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山西省太原市2012届高三第一学段测评 数学


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太原市 2011—2012 学年度高三第一学段测评

数 学 试 题
说明:本试卷分第 I 卷(必做题)和第 II 卷(选做题)两部分。答题时间 120 分钟,满分 150 分。

第 I 卷(必做题

100 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将其字母代码填入下表相应位置) 1 . 若 集 合 A ? {x | 0 ? x ? 2}, B ? {x | x ? 1} , 全 集
2

U=R , 则 A ? (CU B) =

( A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x |1 ? x ? 2} 2.函数 y ? 2 ? 3 的值域是
x

) B. {x | x ? 0或x ? ?1} D. {x | 0 ? x ? 2}

( A. (1,2) C. (??, 2)

) B. (2, ??) D. (0, ??)

3.右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,则 甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 ( ) A.62 B.63 C.64 D.65 4.下列函数中既是奇函数,又在区间(0,1)内单调递减的函数是 ( ) A. f ( x) ? sin x 5.若 0 ? a ? b ? 1 ,则 ( A. loga 2 ? logb 2
b

B. f ( x) ? ? x | x |

C. f ( x) ? x

3

D. f ( x ) ?

1 x ?1


a

B. 2 ? 2

C. log2 a ? log 2 b

D. ( ) ? ( )
a

1 2

1 2

b

6.已知函数 f ( x) ? a log 2 x ? 1, 若有f (2011) ? 2, 则f (

1 )= 2011

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A.-2

( ) B.2

C.0

D.4

7 . 根 据 表 格 中 的 数 据 , 可 以 判 定 函 数 f ( x) ? ex ? x ? 2 的 一 个 零 点 所 在 的 区 间 是 ( )

A. (-1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 8.某社团由老年 18 人、中年 12 人、青年 6 人组成,现从这些人员中抽取 1 个样本,当样 本容量为 n 时,若分别采用系统抽样和分层抽样,则都不用剔除个体;当样本容量为 n+1 时,若采用系统抽样,则需要剔除 1 个个体,那么样本容量 n 为 ( ) A.5 B.6 C.12 D.18 9.已知函数 f1 ( x) ? a x , f2 ( x) ? xa , f3 ( x) ? loga x (其中 a ? 0且a ? 1 ) ,当 x ? 0且y ? 0 时,在同一坐标系中画出其中两个函数的大致图象,正确的是 ( )

?x ? , x ? 0, 10.已知函数 f ( x) ? ? 2 则 f [ f ( x)] ? 1 的解集是 ? x 2 , x ? 0, ?
( A. ??, ? 2 ? ) B. ? 2, ??

?

? ?

?

?
?

C. ? ??, ?1? ? ? 2, ??

?


D. ??, ? 2 ? ? ? 4, ?? ?

?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.函数 f ( x) ? lg( x ? 1) 的定义域是

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12.对任意非零实数 a,b,若 a ? b 的运算原理如下图程序框图所示,则 3 ? 2 =



13.在平面直角坐标系中,从五个点 A(1,0), B(3,0), C (2,1), D(4,0), E(3, 2) 中任取三个, 这三个点能构成三角形的概率是 。

14.定义在 (??, ??) 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且在[-1,0]上是增函数,下 面是关于 f ( x ) 的判断: ① f ( x ) 关于点 P ( , 0) 对称 ② f ( x ) 的图像关于直线 x ? 1 对称; ③在[0,1]上是增函数; ④ f (2) ? f (0). 其中正确的判断是 。 (把你认为正确的判断都填上) 三、解答题(本大题共 3 小题,共 30 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 10 分) 已知集合 A ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} ,集合 B ? {x | ( x ? m ? 2)( x ? m ? 2) ? 0}.
2

1 2

(1)若 A ? B ? [0,3] ,求实数 m 的值; (2)若全集 U=R, A ? CU B ,求实数 m 的取值范围。

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16. (本小题满分 10 分) 从某学校高一年级 800 名学生中随机抽取 50 名学生测量身高,据统计被抽取学生 的身高全部介于 155cm 至 195cm 之间,现将样本数据分成八组:第一组 ?155,160? , 第二组 ?160,165? ,?,第八组 [190,195] 。按上述分组方法得到的频率分布直方图如 下图所示。

(1)根据已知条件填写下面表格:

(2)估计这所学校高一年级 800 名学生中身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数; (3)在样本中,第二组有 1 名男生,其余为女生;第七组有 1 名女生,其余为男生。 若在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组,则实验小组中恰为一男一女 的概率是多少?

17. (本小题满分 10 分)

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已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求实数 a,b 的值;

?2 x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? a

(2)若对任意的 t ? R, 不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范 围。

第 II 卷(选择题

50 分)

本卷包括: (选修 4—1 几何证明选讲)(选修 4—4 坐标系与参数方程)(选修 4—5 , , 不等 式选讲) ,共三个专题的试题,请考生在下列三个专题中任选一个专题做答,如果多做,则 按所做的第一专题记分。

选修 4—1 几何证明选讲
一、选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将其字母代码填入下表相应位置) 1.如图,已知 AD//BE//CF,下列等式成立的是 ( )

AB AD ? DE BE AB DF ? B. EF BC AB BF ? C. BC DE AB DE ? D. AC DF
A. 2.如图,PAB,PCD 是圆的两条割线,BC 交 AD 于 E,连结 BD、AC, 则图中的相似三角形有 ( A.2 对 B.3 对
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C.4 对 D.5 对 3.如图,过⊙O 外一点 P 作一条直线与⊙O 交于 A、B 两点,已知 PA=2, 点 P 到⊙O 的切线长 PT=4,则弦 AB 的长为 ( ) A.4 B.6 C.8 D.10 4.如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于点 P。

