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东城区2012-2013学年第一学期期末统一检测初三数学试题和答案

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东城区 2012—2013 学年第一学期期末统一检测 初三数学试题
学校 班级 姓名 考号 2013.1

1.本试卷共 6 页,共五道大题,25 道小题,满分 120 分.考试时间 120 分钟. 考 生 须 知 2.在试卷上准确填写学校名称、班级、姓名和考号. 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效. 4.在答题卡上选择题、作图题用 2B 铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5.考试结束,请将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. .. 1.下列一元二次方程中有两个相等的实数根的是 ...... A. x2 ? 2 x ? 4 ? 0 C. x2 ? 4 x ? 4 ? 0 B. x2 ? 2 x ? 6 ? 0 D. x2 ? 3x ? 5 ? 0

2.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是

3.如图,AB 是⊙O 的弦,OC⊥AB 于点 C,若 AB=4,OC=1, 则⊙O 的半径为 A. 3 C. 2 5 B. 5 D.6

4. 从 1,2,3,4 这四个数中,随机抽取两个相加,和为偶数的概率为 A.

1 3
2

B.

1 2

C.

2 3

D.

5 6

5.若将抛物线 y= 2x 先向左平移 2 个单位,再向下平移 1 个单位得到一个新的抛物线,则 新抛物线的顶点坐标是 A. (?2,1) B. (?2, ?1) C. (2,1) D. (2, ?1)

6.如图,在△ABC 中,若 DE∥BC,AD∶ BD=1∶ 2,若△ADE

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的面积等于 2,则△ABC 的面积等于 A.6 C.12 B.8 D.18

7.如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,∠CDB=30° ,CD=2 3 , 则阴影部分图形的面积为 A.4π C.π B.2π D.
2π 3

8. 已知点 A(0,2) ,B(2,0) ,点 C 在 y ? x2 的图象上,若△ABC 的面积为 2,则这样的 C 点有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9. 已知 x=1 是方 程 x2+bx-2=0 的一个根, 则 b 的值是 是 .
2

; 方程的另一个 根

10.点 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 )在二次函数 y ? x ? 2 x ? 1的图象上,若 x2 > x1 >1, 则 y1 与 y2 的大小关系是 y1 (用“>”、“<”、“=”填空) y2 .

11. 两块大小一样斜边为 4 且含有 30° 角的三角板如图水平放置.将△ CDE 绕 C 点按逆时针方 向旋转,当 E 点恰好落在 AB 边上的 E 点时, EE ' 的长度为
'

?



12.如图所示,在 △ABC 中,BC=6,E,F 分别是 AB,AC 的中点,点 P 在射线 EF 上,BP 交 CE 于D,点 Q 在 CE 上且 BQ 平分∠ CBP,设 BP= y ,PE= x .当 CQ=

1 CE 时, y 与 2

x 之间的函数关系式是
与 x 之间的函数关系式是

; 当 CQ= .

1 CE( n 为不小于 2 的常数)时, y n

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13. 解方程: 3x ? 1 ? 6 x .
2

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14.小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型,如图所示,它的底面半径 OB=3cm,高 OC=4cm,求这个圆锥形漏斗的侧面积.

15.如图,在边长为 1 的小正方形组成的网格中,△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上, 判断△ABC 和△DEF 是否相似,并说明理由.

16.画图: (1)如图,在边长为 1 的小正方形组成的网格中,△OAB 的顶点都在格点上,请将△OAB 绕点 O 顺时针旋转 90° ,画出旋转后的△OA′B′;

(2)在 4× 的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放,移动其中一个正方形到空白方格 4 中,与其余四个正方形组成的新图形是一个中心对称图形.在图 1,图 2 中分别画出两 种符合题意的图形.

17.已知关于 x 的一元二次方程 (m -2)x2 + 2mx + m +3 = 0 有两个不相等的实数根. (1)求 m 的取值范围;

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(2)当 m 取满足条件的最大整数时,求方程的根. 18.如图,点 A,B,C,D 在⊙ 上,O 点在∠ 的内部,四边形 OABC 为平行四边形,求 O D ∠ OAD+∠ OCD 的度数.

