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2014届高考数学(理)一轮复习教案第十章圆锥曲线与方程第4讲 与圆锥曲线有关的定值、最值与范围问题

第4讲

与圆锥曲线有关的定值、最值与范围问题

考点梳理 1.圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值 x2 y2 F1、F2 为椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为椭圆的任意一点,B 为短 轴的一个端点,O 为坐标原点,则有 ①|OP|∈[b,a]; ②|PF1|∈[a-c,a+c]; ③|PF1|· |PF2|∈[b2,a2]; ④∠F1PF2≤∠F1BF2. (2)双曲线中的最值 x2 y2 F1、F2 为双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线上的任一点, O 为坐标原点,则有 ①|OP|≥a; ②|PF1|≥c-a. (3)抛物线中的最值 点 P 为抛物线 y2=2px(p>0)上的任一点,F 为焦点,则有 p ①|PF|≥2; ②A(m,n)为一定点,则|PA|+|PF|有最小值. 2.圆锥曲线中的定点、定值问题 解决这类定点与定值问题的方法有两种:一是研究一般情况,通过逻辑推理与 计算得到定点或定值,这种方法难度大,运算量大,且思路不好寻找;另外一 种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值,然后验证,这样在整理式子或求 值时就有了明确的方向. 【助学· 微博】 求最值或范围常见的解法: (1)几何法. 若题目的条件和结论能明显体现几何特

征及意义,可考虑利用图形性质来解决;(2)代数法.若题目的条件和结论能体 现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再根据函数知识求最值;(3) 求函数最值常用的代数法有配方法、判别式法、导数法、基本不等式法及函数 的单调性、有界性法等. 考点自测 x2 1.已知 P 是椭圆 4 +y2=1 的上顶点,Q 是该椭圆上任意一点,则 PQ 的最大 值为________. 解析 x2 0 设 Q(x0,y0),则 +y2 0=1,且-1≤y0≤1. 4

2 又 P(0,1),所以 PQ= x2 0+?y0-1? 2 2 = 4-4y2 0+y0-2y0+1= -3y0-2y0+5

1 4 3 当 y0=-3时,(PQ)max= 3 . 答案 4 3 3

x2 2.已知椭圆 4 +y2=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 为椭圆上一动点,若 ∠F1PF2 为钝角,则点 P 的横坐标的取值范围是________. 解析 → → 设椭圆上一点 P 的坐标为(x,y),则F 1P=(x+ 3,y),F2P=(x- 3,

→ → y)∵∠F1PF2 为钝角,∴F F 1P· 2P<0, 8 2 6 2 6 即 x2-3+y2<0,则有 x2<3,解得- 3 <x< 3 , ? 2 6 2 6? ? ∴x∈?- 3 , 3 ? ? 答案 ? 2 6 2 6? ?- ? 3 , 3 ? ?

x2 y2 3.椭圆a2+b2=1(a>b>0)的右焦点为 F,焦距为 2c,以 F 为圆心,a 为半径的 a2 圆与直线 x= c 交于不同的两点,则椭圆离心率的取值范围是________. 解析 a2 由题意,得 c -c<a,即 c2+ac-a2>0,所以 e2+e-1>0.又 0<e<1,解



5-1 2 <e<1. ? 5-1 ? ? ,1? 2 ? ?

答案

x2 y2 4.已知 F1、F2 分别是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F1 作垂直于 x 轴的直线交椭圆于 A、B 两点,若△ABF2 为锐角三角形,则椭圆的离心率的 范围是________. b2 a b2 △ABF2 为锐角三角形, 又 AF1= a , F1F2=2c, tan∠AF2F1=2c<tan 45°

解析

=1, ∴b2<2ac, 即 a2-c2<2ac, c2+2ac-a2>0, 所以 e2+2e-1>0, 解得 e> 2 -1.又 0<e<1,所以 2-1<e<1. 答案 ( 2-1,1)

x2 y2 5.(2012· 盐城调研)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左焦 点为 F,右顶点为 A,点 P 是椭圆上一点,l 为左准线,PQ⊥l,垂足为 Q.若 四边形 PQFA 为平行四边形,则椭圆的离心率 e 的取值范围是________. 解析 a2 a2 由题意知 AF=PQ,即 a+c=xP+ c ,则 xP=a+c- c ,所以有-a<a

a2 a2 +c- c <a,∴c< c <2a+c,那么 a2<2ac+c2,∴e2+2e-1>0.又 0<e<1, 所以 2-1<e<1. 答案 ( 2-1,1)

考向一 与圆锥曲线有关的定值问题 x2 【例 1】 (2013· 南京金陵中学模拟)设椭圆 4 +y2=1 的右顶点为 A,过椭圆长 轴所在直线上的一个定点 M(m,0)(不同于 A)任作一条直线与椭圆相交于 P、Q 两点,直线 AP、AQ 的斜率分别记为 k1、k2.

