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河南省实验中学2014-2015学年高一下学期期中考试 数学


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河南省实验中学 2014——2015 学年下期期中试卷
高一 命题人:杨辉涛 数学 审题人:李红霞

(时间:120 分钟,满分:150 分)
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的)

1. 若 sin ? ? 0 , cos ? ? 0 , 则 ? 所在的象限是 (
A .第一象限 2.已知 sin B.第二象限 C.第三象限

)

D.第四象限 )

? =-

3 ,且 ? 是第三象限角,则 sin 2 ? -tan ? =( 3 2 4
3 4
C.

A.

2 3

B.

2 6
3 4

D.

2 8

3. a ? 3, b ? 4 ,向量 a ? b 与 a ? b 的位置关系为( ) A.垂直 B.平行 C.夹角为

?
3

D.不平行也 不垂直

4.函数 f(x)=sin xcos x+ A.π ,1 5.

3 cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( 2
C.2π ,1 )

)

B.π ,2

D.2π ,2

sin 47?-sin 17?cos 30? =( cos 17?
A.-

3 2

B.-

1 2

C.

1 2

D.

3 2
)

6.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为(

? A. 3

2? B. 3

C.

D.

7 . 平 面 直 角 坐 标 系 中 ,O 为 坐 标 原 点 , 已 知 两 点 A(3,1),B(-1,3), 若 点 C 满 足 (其中 ? ,β ∈R 且 ? +β =1),则点 C 的轨迹方程为( O C? ? O A ?? OB A.(x-1)2+(y-2)2=5 C.2x-y=0 B.3x+2y-11=0 D.x+2y-5=0 )

8. 在 ?ABC 中, AD ? 2DC, BA ? a, BD ? b, BC ? c, 则下列等式成立的是 ( ) A. c ? 2b ? a
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B. c ? 2a ? b

C. c ?
-1-

3a b ? 2 2

D. c ?

3b a ? 2 2

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9. 点 P 是△ABC 所在平面内的一点,且满足 AP ?

uuu r

r 2 uuu r 1 uuu AB ? AC ,则△PAC 的面积与△ 3 3

ABC 的面积之比为(
A.



1 5

B.

2 5

C.

10.已知 ω >0,0<φ <π ,直线 x= 邻的对称轴,则 φ =( A. )

?
4

1 3

D.

和 x=

5? 是函数 f(x)=sin(ω x+φ )图像的两条相 4
D.

2 3

?
4

B.

?
3

C.

?
2

3? 4
( )

1 2 11.已知 tan ? ? , tan(? ? ? ) ? ? ,则 tan(? ? 2? ) ? 2 5 3 1 9 9 A. ? B. ? C. ? D. 8 4 12 8
12.若函数 f(x)=2sin ?

?? ?? x ? ? (-2<x<10)的图像与 x 轴交于点 A,过点 A 的直线 l 与函 3? ?6
) D.32

数的图像交于 B,C 两点,则( OB + OC )· OA =( A.-32 B.-16 C.16

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

?? ? ? ?? 13.设 ? ∈ ? 0, ? ,若 tan ? ? ? ? =2 cos 2? ,则 ? =________。 4? ? ? 4?
14.已知向量 a 与 b 的夹角为 120 15.已知 ,且| a |=| b |=4,那么| a -3 b |等于__________。 ___。

sin ? ? 2 cos ? ? ?1, 试求 sin 2 ? ? 3sin ? cos ? ? 1 的值为___ 3 sin ? ? 5 cos ?

16.函数 f ( x) ? 3sin ? 2 x ?

? ?

11 π? ? 的图象为 C ,则 ①图象 C 关于直线 x ? 12 π 对称;②图象 C 3?

关于点 ?