四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19.随着我国经济的发展,越来越多的人愿意走出国门旅游. 据有关报道,我国 2010 年和 2012 年公民出境旅游总人数分别约为 6000 万人次,8640 万人次, 求这两年我国公民 出境旅游总人数的年平均增长率. 20. 如图,PB 切⊙ 于 B 点,直线 PO 交⊙ 于点 E,F,过点 B 作 PO 的垂线 BA,垂足为 O O 点 D,交⊙ 于点 A,延长 AO 交⊙ 于点 C,连结 BC,AF. O O (1)求证:直线 PA 为⊙ 的切线; O (2)若 BC=6, AD ∶FD =1∶ 2,求⊙ 的半径的长. O

21. 某小区为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨 余、可回收和其他三类,分别记为 a , b , c ,并且设置了相应的垃圾箱,“厨余垃圾” 箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱,分别记为 A,B,C. (1)若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱,请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率; (2)为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总 1 000 吨 生活垃圾,数据统计如下(单位:吨) : A B 100 240 20 C 100 30 60

a
b

400 30 20

c

试估计“厨余垃圾”投放正确的概率. . .... . 22.“十八大”报告一大亮点就是关注民生问题,交通问题已经成了全社会关注的热点.为了 解新建道路的通行能力,某研究表明,某种情况

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下,车流速度 V (单位:千米/时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数,函数图象如 图所示. (1)求 V 关于 x 的函数表达式; (2)车流量是单位时间内通过观测点的车辆数,计算公式为:车流量 P =车流速度 V × 车流密度 x .若车流速度 V 低于 80 千米/时,求当车流密度 x 为多少时,车流量 P (单位:辆/时)达到最大,并求出这一最大值. 五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23.已知,二次函数 y ? ax ? bx 的图象如图所示.
2

(1)若二次函数的对称轴方程为 x ? 1 ,求二次函数的解析式; (2)已知一次函数 y ? kx ? n ,点 P ( m,0) 是 x 轴上的一个动点.若在(1)的条件下, 过点 P 垂直于 x 轴的直线交这个一次函数的图象于点 M, 交二次函数 y ? ax ? bx
2

的图象于点 N.若只有当 1<m<

5 时,点 M 位于点 N 3

的上方,求这个一次函数的解析式; (3) 若一元二次方程 ax ? bx ? q ? 0 有实数根, 请你构造恰
2

当的函数,根据图象直接写出 q 的最大值.

24. 如图 1, 在等腰直角△ABC 中, BAC=90° AB=AC=2, E 是 BC 边上一点, DEF=45° ∠ , 点 ∠ 且角的两边分别与边 AB,射线 CA 交于点 P,Q. (1) 如图 2, 若点 E 为 BC 中点, 将∠ DEF 绕着点 E 逆时针旋转, 与边 AB 交于点 P, DE EF 与 CA 的延长线交于点 Q.设 BP 为 x,CQ 为 y,试求 y 与 x 的函数关系式,并写 出自变量 x 的取值范围; (2)如图 3,点 E 在边 BC 上沿 B 到 C 的方向运动(不与 B,C 重合) ,且 DE 始终经过 点 A,EF 与边 AC 交于 Q 点.探究:在∠ DEF 运动过程中,△AEQ 能否构成等腰三角 形,若能,求出 BE 的长;若不能,请说明理由.

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25. 在平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 y ? ? x2 ? (m ? 1) x ? m2 ? 6 交 x 轴负半轴于点 A, 交 y 轴正半轴于点 B(0 , 3),顶点 C 位于第二象限,连结 AB,AC,BC. (1) 求抛物线的解析式; (2) 点 D 是 y 轴正半轴上一点,且在 B 点上方,若∠ DCB=∠ CAB,请你猜想并证明 CD 与 AC 的位置关系; (3) 设与△AOB 重合的△EFG 从△AOB 的位置出发,沿 x 轴负方向平移 t 个单位长度(0 <t≤3)时,△EFG 与△ABC 重叠部分的面积为 S ,求 S 与 t 之间的函数关系式. 21 世纪教育网

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东城区 2012-2013 学年第一学期期末统一检测 初三数学试题参考答案及评分标准 2013.1 一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 A 5 B 6 D 7 D 8 D

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 题号 答案 9 1;-2 10 11 12 y= –x+6; y= –x+6(n–1)

y1<y2

? 3

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13. 解方程: 3x 2 ? 1 ? 6 x . 解:移项,得

3x2 ? 6 x ? 1 . ………………..1 分
二次项系数化为 1,得

x2 ? 2x ?
配方

1 . ………………..2 分 3

( x ? 1) 2 ?
由此可得

4 . ………………..4 分 3

x1 ? 1 ?