→· →; (1)当 PQ⊥x 轴时,求AP AQ (2)求证:k1· k2 等于定值. (1)解 x2 当 PQ⊥x 轴时,将 x=m 代入方程 4 +y2=1, m2? ? 1- 4 ?,Q?m,- ? ? m2? 1- 4 ?. ? m2? ? ?m-2,- 1- 4 ?· ?? m2? 1- 4 ? = (m- 2)2 ?

? 得 P?m, ?

→· → =? ?m-2, 又 A(2,0),所以 AP AQ ? m2? 5 2 ? -?1- 4 ?=4m -4m+3. ? ? (2)证明

当直线 PQ 的斜率不存在时, m2 1- 4 m-2 - ,k2= m2 1- 4 , m-2

因为 k1=

m2? ? ?1- 4 ? m2-4 m+2 ? ? 所以 k1· k2=- = .因为 M 为定点, 所以 m 为定值. 所 2 2= ?m-2? 4?m-2? 4?m-2? m+2 以 k1· k2= 为定值. 4?m-2? 当直线 PQ 的斜率存在时,设直线 PQ 的斜率为 k,其方程为 y=k(x-m),与 x2 椭圆方程 4 +y2=1 联立得(4k2+1)x2-8k2mx+4k2m2-4=0, 设直线 PQ 与椭圆 的交点 P,Q 的坐标分别为(x1,k(x1-m)),(x2,k(x2-m)), 4k2m2-4 8k2m 则 x1+x2= ,x · x= 2 , 1+4k2 1 2 4k +1 则 k1= k?x1-m? k?x2-m? ,k2= , x1-2 x2-2

k2?x1-m??x2-m? k2[x1x2-m?x1+x2?+m2] k1· k2= = ?x1-m??x2-m? x1x2-m?x1+x2?+m2

8k2m 2? 2+m ? 2 2 1 + 4 k 1 + 4 k ? ? k ?m -4? = = 2 = 4k2m2-4 16k2m2 4k ?m-2?2 - +4 1+4k2 1+4k2 m+2 m+2 ,因为 M 为定点,所以 m 为定值,所以 k1· k2= 为定值. 4?m-2? 4?m-2? [方法总结] 定点、定值问题可以先研究一下特殊情况,找出定点或定值,再视 具体情况进行研究.同时,也要掌握巧妙利用特殊值解决定值、定点问题的方 法,如将过焦点的弦特殊化,变成垂直于对称轴的弦来研究等.

2 2 2?4k m -4 k? 2 -m×

x2 【训练 1】 (2012· 苏北四市二模)如图,已知椭圆 C: 4 +y2=1,A、B 是四条 直线 x=± 2,y=± 1 所围成的两个顶点. → =mOA → +nOB → ,求证:动点 Q(m,n)在定 (1)设 P 是椭圆 C 上任意一点,若OP 圆上运动,并求出定圆的方程; (2)设 M、N 是椭圆 C 上两个动点,且直线 OM、ON 的斜率之积等于直线 OA、 OB 的斜率之积,试探求△OMN 的面积是否为定值,说明理由. (1)证明 易知 A(2,1),B(-2,1).

?x0=2?m-n?, 4?m-n?2 x2 0 → → → 2 设 P(x0, y0), 则 4 +y0=1, 由OP=mOA+nOB, 得? 所以 4 ?y0=m+n, +(m+n)2=1, 1 1 即 m2+n2=2,故点 Q(m,n)在定圆 x2+y2=2上. (2)解 y1y2 1 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则x x =-4.
1 2

2 2 2 2 2 2 2 平方得 x2 1x2=16y1y2=(4-x1)(4-x2),即 x1+x2=4.

