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指数函数及其性质


2.1.2 指数函数及其性质(3)

复习上节内容

指数函数的定义: x y ? a (a 函数

? 0且a ? 1)

叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是R。

复习: 指数函数的图象和性质
a>1 0<a<1
y 1 o 1 o R (0,+∞) (0,1)

图 象

y

x

x

(1)定义域: 性 (2)值域: (3)过定点:

(4)单调性: 增函数 (4)单调性: 减函数 质 (5)奇偶性: 非奇非偶 (5)奇偶性:非奇非偶 (6)当x>o时,0<y<1, (6)当x>0时,y>1. 当x<0时,y>1. 当x<0时,0<y<1.

复习上节内容

1x q?x? = h?x? = 3x 3
6 5 4

1x g?x? = 2

3

f?x? = 2x

2

1

-4

-2

2

4

? 例1:截止到1999年底,我国人口约13亿。 ? (1)如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少? ? 解:设经过x年后,我国人口数为y亿,则

y ? 13(1 ? 1 0) ? 13?1.01 (亿)
0 x x

当x ? 20时,y ? 13?1.01 ? 16(亿)
20

? (2)如果人口年均增长率提高1个百分 点,计算20年、33年后我国的人口数。 ? (3)如果年均增长率保持在2﹪,试计 算2020—2100年,每隔5年相应的人口数。

例2:
10x ? 10? x 讨论函数f(x)= x ? x 的奇偶性和单调性 10 ? 10

分析:函数的定义域为R

10x ? 10? x 10? x ? 10x (1) ∵f(-x)= ? x x ? x =-f(x) x =- 10 ? 10 10 ? 10
∴ f(x)在R上是奇函数

2 102 x ? 1 (2)设x1,x2∈R,且x1<x2 ∵f(x)= =1- 2x 2x 10 ? 1 10 ? 1 2 2 则 f(x1)-f(x2)=(1- 2 x1 )-(1- 2 x ) 10 ? 1 10 2 ? 1


2 10
2 x2

?1



2 10
2 x1

?1 =

2(10 ? 10 ) (102 x1 ? 1)(102 x2 ? 1)
2 x1 2 x2

∵ x1<x2

∴上式的分子小于0,分母大于0 故函数f(x)大R上是增函数。

即:f(x1)<f(x2)

例 3: 求下列函数的定义域:
①、 ③、

y?2

x ?1
2

②、
x

f ( x) ? 1 ? a
x?R

,(a ? 0, a ? 1)

?1? y ?? ? ?3?

3? x

解、 ① ③


x

由 3 ? x ? 0,得 x ? 3
x

即 ax ? a0 由 1-a ? 0,得 a ? 1 当 a ? 1时,x ? 0;当 0 ? a ? 1时,x ? 0

例4:
?2? (1)、设y1 ? ? ? ?3?
3 x ?1

有(1) y1 ? y2; (2) y1 ? y2; (3) y1 ? y2

? 2? ,y2 ? ? ? ? 3?

?2 x

,确定x为何指时,

2 变式训练: 题(2)中,若把 改为a可不可以?若把条件和结论 3 互换可不可以?

1、设y1 ? a3 x?1,y2 ? a ?2 x,试确定x为何值时,有 (1) y1 ? y2; (2) y1 ? y2; (3) y1 ? y2

例5 在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出 它们与指数函数y= 2 x 的图象的关系, ⑴ y?2
x ?1

与 y?2

x?2

⑵ y?2

x ?1

y ? 2 x ?2 与

解:⑴列出函数数据表,作出图像 x -3 -2 -1 0.5 1 2 0 1 2 4 1 2 4 8 2 4 8 16 3 8 16 32

2 x?2

2 x ?1

2

x

0.125 0.25 0.25 0.5 0.5 1

比较函数y= 2 、y= 2 x ? 2 与y= 2 x 的关系: 将指数函数y= 2 x 的图象向左平行移动1个单位长度, 就得到函数y= 2 x ?1 的图象, 将指数函数y= 2 x 的图象向左 平行移动2 8 个单位长度, 7 就得到函数 6 y= 2 x ? 2 5 4 的图象。 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3
9 8 7 6 5 4 3 2 1 -6 -4 -2 2 4

x ?1

6

8

⑵ y?2

x ?1

与 y?2

x ?2

解:⑵列出函数数据表,作出图像
x -3 0.125 0.625 0.3125 -2 0.25 0.125 0.625 -1 0.5 0.25 0.125 0 1 0.5 0.25 1 2 1 0.5 2 4 2 1 3 8 4 2