? 2π ? ? π 5π ? , 0 ? 对称; ③函数 f ( x) 在区间 ? ? , ? 内是增函数;④由 y ? 3sin 2 x 的图象 ? 3 ? ? 12 12 ?
π 个单位长度可以得到图象 C .以上结论中正确的序号是 3

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三、解答题(本小题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满 分 10 分) 设两个非零向量 a 、 b 不共线
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(1)若 AB ? a ? b, BC ? 2a ? 8b, CD ? 3(a ? b) ,求证:A、B、D 三点共线; (2)试确定实数 k 的值,使 k a ? b 和 a ? k b 共线.

18、(本小题满分 12 分) 已知点 A(4,0) 、B(0,4) 、C( 3 cos? ,3 sin ? )
(1)若 ? ? (0, ? ) ,且 AC ? BC , ,求 ? 的大小; (2) AC ? BC ,求 值.

2 sin 2 ? ? sin 2? 的 1 ? tan?

19、 (本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)=2sin ? 和最低点. (1)求点 A、B 的坐标以及 OA · OB 的值; (2)设点 A、B 分别在角 ? 、β 的终边上,求 tan( ? -2β )的值.

??x ? ? ? ? (0≤x≤5),点 A、B 分别是函数 y=f(x)图象上的最高点 ? 6 3?

20、 (本小题满分 12 分)
设函数 f(x)=sin ? ? x ?

? ?

??

?? ? ? +sin ? ? x ? ? + 3 cos ? x (其中 ω >0),且函数 f(x)的 3? 3? ?
? . 2

图象的两条相邻的对称轴间的距离为

(1)求 ω 的值; (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 纵坐标不变, 得到函数 y=g(x) 的图象,求函数 g(x)在区间 [0,

?
2

] 上的最大值和最小值.

21、 (本小题满分 12 分)
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函数 f (x) ? (1)若 x∈ [

3 1 ? cos 2 x 1 sin 2 x ? ? 2 2 2

? ?

, ] 求函数 f(x)的最值及对应的 x 的值; 4 2

(2)若不等式 [ f (x) ? m]2 ? 1 在 x∈ [

? ?

, ] 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2

22、 (本小题满分 12 分) 1 1 已知向量 m = (sin x,1) , n = (4 3 cos x, 2 cosx) ,设函数 f (x) ? m n 2 2
(1)求函数 f (x) 的解析式; (2)求函数 f (x) ,x∈ ? ?? , ? ? 的单调递增区间; (3)设函数 h(x) ? f(x) ? k ( k ? R )在区间 ? ?? , ? ? 上的零点的个数为 n,试探求 n 的值及对 应的 k 的取值范围。

河南省实验中学 2014——2015 学年下期期中答案
高一 数学
一、 选择题: (每题 5 分,共 12 题,满分 60 分。每题只有一个正确答案) 答案 B C A A C C D D C A B D

二、填空题: (每题 5 分,共 4 题,计 20 分.)[来源:学科网 ZXXK] 13.

? 12

14 4 13

15

?

52 25

16 ①②③

三、解答题:(本大题共 6 个小题,满分 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤。) 17【解析】(1)因为, AB ? a ? b, BC ? 2a ? 8b, CD ? 3(a ? b) , 所以, AD ? AB ? BC ? CD ? a ? b ? 2a ? 8b ? 3(a ? b) ? 6(a ? b) ? 6 AB ,即 AB , AD 共 线,又它们有公共点,所以,A、B、D 三点共线。 (2)因为, k a ? b 和 a ? k b 共线.所以,存在唯一实数 ? ,使 k a ? b = ? ( a ? k b ) ,

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即?

?k ?? ,解得,k=±1。 ?? k ? 1
AC ? (3cos? ? 4,3sin ? ), BC ? (3cos ? ,3sin ? ? 4) , 又

18. ( 1 ) 由 题 意 可 得

A C?

BC ,?

(3 cos ? ? 4) 2 ? 9 sin 2 ? ? 9 cos 2 ? ? (3 sin ? ? 4) 2 , 两 边 平 方 得

sin ? ? cos ? , 又
(II)

? ? (0, ? ) ,?? ?