因为直线 MN 的方程为 (x2-x1)x-(y2-y1)y+x1y2-x2y1=0, 所以 O 到直线 MN 的距离为 d= |x1y2-x2y1| , ?x2-x1?2+?y2-y1?2

1 1 所以△OMN 的面积 S=2MN· d=2|x1y2-x2y1| 1 =2 1 =2 1 =2
2 2 2 x2 1y2+x2y1-2x1x2y1y2 2 x2 x2 1? 1 ? 2? 2? 2 x1?1- 4 ?+x2?1- 4 ?+ x2 1x2

?

?

?

? 2

2 x2 1+x2=1.故△OMN 的面积为定值 1.

考向二 与圆锥曲线有关的最值问题 【例 2】 已知抛物线 C:y2=4x,过点 A(-1,0)的直线交抛物线 C 于 P、Q 两 → =λAQ →. 点,设AP (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M,求证:直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F; ?1 1? (2)若 λ∈?3,2?,求|PQ|的最大值. ? ? 审题视点 后求最值. (1)证明 → =λAQ →, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x1,-y1).∵AP (1)可利用向量共线证明直线 MQ 过 F;(2)建立|PQ|和 λ 的关系,然

2 2 2 2 2 2 ∴x1+1=λ(x2+1),y1 =λy2,∴y2 1=λ y 2,y1=4x1 ,y2 =4x2 ,x1 =λ x2 ,∴ λ x2

+1=λ(x2+1),λx2(λ-1)=λ-1, 1 ∵λ≠1,∴x2=λ ,x1=λ,又 F(1,0), 1 ? → =(1-x ,y )=(1-λ,λy )=λ? →, ? λ -1,y2?=λFQ ∴MF 1 1 2 ? ? ∴直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F. 1 (2)由(1)知 x2= λ ,x1=λ,得 x1x2=1,y2 y2 1· 2=16x1x2=16,∵y1y2>0,∴y1y2=4, 则|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2
2 2 2 =x2 1+x2+y1+y2-2(x1x2+y1y2)

? 1? ? 1? ? 1 ? =?λ+λ ?2+4?λ+ λ?-12=?λ+λ +2?2-16, ? ? ? ? ? ? 1 ?5 10? 1 10 1 112 ?1 1? λ∈?3,2?,λ+ λ ∈?2, 3 ?,当 λ+ λ = 3 ,即 λ=3时,|PQ|2 有最大值 9 ,|PQ| ? ? ? ?

4 7 的最大值为 3 . [方法总结] 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种: 一是几何法, 特别是 用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值;二是代数法,常将圆锥曲 线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利用基本不等式、 函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.

x2 y2 【训练 2】 (2012· 苏锡常镇四市一模)如图,已知椭圆 E:100+25=1 的上顶 点为 A,直线 y=-4 交椭圆 E 于 B、C 两点(点 B 在点 C 的左侧),点 P 在椭 圆 E 上. (1)若点 P 的坐标为(6,4),求四边形 ABCP 的面积; (2)若四边形 ABCP 为梯形,求点 P 的坐标; → =m· → +n· → (m,n 为实数),求 m+n 的最大值. (3)若BP BA BC 解 (1)A(0,5),B(-6,-4),C(6,-4),S
四边形

ABCP=S

三角形

ABC+S

三角形

ACP=

1 2

1 ×12×(4+5)+2×8×6=78. (2)要使四边形 ABCP 为梯形,当且仅当 CP∥AB. 3 3 ∵kAB=2,∴直线 CP 的方程为 y+4=2(x-6), 3 即 y=2x-13.① x2 y2 又100+25=1,即 x2+4y2-100=0.② 由①②,得 5x2-78x+288=0. 48 即(x-6)(5x-48)=0,∴x=6 或 x= 5 . ?48 7? ∵点 C(6,-4),∴点 P? 5 ,5?. ? ? → =(6,9),BC → =(12,0),BP → =(x+6,y+4), (3)BA

→ → → ∵BP=m· BA+n· BC, ∴x+6=6m+12n,y+4=9m. y+4 3x-2y+10 3x+2y+26 则 m= 9 ,n= , m + n = . 36 36 令 3x+2y=t,∵x2+4y2-100=0, ∴x2+(t-3x)2-100=0,即 10x2-6tx+t2-100=0. 由 Δ≥0,得 36t2-40(t2-100)≥0,即 t2≤1 000. ∴-10 10≤t≤10 10. 10 t 的最大值为 10 10,此时 x=3 10,y= 2 . ∴m+n 的最大值为 5 10+13 . 18