2 x ?2

2 x ?1

2x

比较函数y= 2 、y= 2 x ?2与y= 2 x的关系: 将指数函数y= 2 x 的图象向右平行移动1个单位长度, 就得到函数y= 2 x ?1 的图象, 将指数函数y= 的图象向右 平行移动2 8 个单位长度, 7 就得到函数 6 y= 2 x ?2 5
9 8 7 6 5

x ?1

2

x

的图象。

4 3 2 1
-6 -4 -2

4

3

2

1

-3 -2 -1 0

1 2 3 4 5
2 4

6

8

小结:小结: y ? 2 与 y ? 2 的关系: x 当m>0时,将指数函数 y ? 2 的图象向左平行移 x?m 动m个单位长度,就得到函数 y ? 2 的图象; 当m<0时,将指数函数 y ? 2 x 的图象向右平行移 动m个单位长度,就得到函数 y ? 2 x ? m的图象。
x

x?m

例2 已知函数
值域,并探讨 解:

?1? y ?? ? ? 2?

x

作出函数图像,求定义域、
x

?? 1 ? x ?? ? , x ? 0 y ? ?? 2 ? ? 2x , x ? 0 ?

?1? y ?? ? ? 2?



?1? y ?? ? ? 2?

x

图像的关系。

作出图象如下:
3.5 3

定义域:R 关系: 保留

值域: (0,1]
?1? y ?? ? ? 2?
x

2.5

2

在y轴
-3 -2 -1

1.5

1

右侧的图像, 该部分翻折到
y轴的左侧, 这个关于y轴 对称的图形就是
?1? y ?? ? ? 2?
x

0.5

D
-0.5

1

2

3

的图像

例3 已知函数 值域。
?1? 解:y ? ? ? ?2?
x ?1

?1? y ?? ? ?2?

x ?1

作出函数图像,求定义域、

1x? = 2x ? g?x? = qx-1 2 r?x? = 2x-1 定义域:R 1x 值域: (0,1] f?x? = 1 x-1 1 x-1 2 (x≥1) h??x?? = 1 x-1 h x =1 x-1(x≥1) 2 (x≥1) hxx?== 2 (x≥1) h? ? ? 22 x-1(x<1) s?x? = 2
2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.6 2.6 2.6 2.6 2.4 2.4 2.4 2.4 2.2 2.2 2.2 2.2 2.6 2.4 2.2 2 222 2 1.8 1.8 1.8 1.8 1.8 1.6 1.6 1.6 1.6 1.4 1.4 1.4 1.4 1.2 1.2 1.2 1.2 1.6 1.4 1.2 1 111 1 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.6 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.4 0.4 0.2 0.2 0.2 0.2 0.6 0.4 0.2 -1.5 -1.5 -1.5 -1.5 -1.5 -1 -1 -1 -1 -1 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1 111 1 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 2 222 2 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 3 333 3

?? 1 ? x ?1 ?? ? , x ? 1 ? ?? 2 ? ? 2 x ?1 , x ? 1 ?

3.2

3.2 3.2 3.2 3.2 333 3

3

3

-0.2

对于有些复合函数的图象,则常用基本函数图象+变换方法 作出:即把我们熟知的基本函数图象,通过平移、作其对称图 等方法,得到我们所要求作的复合函数的图象,这种方法我们 遇到的有以下几种形式: 函 数 y=f(x+a) y=f(x)+a y=f(-x) y=-f(x) y=-f(-x) y=f(|x|) y=|f(x)| y=f(x) a>0时向左平移a个单位;a<0时向右平移|a|个单位. a>0时向上平移a个单位;a<0时向下平移|a|个单位. y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称. y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称. y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
? f ( x), ( x ? 0) f (| x |) ? ? ? f (? x), ( x ? 0)
? f ( x), f ( x) ? 0; y ? f ( x) ? ? ?? f ( x), f ( x) ? 0.

y ? f ?1 ( x) 与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.


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