= + 故答案为:4. 14.【答案】 ? 2, 6? 【解析】 . )=f( )=2× = ,

考点:简单的线性规划. 【方法点睛】本题主要考查简单的线性规划.与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数

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2 2 的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.常见代数式的几何意义:(1) x ? y 表示点

? x, y ? 与原点 ? 0, 0? 的距离;(2) ? x ? a ? ? ? y ? b ?
2

2

表示点 ? x, y ? 与点 ? a, b ? 间的距离;(3)

? x, y ? 与 ? 0, 0? 点连线的斜率;(4) x ? a 表示点 ? x, y ? 与点 ? a, b ? 连线的斜率.
15.【答案】 a ? ?3 【解析】 试题分析:函数 f ? x ? 图象开口向上,对称轴为 x ? 1 ? a ,函数在区间 ( ??, 4] 上递减,所以 1 ? a ? 4, a ? ?3 . 考点:二次函数图象与性质. 16.【答案】①② 【解析】 试题分析:子集的个数是 2 ,故①正确.根据奇函数的定义知②正确.对于③ f ? x ? ? 4x2 ?1 为偶函数,故错误.
n

y?b

y 可表示点 x

对于④ x ? 0 没有对应,故不是映射.对于⑤减区间要分成两段,故错误. 考点:子集,函数的奇偶性与单调性. 【思路点晴】集合子集的个数由集合的元素个数来决定,一个个元素的集合,它的子集的个数是 2 个;对于 奇函数来说,如果在 x ? 0 处有定义,那么一定有 f ? 0? ? 0 ,偶函数没有这个性质;函数的奇偶性判断主要 根据定义 f ? ? x ? ? f ? x ? , f ? ?x ? ? ? f ? x ? ,注意判断定义域是否关于原点对称.映射必须集合 A 中任意一个 元素在集合 B 中都有唯一确定的数和它对应;函数的定义域和单调区间要区分清楚,不要随意写并集.1 17.【答案】A 【 解 析 】
n

18.【答案】 【解析】

1 2



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点:三角函数图象与性质,函数导数与不等式. 【思路点晴】本题主要考查两个知识点:三角函数图象与性质,函数导数与不等式.三角函数的极值点,也就 是最大值、最小值的位置,所以两个极值点之间为半周期,由此求得周期和 ? ,再结合极值点的导数等于零, 可求出 ? .在求 ? 的过程中, 由于题目没有给定它的取值范围, 需要用 f ? ? 就可以求出 f ? ? .1

?3? ? ? 0 来验证.求出 f ? x ? 表达式后, ?2?

?1? ?3?

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)f(x)的导数为 f′(x)= ﹣a, 由题意可得 f′(1)=0,且 f(1)=1, 即为 1﹣a=0,且﹣a﹣b=1, 解得 a=1.b=﹣2,经检验符合题意. 故 a=1,b=﹣2; (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 f′(x)= ﹣a,x>1,0< <1, ①若 a≤0,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)递增; ②0<a<1,x∈(1, ),f′(x)>0,x∈( ,+∞),f′(x)<0; ③a≥1,f′(x)<0.f(x)在(1,+∞)递减. 综上可得,a≤0,f(x)在(1,+∞)递增; 0<a<1,f(x)在(1, )递增,在( ,+∞)递减; a≥1,f(x)在(1,+∞)递减. (Ⅲ)f′(x0)= ﹣a= = < [λx1+(1﹣λ)x2], [λ+(1﹣λ) ], , ﹣a, = ﹣a,

直线 AB 的斜率为 k= f′(x0)<k? 即 x2﹣x1<ln 即为 ﹣1<ln

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令 t=

>1,t﹣1<lnt[λ+(1﹣λ)t],

即 t﹣1﹣tlnt+λ(tlnt﹣lnt)<0 恒成立, 令函数 g(t)=t﹣1﹣tlnt+λ(tlnt﹣lnt),t>1, ①当 0<λ 时,g′(t)=﹣lnt+λ(lnt+1﹣ )= ,

令 φ(t)=﹣tlnt+λ(tlnt+t﹣1),t>1, φ′(t)=﹣1﹣lnt+λ(2+lnt)=(λ﹣1)lnt+2λ﹣1, 当 0<λ≤ 时,φ′(t)<0,φ(t)在(1,+∞)递减,则 φ(t)<φ(1)=0, 故当 t>1 时,g′(t)<0, 则 g(t)在(1,+∞)递减,g(t)<g(1)=0 符合题意; ②当 <λ<1 时,φ′(t)=(λ﹣1)lnt+2λ﹣1>0, 解得 1<t< 当 t∈(1, 当 t∈(1, 则有当 t∈(1, 即有 0<λ≤ . 【点评】本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,同时考查函数的单调性的运用,不等式恒成立思想 的运用,运用分类讨论的思想方法是解题的关键. 20.【答案】 【解析】解:(1)a10=1+9=10.a20=10+10d=40,∴d=3.
2 2 (2)a30=a20+10d =10(1+d+d )(d≠0),