考向三 与圆锥曲线有关的范围问题

x2 y2 【例 3】 (2013· 南京金陵中学模拟) 过椭圆 5 + 4 =1 的上顶点 A 作斜率分别为 k1,k2(k1,k2>0,k1≠k2)的两条直线 l1,l2,它们分别与椭圆交于另一点 M,N. (1)当 k1,k2 满足什么条件时,直线 MN 垂直于 x 轴; (2)当 k1k2=1 时,求直线 MN 的斜率 k 的取值范围. 解 (1)由 MN⊥x 轴,可设 M(x0,y0),N(x0,-y0),
2 x2 0 y0 则 5 + 4 =1.又 A(0,2),

所以

4 2 x 2 y0-2 -y0-2 4-y0 5 0 4 k1· k2= x · x = x2 = x2 =5. 0 0 0 0

4 故当 k1,k2 满足 k1· k2=5时,MN 垂直于 x 轴. x2 y2 2 2 (2)直线 AM 方程为 y=k1x+2,代入椭圆方程 5 + 4 =1,消去 y,得(4+5k1 )x +20k1x=0.因为 x≠0,

所以 xM=-

20k1 20k2 .又 k1k2=1, 2.同理 xN=- 4+5k1 4+5k2 2

-20k2 20k2 1 2 + 2 2 2 2 4+5k1 4+5k2 yM-yN k1xM-k2xN k2 2 2?4+5k1?-k1?4+5k2? 所以 k= = = = = 2 20k1 20k2 xM-xN xM-xN k2?4+5k1 ?-k1?4+5k2 2? - + 2 4+5k2 1 4+5k2
2 4?k2 2-k1? =k +k ≥2 k1k2=2.故 k 的取值范围是[2,+∞). 4?k2-k1? 2 1

[方法总结] 以圆锥曲线为背景的取值范围问题和求最值问题方法一样,主要 有:建立目标函数,用基本不等式和几何法等.这里的方法是利用基本不等式 k1+k2≥2 k1k2而得.

x2 y2 【训练 3】 (2012· 江苏海门三模) 如图,已知椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的离 3 心率为 2 ,E 的左顶点为 A、上顶点为 B,点 P 在椭圆上,且△PF1F2 的周长 为 4+2 3. (1)求椭圆的方程; (2)设 C,D 是椭圆 E 上两个不同点,CD∥AB,直线 CD 与 x 轴、y 轴分别交 → =λCN → ,MD → =μDN → ,求 λ+μ 的取值范围. 于 M,N 两点,且MC



?2a+2c=4+2 (1)由题意得? c 3 ?e=a= 2

3, ?a2=4?b2=1,

x2 所以椭圆的方程为 4 +y2=1. 1 (2)由(1)得 A(-2,0),B(0,1),所以 kAB=2. 1 由 CD∥AB,可设直线 CD 的方程为 y=2x+m.

由已知得 M(-2m,0),N(0,m). 设 C(x1,y1),D(x2,y2). x2 2 ? ? 4 +y =1,

由? 1 ? ?y=2x+m

消去 y 整理,

得 x2+2mx+2m2-2=0, Δ=(2m)2-4(2m2-2)>0?m2<2, x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2, → =λCN → 得(x +2m,y )=λ(-x ,m-y ), 由MC 1 1 1 1 2m 所以 x1+2m=-λx1,得 λ=-1- x ,
1

→ =μDN → ?μ=-1-2m, 同理由MD x
2

x1+x2 ?1 1? 所以 λ+μ=-2-2m?x +x ?=-2-2m× x x = ? 1 2? 1 2 -2+ 2m2 2 = 2 . 2 m -1 m -1 2 ∈(-∞,-2]∪(2,+∞). m2-1

由 m2<2?

所以 λ+μ∈(-∞,-2]∪(2,+∞).