PB 1 BC ? , PD ? 9, DC ? 7, 则 的值为 PA 2 AD 1 1 A. B. 3 2 2 2 C. D. 7 9
若 二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分)





5.如图,PA 是⊙O 的切线,PCB 是⊙O 的割线,若 ?P ? 25?, ?B ? 40? , 则 ?ACB = 。 6.如图,AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上, CD ? AB , 垂足为 D,且 AD ? 5, DB ? 1, 设 ?COD ? ? ,则 tan ? 的 值为 。 三、解答题(本大题共 2 小题,共 20 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 7. (本小题满分 10 分) 如图, ?ABC 内接于⊙O,AD 平分 ?BAC ,交⊙O 于点 D,BE 是切线,AD 的延长线 交 BE 于 E,连结 BD、CD。 (1)求证:BD 平分 ?CBE ; (2)求证:AB·BE=AE·DC。

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18. (本小题满分 10 分) 如图,已知 AB 为半圆 O 的直径,BE、CD 分别为半圆的切线,切点分别为 B、C, DC 的延长线交 BE 于 F,AC 的延长线交 BE 于 E。 AD ? DC ,D 为垂足。 (1)求证:A、D、E、B 四点共圆; (2)求证:EF=FB。

选修 4—4 坐标系与参数方程
一、选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将其字母代码填入下表相应位置) 1.直线 ?

? x ? 3 ? 2t , 上对应 t ? 0, t ? 1 两点间的距离是 ? y ? ?1 ? 4t
( ) C. 2 5 D. 4 2

A. 2 13

B. 2 10

2.已知在直线坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系, 点 D 的极坐标是 (1, ? ) ,则点 D 的直角坐标是 ( A. (0,-1) 3.若直线 ? B. 1, ( )

3 2

3 ) 2

C. (1,-1)

D. (0,1)

? x ? ?1 ? 2t , ? x ? 1 ? 3cos ? , (t 为参数)被曲线 ? ( ? 为参数, ? ? R )所截, ? y ? ?1 ? t ? y ? 1 ? 3sin ?
( )
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则截得的弦的长度是

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A.

3 5 5

B.

6 5 5

C.

3 2 2

D. 6 2

4.若点 P 是极坐标方程为 ? ?

?
3

( ? ? R )的直线与参数方程为 ?

? x ? 2cos ? , ( ? 为参 ? y ? 1 ? cos 2?

数,且 ? ? R )的曲线的交点,则 P 点的直角坐标是 ( ) A. (

2 3 , 2) 3

B. (2 3,6)

C. (0,0)或 (2 3,6)

D. (0,0)

二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) 5.已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 1 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角 坐标系,则曲线 C 的直角坐标方程是 6.在平面直角坐标系 xOy 中, P( x, y) 是椭圆 点 最大值为 。 。

x2 ? y 2 ? 1上的一个动点,则 S ? x ? y 的 3

三、解答题(本大题共 2 小题,共 20 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 7. (本小题满分 10 分)

? x ? 4 cos ? , ? 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( 为参数) ,以坐 ? y ? 2sin ? ,
标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,得曲线 C2 的极坐标方程 ? ? 2cos? ? 4sin ? ( ? ? 0). (1)化曲线 C1、C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)设曲线 C1 与 x 轴的一个交点的坐标为 P(m, n)(m ? 0) ,经过点 P 作曲线 C2 的切 线 l ,求切线 l 的方程。

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8. (本小题 10 分) 已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程; (2)设 l 与圆 x2 ? y 2 ? 4 相交于 A、B 两点,求点 P 到 A、B 两点的距离之积。

? . 6

选修 4—5 不等式选讲
一、选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将其字母代码填入下表相应位置) ”是“ a ? b且c ? d ”的 ( ) A.必要不充分条件 C.充分必要条件 2.下列各式中,最小值是 2 的是 ( ) 1. a ? ? ? “ c b d A.

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

2 x ? x 2

B. x ? 2 ?
2

1 x ?2
2

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C.

1 ? tan ? tan ?

D. e ? e
x

?x

| 3 . 若 对 任 何 实 数 x , 不 等 式 | x ? 3 ? m ? 4恒 成 立 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是
( A. ? ??,4? ) C. ? ??,1? D. ? ??, ?1? B. ? ??, ?4?

4.若 | a ? c |?| b | ,则下列不等式中正确的是 ( A. a ? b ? c ) C. | a |?| b | ? | c | D.| a |?| b | ? | c |

B. a ? c ? b

二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) 5.不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 5 的解集为 。

6.已知 AC、BD 是圆 x2 ? y 2 ? 4 的两条互相垂直的弦,垂足为 M (1, 2) ,则四边形 ABCD 的面积的最大值为 。 三、解答题: (本大题共 2 小题,共 20 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 7. (本小题满分 10 分) 证明下列不等式: (1)用分析法证明: 3 ? 8 ? 1 ? 10 ;

(2)已知 a,b,c 是不全相等的正数,证明 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca.
2 2 2

8. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 |, g ( x) ? ? | x ? 3| ?m. (1)解关于 x 的不等式 f ( x) ? a ? 1 ? 0(a ? R). (2)若函数 f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方,求实数 m 的取值范围。

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