, ),φ′(t)>0,φ(t)在(1, ),g′(t)>0,g(t)在(1, ),g(t)>0 不合题意. )递增,φ(t)>φ(1)=0; )递增,g(t)>g(1)=0,

a30=10



当 d∈(﹣∞,0)∪(0,+∞)时,a30∈[7.5,+∞) (3)所给数列可推广为无穷数列{an], 其中 a1,a2,…,a10 是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 当 n≥1 时,数列 a10n,a10n+1,…,a10(n+1)是公差为 d 的等差数列. 研究的问题可以是:试写出 a10(n+1)关于 d 的关系式,并求 a10(n+1)的取值范围.
n

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3 2 3 研究的结论可以是:由 a40=a30+10d =10(1+d+d +d ),

依此类推可得 a10(n+1)=10(1+d+…+d )= 当 d>0 时,a10(n+1)的取值范围为(10,+∞)等.

n



【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质解决实际问题,会根据特例总结归纳出一般性的规律,是一道 中档题.

21.【答案】(1) f ? x ? =x ? x+1 ;(2) m ? ?1 .
2

【解析】 试题分析:(1)根据二次函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 满足 f ? x+1? ? f ? x ? ? 2x ,利用多项式相等,即 可求解 a , b 的值,得到函数的解析式;( 2 )由 x ?? ?1,1 ? , f ? x? ? m恒成立,转化为 m ? x ? 3x ? 1 ,设
2

试题解析:(1) f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a ? 0? 满足 f ? 0? ? 1, c ? 1
2
2

g ? x ? ? x2 ? 3 x ? 1,只需 m ? g ? x ?min ,即可而求解实数 m 的取值范围.
f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 2 x, a ? x ? 1? ? b ? x ? 1? ? ax 2 ? bx ? 2 x ,解得 a ? 1, b ? ?1 ,

故 f ? x ? =x ? x+1 .
2

考点:函数的解析式;函数的恒成立问题. 【方法点晴】 本题主要考查了函数解析式的求解、 函数的恒成立问题, 其中解答中涉及到一元二次函数的性质、 多项式相等问题、 以及不等式的恒成立问题等知识点的综合考查, 着重考查了学生分析问题和解答问题的能力, 推理与运算能力,以及转化与化归思想,试题有一定的难度,属于中档试题,其中正确把不等式的恒成立问题 转化为函数的最值问题是解答的关键. 22.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识,意在考查逻辑推理能力.

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23.【答案】 【解析】(Ⅰ)设 D 点坐标为 ( 2 cosq , 2 sin q ) ,由已知得 C 是以 O (0, 0) 为圆心, 2 为半径的上半圆, 因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 OD 与直线 x + y +2=0 的斜率相同,? ? 为 (- 1,1) ,极坐标为 ( 2,

3? ,故 D 点的直角坐标 4

3p ). 4
2 2

(Ⅱ)设直线 l : y ? k ( x ? 2) ? 2 与半圆 x ? y ? 2( y ? 0) 相切时

| 2k ? 2 | 1? k 2

? 2

? k 2 ? 4k ? 1 ? 0

? k ? 2 ? 3 , k ? 2 ? 3 (舍去)

设点 B(? 2 ,0) ,则 k AB

?

2?0 ?2? 2 , 2? 2

故直线 l 的斜率的取值范围为 (2 ? 3,2 ? 2 ] . 24.【答案】 【解析】 【专题】概率与统计. 【分析】 (I)确定三角形地块的内部和边界上的作物株数,分别求出基本事件的个数,即可求它们恰好“相近” 的概率; (II)确定变量的取值,求出相应的概率,从而可得年收获量的分布列与数学期望. 【解答】解:(I)所种作物总株数 N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为 3,边界上的作物株 数为 12, 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有 =36 种, 选取的两株作物恰好“相

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近”的不同结果有 3+3+2=8,∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概 率为 = ;

(II)先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为 Y 的分布列 ∵P(Y=51)=P(X=1),P(48)=P(X=2),P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4) ∴只需求出 P(X=k)(k=1,2,3,4)即可 记 nk 为其“相近”作物恰有 k 株的作物株数(k=1,2,3,4),则 n1=2,n2=4,n3=6,n4=3 由 P(X=k)= 得 P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= = ,P(X=4)= =

∴所求的分布列为 Y 51 P 数学期望为 E(Y)=51× +48×

48

45

42

+45× +42× =46

【点评】本题考查古典概率的计算,考查分布列与数学期望,考查学生的计算能力,属于中档题.

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