对应学生 用书P161 规范解答 17 与椭圆有关的定值问题的解法

解析几何中考查定点、定值、最值与范围问题是江苏高考解答题的特点,其中 定值问题是其中的重点与难点,求解有一定的技巧.

x2 y2 【示例】 (2012· 江苏卷)如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆a2+b2=1(a>b>0) ? 3? 的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0).已知点(1,e)和?e, ?都在椭圆上, 2? ? 其中 e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设 A,B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行,AF2 与 BF1 交于点 P. 6 ①若 AF1-BF2= 2 ,求直线 AF1 的斜率; ②求证:PF1+PF2 是定值. [审题路线图] (1)将两点坐标代入可求得结果;(2)①设出 AF1 与 BF2 的方程 分别与椭圆方程联立解得 A、B 两点的坐标,然后用两点之间的距离公式列等 式;②利用相似列比例式,然后转化利用椭圆的定义求得 PF1+PF2 的和. c 1 c2 [解答示范] (1)由题设知 a =b +c ,e=a.由点(1,e)在椭圆上,得a2+a2b2=
2 2 2

1,解得 b2=1,于是 c2=a2-1. e2 3 ? 3? 又点?e, ?在椭圆上,∴a2+4b2=1,(3 分) 2? ? a2-1 3 即 a4 +4=1,解得 a2=2. x2 ∴所求椭圆的方程是 2 +y2=1.(5 分) (2)①由(1)知 F1(-1,0),F2(1,0), 又直线 AF1 与 BF2 平行, ∴可设直线 AF1 的方程为 x+1=my, 直线 BF2 的方程为 x-1=my.设 A(x1, y1), B(x2,y2),y1>0,y2>0. x2 2 ? ? 1+y1 =1, 由? 2 ? ?x1+1=my1, 得(m2+2)y2 1-2my1-1=0,

解得 y1=

m+ 2m2+2 , m2+2

故 AF1= ?x1+1?2+?y1-0?2= ?my1?2+y2 1 2?m2+1?+m m2+1 = .(ⅰ) m2+2 同理,BF2= 2?m2+1?-m m2+1 .(ⅱ)(10 分) m2+2

2m m2+1 由(ⅰ)(ⅱ)得 AF1-BF2= , m2+2 解 2m m2+1 6 = 2 ,得 m2=2,注意到 m>0. 2 m +2

1 2 故 m= 2.∴直线 AF1 的斜率为m= 2 .(12 分) ②证明 于是 PB BF2 ∵直线 AF1 与 BF2 平行,∴PF =AF ,
1 1

PB+PF1 BF2+AF1 AF1 = ,故 PF BF . 1= PF1 AF1 AF1+BF2 1

由 B 点在椭圆上知 BF1+BF2=2 2, 从而 PF1= 同理 PF2= AF1 (2 2-BF2). AF1+BF2 BF2 (2 2-AF1). AF1+BF2

∴PF1+PF2= AF1 BF2 (2 2-BF2)+ (2 2-AF1) AF1+BF2 AF1+BF2 =2 2- 2AF1· BF2 .(14 分) AF1+BF2

2 2?m2+1? m2+1 又由①②知 AF1+BF2= ,AF1· BF2= 2 , m2+2 m +2 2 3 2 ∴PF1+PF2=2 2- 2 = 2 . ∴PF1+PF2 是定值.(16 分) [点评] 本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质、直线方程、两点

间的距离公式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.解析几何是高

考的重点,平时应加强运算能力的培养. 高考经典题组训练 x2 y2 1.(2010· 福建卷改编)若点 O 和点 F 分别是椭圆 4 + 3 =1 的中心和左焦点,点 →· → 的最大值为________. P 为椭圆上的任意一点,则OP FP 解析
2 x2 0 y0 →· → 设 P(x0,y0)为椭圆上任意一点,则 4 + 3 =1,又 F(-1,0),所以OP FP

x2 x2 0? ? 0 2 1 - ? ? = (x0 , y0)· (x0 + 1 , y0) = x0(x0 + 1) + y 2 = x + x + 3 = 0 0 0 4 ? 4 + x0 + 3( - ? 2≤x0≤2). 所以当 x0=2 时取最大值 6. 答案 6

4 3 2.(2009· 重庆卷改编)已知以原点 O 为中心的椭圆的一条准线方程 y= 3 ,离 3 心率 e= 2 ,M 是椭圆上的动点.若 C、D 的坐标分别是(0- 3)、(0, 3), 则 MC· MD 的最大值为________. 解析 x2 y2 由题意,焦点在 y 轴上,所以椭圆方程可设为b2+a2=1(a>b>0).由 y

