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2018届高三数学复习数学归纳法与数列极限专题练习

数学归纳法与数列极限 一、 1. lim 填空题 . . . 2n ? 3n ?1 ? n ?? 2n ?1 ? 3n 2. 1.34 化为分数是 3. 已知 f (n) ? 1 1 1 ,则 f (k ? 1) ? f (k ) ? ? ? ... ? n ?1 n ? 2 n?n 4. lim( n 2 ? 2n ? n) ? n ?? . Sn ? 1 ? S n ?1 ? 3 5. 数列 {an } 中, a1 ? 5 , S n 是前 n 项和,当 n ? 2 时, an ? 3S n ,则 lim 6. 用数学归纳法证明 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ... ? (?1)n ?1 n2 ? (?1)n ?1 n ?? . n(n ? 1) (n ? N * ) 时,在假设 n ? k 2 时 等 式 成 立 后 , 要 证 明 n ? k ?1 时 等 式 也 成 立 , 这 是 要 证 明 的 等 式 为 . 7. 某个命题与非零自然数 n 有关,满足若当 n ? k (k ? N * ) 时该命题成立,可以推得当 n ? k ? 1 时 该 命 题 也 成 立 。 现 已 知 n ? l0 (l0 ? N * ) 时 该 命 题 不 成 立 , 那 么 可 以 推 断 8.若 lim(2n ? n ?? .时,该命题不成立 an2 ? 2n ) ? 1 ,则 a ? bn ? 2 ,b ? . nan ? Sn 9. {an } 是公差为 d 的等差数列, S n 是其前 n 项和且 S n ? 0 ,则 lim n ?? . Sn (n ? 1, 2...) ,则 S n ?1 10.设首项为 1 ,公比为 q (q ? 0) 的等比数列的前 n 项和为 S n ,又设 Tn ? lim Tn ? n ?? . a1 1 ? q n ) ? ,则首项 a1 的取值范围 1? q 2 11.已知等比数列 {an } 的首项为 a1 ,公比为 q ,且 lim( n ?? 是 . 12.点 A1 (1, 0) ,点 A2 (9, 0) ,点 A3 是 A1 A2 中点,点 A4 是 A2 A3 中点,以此类推,点 An (n ? 3) 是 An ? 2 An ?1 的中点,如此一直下去,则点 An 的极限位置是 . 二、 n ?? 选择题 n ?? 13. lim(an ? bn ) 与 lim(an ? bn ) 存在是 lim an 和 lim bn 存在的( n ?? n ?? )条件 D. 既非充分又非必要 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 1 14. 用数学归纳法证明 1 ? a ? a2 ? ... ? a2( n?1) ? 时,此时等式的左边是( A. 1 B. 1? a 1 ? a2n ?3 (a ? 1, n ? N * ) 时,在证明 n ? 1 等式成立 1? a ) C. 1 ? a ? a 2 ? a 3 D. 1 ? a ? a 2 ? a 3 ? a 4 15.某个命题与自然数 n 有关。 如果当 n ? k (k ? N * ) 时, 该命题成立, 那么可以推得当 n ? k ? 1 时该命题也成立,现为了推得 n ? 9 时该命题不成立,那么需要已知( A. n ? 8 时命题不成立 C. n ? 10 时命题不成立 B. n ? 8 时命题成立 D. n ? 10 时命题成立 ) 2 2 2 16.已知点 A(0, ) ,点 B(0, ? ) ,点 C(4 ? ,0) ,其中 n 为正整数,设 S n 表示 ?ABC 外接圆的 n n n 面积,则 lim Sn 等于( n ?? ) C. 4? D. 6? A. 2? B. 3? 三、 解答题 17.已知数列 {an } 满足: a1 ? 2 , an ?1 ? an 2 ? nan ? 1, n ? N * (1) 求 a2 , a3 , a4 ,猜测数列 {an } 的通向公式 a n (2) 用数学归纳法证明(1)中的猜测 18.直线 a , b 相交于 O ,交角为锐角 ? ,在直线 a 上取点 A1 ,使 OA1 ? m ,过 A1 作 A1 A2 ? b , 垂足为 A2 ,过 A2 作 A2 A3 ? a ,垂足为 A3 ,依次无限继续下去,得垂线段 A1 A2 、 A2 A3 、…、 An An ?1 、…….若 lim( A1 A2 ? A2 A3 ? ... ? An An ?1 ) ? 3m ,求 cos? 的值. n ?? 2 n 19.是否存在常数 a ,使得 n2 ? (n ? 1)2 ? ... ? (n ? n )2 ? (n ? 1)(an ? 1) 对任意正整数 n 都成立, 6 并证明你的结论。 1 20.已知数列 {an } 的通项公式为: an ? ( )n ,能否从数列 {an } 中挑出无穷等比数列,使得它 3 1 的各项和等于 。若能的话,请写出所有满足条件的数列的通项公式?若不能的话,请说明 8 理由。 21.已知 f (n) ? 2n ? 2 3n ? 5n ? 21(n ? N * ) , g (n) ? 37n ? 21 (1) 试比较 f (n) 与 g (n) 的大小; (2) 是否存在正整数 m ,使得 f (n) 都能被 m 整除。若存在,求出最大的 m 值,并证 明你的结论;若不存在,请说明理由。 3 参考答案 1. ?3 2. 3. 121 90 1 (2k ? 1)(2k ? 2) 4. 1 5. ? 1 3 k (k ? 1) (k ? 1)(k ? 2) ? (?1)k (k ? 1)2 ? (?1)k 2 2 6. (?1)k ?1 7. n ? l0 ? 1 8. a ? ?4, b

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