2 3 2 3 , x2 ? 1 ? . 3 3

………………..5 分

14. 解:根据题意,由勾股定理可知

BC 2 ? BO2 ? CO2 .
∴ BC ? 5 cm. ………………..2 分 ∴ 圆锥形漏斗的侧面积= ? ? OB ? BC ? 15? cm2 . ………………..5 分 15.解:△ABC 和△DEF 相似. ………………..1 分

由勾股定理,得 AB ? 2 5 , AC ? 5 ,BC=5, DE=4,DF=2, EF ? 2 5 . ………………..3 分

?

5 AB AC BC 5 ? ? ? ? , DE DF EF 22 2

………………..4 分 ………………..5 分

∴ ABC∽ DEF. △ △

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16. (1)

………………..3 分 (2)

………………..5 分 17.解:(1) ∵ 关于 x 的一元二次方程(m -2)x2 + 2mx + m +3 = 0 有两个不相等的实数根, ∴ m ? 2 ? 0 ,即 m ? 2 . ………………..1 分 又 ∵ ? ? (2m)2 ? 4(m ? 2)(m ? 3) ? ?4(m ? 6) , ∴ ? ? 0 即 ?4(m ? 6) ? 0 . 解得 m ? 6 . ∴ m 的取值范围是 m ? 6 且 m ? ?2. ………………..2 分 (2)在 m ? 6 且 m ? ?2 的范围内,最大整数 m 为 5. ………………..3 分 此时,方程化为 3x 2 ? 10 x ? 8 ? 0 . ∴ 方程的根为 x1 ? ?2 , x2 ? ? 18.解: ∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形, ∴∠ B+∠ D=180° . ∵ 四边形 OABC 为平行四边形, ∴∠ AOC=∠ B. 又由题意可知 ∠ AOC=2∠ D. ∴ 可求 ∠ D=60° . ………………..3 分 连结 OD,可得 AO=OD,CO=OD. ………………..2 分 ………………..1 分

4 . ………………..5 分 3

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∴∠ OAD=∠ ODA,∠ OCD=∠ ODC. ………………..4 分 ∴∠ OAD+∠ OCD=∠ ODA+∠ ODC=∠ D=60° .………………..5 分 四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19. 解:设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 x.………………..1 分 根据题意得

6000(1 ? x)2 ? 8640 .………………..2 分
解得 x1 ? 0.2 , x1 ? ?2.2 (不合题意,舍去) .………………..4 分 答:这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 20%. ………………..5 分 20.解: (1)证明:如图,连接 OB . ∵ PB 是⊙ 的切线, O ∴∠ PBO=90° . ∵OA=OB,BA⊥ 于 D, PO ∴AD=BD,∠ POA=∠ POB. 又∵PO=PO, ∴△PAO≌ PBO. △ ∴∠ PAO=∠ PBO=90° . ∴ 直线 PA 为⊙ 的切线. O (2)∵OA=OC,AD=BD,BC=6, ∴OD= ………………..2 分

1 BC=3. 2

设 AD=x. ∵ AD ∶FD =1∶ 2, ∴FD=2x,OA=OF=2x-3. 在 Rt△AOD 中,由勾股定理 ,得(2x-3)2=x2+32. 解之得,x1=4,x2=0(不合题意,舍去) . ∴AD=4,OA=2x-3=5. 即⊙ 的半径的长 5. O ………………..5 分

21. 解: (1)三类垃圾随机投入三类垃圾箱的树状图如下:

………………..2 分

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3 1 ? ;………………..3 分 9 3 400 2 ? . ………………..5 分 (2)“厨余垃圾”投放正确的概率为 400 ? 100 ? 100 3
由树状图可知垃圾投放正确的概率为 22. 解: (1)当 0 ? x ? 28 时, V ? 80 . ………………..1 分 当 28 ? x ? 188 时,设 V ? kx ? b ,由图象可知, ?

?80 ? 28k ? b, ?0 ? 188k ? b.

1 ? ?k ? ? , 解得: ? 2 ?b ? 94. ?
∴ 当 28 ? x ? 188 时, V ? ? (2)根据题意,得

1 x ? 94 . ………………..3 分 2

1 1 2 ? 1 ? P ? Vx ? ? - x +94 ? x ? - x 2 ? 94 x = - ? x - 94 ? ? 4418 . 2 2 ? 2 ?
答:当车流密度 x 为 94 辆/千米时,车流量 P 最大,为 4418 辆/时. …………..5 分 23. 解: (1)? 二次函数的对称轴方程为 x ? 1 ,由二次函数的图象可知 二次函数的顶点坐标为(1,-3) ,二次函数与 x 轴的交点坐标为 (0,0),(2,0) , 于是得到方程组 ?