4 3 3 = 3 及 e= 2 , a 4 3 ? ?c= 3 , 得? c 3 ? ?a= 2 ,
2

?a=2, y2 解得? 所以 b=1.椭圆方程为 x2+ 4 =1. ?c= 3,

又 C、D 是椭圆的焦点,从而 MC+MD=2a=4, ?MC+MD?2 ? =4,当且仅当 MC=MD=2,即 M(± 所以 MC· MD≤? 1,0)时等号成 2 ? ? 立.故(MC· MD)max=4. 答案 4

分层训练 A 级 (时间:30 分钟 一、填空题(每小题 5 分,共 30 分)

基础达标演练 满分:60 分)

π? ? 1.若 α∈?0,2?,方程 x2sin α+y2cos α=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 α 的取 ? ? 值范围是________. x2 y2 1 1 解析 由 1 + 1 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,得cos α>sin α>0,即 sin sin α cos α π? ? α>cos α>0.又 α∈?0,2?, ? ? π π 所以4<α<2. ?π π? 答案 ?4,2? ? ? x2 2 x2 0 2.已知椭圆 C: 2 +y =1 的两个焦点为 F1、F2,点 P(x0,y0)满足 0< 2 +y2 0<1, 则 PF1+PF2 的取值范围是________. x2 2 解析 由题意,得点 P 在椭圆 +y =1 的内部,所以 2c≤PF1+PF2<2a,即 2 2≤PF1+PF2<2 2. 答案 [2,2 2). x2 3.(2012· 江苏丹阳中学模拟)已知椭圆 4 +y2=1 的焦点为 F1,F2,在长轴 A1A2 →· → 上任取一点 M,过 M 作垂直于 A1A2 的直线交椭圆于点 P,则使得PF 1 PF2<0 的点 M 的概率为________. →· → 解析 设点 P 的坐标为(m,n),则PF ( 3-m,-n) 1 PF2=(- 3-m,-n)· m2 3m2 2 6 2 6 →· → =m -3+n =m -3+1- 4 = 4 -2<0,解得- 3 <m< 3 ,∴PF 1 PF2<0
2 2 2

2 6 2× 3 6 的概率为 P= =3. 2×2 答案 6 3

x2 y2 4.已知 F1(-c,0),F2(c,0)是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的焦点,P 是椭圆上一点,且 →· → PF 1 PF2=0,则椭圆离心率 e 的取值范围是________. → |=m,|PF → |=n,则由PF →· → → → 2 2 解析 设|PF 1 2 1 PF2=0,得PF1⊥PF2,所以有 m +n
2 =F1F2 2=4c .又由椭圆定义,得

m2+n2 ?m+n?2 ? ,得 m+n=2a.于是由不等式 2 ≥? ? 2 ?

c2 1 2 2c ≥a ,所以 e =a2≥2.又 0<e<1,所以 2 ≤e<1.
2 2 2

? 2 ? 答案 ? ,1? ?2 ? x2 y2 16 5. (2013· 南京金陵中学月考)已知椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0), 当 a2+ 取 b?a-b? 最小值时,椭圆的离心率 e=________. 解析 a2+ 16 16 64 ≥a2+ =a2+ a2 ≥2 b?a-b? ?b+a-b?2 ? ? 2 ? ? 64 2 a2· a2 =16,当且仅当 a

1 c 3 =8,b2=4a2=2 时等号成立,此时 c2=a2-b2=6,所以 e=a= 2 . 答案 3 2

x2 y2 6.(2012· 镇江模拟)设 F1、F2 分别是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点,若在 a2 直线 x= c 上存在点 P 使线段 PF1 的中垂线过点 F2,则椭圆离心率 e 的取值 范围是________.
2 2 ?a ? ? b y? 解析 设 P? c ,y?,F1P 的中点 Q 的坐标为?2c,2?,当 y≠0 时,有 kF1P= ? ? ? ? 2 2 2 2 cy cy 2 ?a +c ??2c -b ? ,kQF2= 2 ,由 kF1P· kQF2=-1 得 y = ,y2≥0, c2 a2+c2 b -2c2

1 3 但注意到 b2-2c2≠0,即 2c2-b2>0,即 3c2-a2>0,即 e2>3,故 3 <e<1.当 y a2 =0 时,b -2c =0,此时 kQF2 不存在,此时 F2 为 PF1 中点, c -c=2c,得
2 2

3 3 ? 3 ? e= 3 ,综上得 3 ≤e<1,故填? ,1?. ?3 ?