?
4



AC ? BC ,?(3cos ? ? 4) ? 3cos ? ? 3sin ? (3sin ? ? 4) ? 0 ,整理得 sin ? ? cos ? ?
7 , 16
化简所求式:

3 , 4

平方得 sin 2? ? ?

2 sin 2 ? ? sin 2? 2 sin 2 ? cos? ? 2 sin ? cos2 ? 7 ? ? 2 sin ? ? cos? ? sin 2? ? ? . 1 ? tan? sin ? ? cos? 16
19. 【解析】(1)∵0≤x≤5,∴

? ? x ? 7? ? ≤ ≤ , 3 6 3 6

∴-

1 ??x ? ? ≤sin ? ? ? ≤1. 2 ? 6 3? ?




?x ?
6 3

? ??x ? ? ,即 x=1 时,sin ? ? ? =1,f(x)取得最大值 2; 2 ? 6 3?
7? 1 ??x ? ? ,即 x=5 时,sin ? ? ? =- ,f(x)取得最小值-1. 6 2 ? 6 3?



?x ?
6 ? 3



因此,点 A、B 的坐标分别是 A(1,2)、B(5,-1). ∴ OA · OB =1×5+2×(-1)=3. (2)∵点 A(1,2)、B(5,-1)分别在角α 、β 的终边上,∴tan α =2,tan β =-

1 , 5

1 5 2 ?(- ) 2-(- ) 5 5 =- ,∴tan(α -2β )= 12 = 29 . ∵tan 2β = 1 5 12 1 ?(- )2 1+2(- ) 2 5 12
20.【解析】(1)f(x)=sin ω x+ 3 cos ω x=2sin ? ? x ? ∵函数 f(x)图象的两条相邻的对称轴间的距离为 ∴T=

? ?

??

?. 3?

2? =π ,∴ω =2. ?

? , 2

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(2)由(1)得 f(x)=2sin ? 2 x ?

? ?

??

?? ? ? ,∴g(x)=2sin ? x ? ? . 3? 3? ?

由 x∈ ? 0,

? ? 5 ? ?? ,可得 ≤x+ ≤ π , ? 3 3 6 ? 2?
? ? ? ? ?? ? = ,即 x= 时,g(x)取得最大值 g ? ? =2sin =2; 3 2 6 2 ?6?

∴当 x+

当 x+

? 5? ? 5? ?? ? = ,即 x= 时,g(x)取得最小值 g ? ? =2sin =1 3 6 2 6 ?2?
- = sin 2x- cos 2x-1=sin(2x- )-1,

21.解:(1)f(x)= sin 2x∵x∈[ , ],∴ ≤2x- ≤ ,

当 2x- = ,即 x= 时,f(x)max=0,当 2x- = ,即 x= 时,f(x)min=- . (2)方法一:∵[f(x)-m] <1(x∈[ , ])? f(x)-1<m<f(x)+1(x∈[ , ]), ∴m>f(x)max-1 且 m<f(x)min+1, 故 m 的取值范围为(-1, ). 方法二:∵[f(x)-m] <1?m-1<f(x)<m+1, ∴m-1<- 且 m+1>0,故-1<m< , 故 m 的取值范围是(-1, ).
2 2

22、 (12 分)(1)f(x)=m·n=4 (2)由(1),知 f(x)=4sin 所以 x+ ∈ ,

sin xcos x+2cosx=2 ,x∈[-π ,π ],

sinx+2cosx=4sin

.

由- ≤x+ ≤ ,解得- ≤x≤ , 所以函数 f(x)的单调递增区间为 .

(3)当 x∈[-π ,π ]时,函数 h(x)=f(x)-k 的零点讨论如下: 当 k>4 或 k<-4 时,h(x)无零点,n=0;
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当 k=4 或 k=-4 时,h(x)有一个零点,n=1; 当-4<k<-2 或-2<k<4 时,h(x)有两个零点,n=2; 当 k=-2 时,h(x)有三个零点,n=3.

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