?a ? b ? ?3, ……………………………………..2 分 ?4a ? 2b ? 0.

解方程得 ?

?a ? 3, ?b ? ?6.
2

二次函数的解析式为 y ? 3x ? 6 .
2

……………………………………..3 分

(2)由(1)得二次函数解析式为 y ? 3x ? 6 . 依题意并结合图象可知,一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别 为1和 , 由此可得交点坐标为 (1, ?3) 和 ( , ? ) . …………………………..4 分 将交点坐标分别代入一次函数解析式 y ? kx ? n 中,

5 3

5 3

5 3

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? k ? n ? ?3, ? 得? 5 5 ? 3 k ? n ? ? 3. ?
? k ? 2, 解得 ? ? n ? ?5.

∴ 一次函数的解析式为 y ? 2 x ? 5 . ……………………………..6 分 (3) 3 . ……………………………………………..7 分

24.解: (1)∵∠ BAC=90° ,AB=AC=2, ∴∠ B=∠ C, BC ? 2 2 . 又∵?FEB ? ?FED ? ?DEB ? ?EQC ? ?C , ?DEF ? ?C , ∴∠ DEB=∠ EQC. ∴△BPE∽ CEQ. △ ∴

BP CE ? . BE CQ

设 BP 为 x,CQ 为 y, ∴

x 2 . ? y 2
2 . x
……………………………..3 分

∴ y?

自变量 x 的取值范围是 0<x<1. (2)解:∵∠ AEF=∠ B=∠ C,且∠ AQE>∠ C, ∴∠ AQE>∠ AEF . ∴AE≠AQ . 当 AE=EQ 时,可证△ABE≌ ECQ. ∴CE=AB=2 . ∴BE=BC-EC= 2 2 ? 2 . 当 AQ=EQ 时,可知∠ QAE=∠ QEA=45° . ∴AE⊥ . BC ∴ 点 E 是 BC 的中点.

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∴BE= 2 . 综上, DEF 运动过程中, 在∠ △AEQ 能成等腰三角形, 此时 BE 的长为 2 2 ? 2 或

2.

……………………………..7 分

25.解: (1)? 抛物线 y ? ? x2 ? (m ? 1) x ? m2 ? 6 与 y 轴交于点 B(0 , 3) , ∴ m ?6 ? 3 .
2

∴ m ? ?3.

? 抛物线的顶点在第二象限,
∴ m ? 3. ∴ 抛物线的解析式为

y ? ? x2 ? 2x ? 3 .

………2 分

(2)猜想: CD ? AC . ………3 分 证明如下: , ,C(-1 , 4) , ? A(-3 , 0) B(0 , 3) ∴

AB ? 3 2, AC ? 2 5, BC ? 2 .
2 2 2

∴ AB ? BC ? AC . ∴ ?ABC ? 90? . ∴ ?CAB ? ?ACB ? 90? . 又? ?CAB ? ?DCB , ∴ ?DCB ? ?ACB ? 90? . ∴ CD ? AC . ………4 分 (3)当 0<t≤

3 时,如图, EF 交 AB 2

于点 Q, 交 AC 于点 N, N 做 MP//F GF 过 E 交 x 轴于 P 点,交 BF 的延长线点 M, BF 的延长线交 AC 于点 K. 由△AGN∽ KFN,得 △

AG PN ? , KF MN

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t 3 ?t 2

?

PN . 解得 PN=2t. 3 ? PN
1 1 1 3 ? 3 ? 3 ? (3 ? t ) 2 ? t ? 2t ? ? t 3 ? 3t . 2 2 2 2

∴S阴影 =S ?FGE ? S ?QAE ? S ?AGN ?



3 <t≤3 时, 如图, EF 交 AB 于点 N, 2

交 AC 于点 M,BF 交 AC 于点 P. 由△AME∽ PMF, △

AE ME ? . PF MF 3?t ME 即 . ? 3 3 ? ME t? 2
得 解得 ME=2(3-t).

∴S阴影 =S ?MAE ? S ?NAE ? 综上所述:

1 1 1 9 ? (3 ? t ) ? 2(3 ? t ) ? (3 ? t ) 2 ? t 2 ? 3t ? . 2 2 2 2

3 ? 3 2 ?? 2 t ? 3t (0 ? t≤ 2 ), ? S= ? ? 1 t 2 ? 3t ? 9 ( 3 ? t≤3). ?2 2 2 ?

………………………………………….8 分


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