? 3 ? 答案 ? ,1? 3 ? ? 二、解答题(每小题 15 分,共 30 分) x2 y2 7.已知椭圆 4 + 2 =1 上的两个动点 P,Q,设 P(x1,y1),Q(x2,y2)且 x1+x2= 2. (1)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A; (2)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B,求 PB 的最小值及相应的 P 点坐标. (1)证明 ∵P(x1,y1),Q(x2,y2),且 x1+x2=2.

2 2 ?x1+2y1=4 y1-y2 1 x1+x2 当 x1≠x2 时,由? 2 ,得 =-2· . 2 x1-x2 y1+y2 ?x2+2y2=4

设线段 PQ 的中点 N(1,n),∴kPQ=

y1-y2 1 =- , 2n x1-x2

∴线段 PQ 的垂直平分线方程为 y-n=2n(x-1), ∴(2x-1)n-y=0, ?1 ? 则直线恒过一个定点 A?2,0?. ? ? ?1 ? 当 x1=x2 时,线段 PQ 的中垂线也过定点 A?2,0?. ? ? ?1 ? 综上,线段 PQ 的垂直平分线恒过定点 A?2,0?. ? ? (2)解 ? 1 ? 由于点 B 与点 A 关于原点 O 对称,故点 B?-2,0?. ? ?

∵-2≤x1≤2,-2≤x2≤2,∴x1=2-x2∈[0,2], 1? 1 ? 2 7 9 PB2=?x1+2?2+y2 1= (x1+1) + ≥ , 2 4 4 ? ? 3 ∴当点 P 的坐标为(0,± 2)时,PBmin= . 2 x2 y2 8. (2011· 四川) 如图过点 C(0,1)的椭圆a2+b2=1(a 3 >b>0)的离心率为 2 .椭圆与 x 轴交于两点 A(a,0)、B(-a,0).过点 C 的直线 l 与椭圆交于 另一点 D,并与 x 轴交于点 P.直线 AC 与直线 BD 交于点 Q.

(1)当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 CD 的长; →· → 为定值. (2)当点 P 异于点 B 时,求证:OP OQ (1)解 c 3 由已知得 b=1,a= 2 ,解得 a=2,

x2 2 所以椭圆方程为 4 +y =1. 3 椭圆的右焦点为( 3,0),此时直线 l 的方程为 y=- 3 x+1,代入椭圆方程 化简得 7x2-8 3x=0. 8 3 1 解得 x1=0,x2= 7 ,代入直线 l 的方程得 y1=1,y2=-7, ?8 3 1? 所以 D 点坐标为? ,-7?. 7 ? ? 故 CD= (2)证明 ?8 3 ?2 ? 1 ? 16 ? ? +?-7-1?2= . - 0 7 ? ? 7 ? ? 当直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符.

1 设直线 l 的方程为 y=kx+1(k≠0 且 k≠2). 代入椭圆方程化简得(4k2+1)x2+8kx=0. -8k 解得 x1=0,x2= 2 , 4k +1 1-4k2 代入直线 l 的方程得 y1=1,y2= 2 , 4k +1
2 ? -8k 1-4k ? , ?. 所以 D 点坐标为? 2 2 ?4k +1 4k +1?

x 又直线 AC 的方程为2+y=1, 直线 BD 的方程为 y= ?x=-4k, 1+2k (x+2),联立解得? 2-4k ?y=2k+1.

? 1 ? 因此 Q 点坐标为(-4k,2k+1).又 P 点坐标为?-k,0?. ? ? 1 ? →· → =? ?- k,0?· 所以OP OQ (-4k,2k+1)=4. ? ? →· → 为定值. 故OP OQ

分层训练 B 级
的最小值是________. 解析

创新能力提升

1.(2012· 南京市、盐城市一模)设椭圆恒过点(1,2),则椭圆的中心到准线的距离

1 4 4a2 2 e2 因 为 a2 + b2 = 1 , 所 以 b2 = 2 (a >5) , 所 以 c = a -1 ?a2-5?+

a2 = a2-b2

a2?a2-1? = a2-5 2 5时等号成立. 答案 2+ 5

20 +9≥ 4 5+9=2+ 5,当且仅当 a2=5+ a2-5

x2 y2 2.(2013· 南京模拟)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离 PF1 心率为 e,若椭圆上存在点 P,使得PF =e,则该离心率 e 的取值范围是
2

________. 2ae 2a 解析 因为 PF1=ePF2,PF1+PF2=2a,所以 PF1= ,PF2= ,因为 1+e 1+e e∈(0,1), 所以 PF1<PF2.由椭圆性质知 a-c≤PF1≤a+c, 所以 a-c≤ +c,即 a-c≤ 2ae ≤a 1+e

2ac ≤a+c,即 a2-c2≤2ac≤(a+c)2,即 e2+2e-1≥0.又 0 a+c

<e<1,所以 2-1≤e<1. 答案 [ 2-1,1) x2 y2 3.(2012· 苏锡常镇调研)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,其上的动点 M 到一个 焦点的距离最大为 3,点 M 对 F1、F2 的张角最大为 60° . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 在 x 轴上的两个顶点分别为 A,B,点 P 是椭圆 C 内的动点,且 →· → 的取值范围. PA· PB=PO2,求PA PB 解 (1)设 M(x0,y0),由椭圆的第二定义,知

2 ?a ? MF2=e? c -x0?=a-ex0. ? ?

∵-a≤x0≤a,∴当 x0=-a 时,(MF2)max=a+ea=a+c, ∴a+c=3.① 又 MF1=2a-MF2=a+ex0,F1F2=2c, 1 ∵(∠F1MF2)max=60° ,∴(cos∠F1MF2)min=2.
2 2 MF2 1+MF2-F1F2 而 cos∠F1MF2= 2MF · MF 1 2

?MF1+MF2?2-2MF1· MF2-F1F2 2 = 2MF1· MF2 2?a2-c2? 2?a2-c2? =MF · -1= 2 2 2 -1. a -e x0 1 MF2 2?a2-c2? a2-2c2 a2-2c2 1 故当 x0=0 时,(cos∠F1MF2)min= a2 -1= a2 ,∴ a2 =2. 即 a=2c.② 由①②,得 a=2,c=1,∴b= 3. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1. (2)设 P(x,y),则
2 2 ?x y ? 4 + 3 <1, ? ? ? ?x+2?2+y2· ?x-2?2+y2=x2+y2.

③ ④

由④,得 y2=x2-2.⑤
2 x2 x -2 ∴x2≥2,⑤代入③,得 4 + 3 <1.

20 20 ∴x2< .∴2≤x2< . 7 7 →· → =(-2-x,-y)· ∴PA PB (2-x,-y)=x2+y2-4 2? ? =x2+(x2-2)-4=2x2-6∈?-2,-7?. ? ? 2? →· → 的取值范围为? ?-2,-7?. 故PA PB ? ? y2 4.给出双曲线 x2- 2 =1.

(1)求以 A(2,1)为中点的弦所在的直线方程; (2)若过点 A(2,1)的直线 l 与所给双曲线交于 P1,P2 两点,求线段 P1P2 的中点 P 的轨迹方程; (3)过点 B(1,1)能否作直线 m, 使得 m 与双曲线交于两点 Q1, Q2, 且 B 是 Q1Q2 的中点?这样的直线 m 若存在,求出它的方程;若不存在,说明理由. 解 (1)设弦的两端点为 P1(x1,y1),P2(x2,y2),
2 2 ?2x1-y1=2, ? 则 2 2 两式相减得到 2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2),又 x1+x2 ?2x2-y2=2,

=4,y1+y2=2, 所以直线斜率 k= y1-y2 =4.故求得直线方程为 4x-y-7=0. x1-x2

(2)设 P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2), 按照(1)的解法可得 y1-y2 2x = ,① x1-x2 y

由于 P1,P2,P,A 四点共线, y1-y2 y-1 得 = ,② x1-x2 x-2 2x y-1 由①②可得 y = ,整理得 2x2-y2-4x+y=0,检验当 x1=x2 时,x=2,y x-2 =0 也满足方程,故 P1P2 的中点 P 的轨迹方程是 2x2-y2-4x+y=0. (3)假设满足题设条件的直线 m 存在,按照(1)的解法可得直线 m 的方程为 y= 2x-1. y=2x-1, ? ? 考虑到方程组? 2 y2 x - 2 =1 ? ?

无解,因此满足题设条件的直线 m 是不存在的.


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