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2014-2015学年安徽省淮北一中高二下学期第一次质检数学(理)试卷Word版含解析

2014-2015 学年安徽省淮北一中高二(下)第一次质检数学试卷(理 科)

一、选择题(本大题共 50 分,单项选择) 1.已知复数 Z1=cos23°+isin23°和复数 Z2=sin53°+isin37°,则 Z1?Z2=( )

A.

B.

C.

D.

2.已知 a,b∈R+,则“(a﹣1)(b﹣1)>0”是“logab>0”的( )

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

3.过曲线 y= 上的点 P 的切线 l 的方程为 12x﹣3y=16,那么 P 点坐标可能为( )

A. (1,﹣ ) B. (2, )

C. (﹣1,﹣ ) D. (3, )

4.设点 G 是△ ABC 的重心,若∠A=120°,

A.

B.

,则 C.

的最小值是( ) D.

5.若函数 y=f(x)图象上的任意一点 P 的坐标(x,y)满足条件|x|≥|y|,则称函数 f(x)具

有性质 S,那么下列函数中具有性质 S 的是( )

A. f(x)=ex﹣1 B. f(x)=ln(x+1) C. f(x)=sinx

D. f(x)=tanx

6.在△ ABC,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.asinBcosC+csinBcosA= b,且 a>b,

则∠B=( )

A.

B.

C.

D.

7.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( ) A. ?xα∈R,f(xα)=0 B. 函数 y=f(x)的图象是中心对称图形 C. 若 xα 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(﹣∞,xα)单调递减 D. 若 xα 是 f(x)的极值点,则 f′(xα)=0

8.设双曲线

=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐

近线于 A,B 两点,且与双曲线在第一象限的交点为 P,设 O 为坐标原点,若,若 =λ +μ (λ,μ∈R),λμ= ,则双曲线的离心率为( )

A.

B.

C.

D.

9.设等差数列{an}满足:

,公

差 值范围是(
A.

若当且仅当 n=11 时,数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值,则首项 a1 的取



B.

C.

D.

10.已知 f(x)=ex,x∈R,a<b,记 A=f(b)﹣f(a),B= (b﹣a)(f(a)+f(b)),则 A,

B 的大小关系是( A. A>B

) B. A≥B

C. A<B

D. A≤B

二、填空题(25 分,每小题 5 分)

11.已知向量 =( ﹣1,1), =(1, )(x>0,y>0),若 ⊥ ,则 x+4y 的最小值为



12.已知点 F 为抛物线 y=2x2 的焦点,点 A 为椭圆 4x2+3y2=1 的右顶点,则|AF|=



13.将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排,如第 11 个数字是 0,则从左至右的

第 2015 个数字是



14.定义:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上存在 x1,x2(a<x1<x2<b),满足 f′(x1)

=

,则称函数 y=f(x)在区间[a,b]上

是一个双中值函数,已知函数 f(x)=

的取值范围是



+a 是区间[0,a]上的双中值函数,则实数 a

15.设二次函数 g(x)的图象在点(m,g(m))的切线方程为 y=h(x),若 f(x)=g(x) ﹣h(x)

则下面说法正确的有:
①存在相异的实数 x1,x2 使 f(x1)=f(x2)成立; ②f(x)在 x=m 处取得极小值; ③f(x)在 x=m 处取得极大值;

④不等式

的解集非空;

⑤直线 x=m 一定为函数 f(x)图象的对称轴.

三、解答题(本大题共 75 分)

1)已知 a,b,c>0 且 a+b+c=1,求证:



(2)已知 n∈N*,求证:



17.已知公比 q 不为 1 的等比数列{an}的首项

,前 n 项和为 Sn,且 a4+S4,a5+S5,a6+S6

成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)对 n∈N+,在 an 与 an+1 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数成等差数列,记插入的这 n 个数 的和为{bn},求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

18.如图,已知点 A(11,0),函数

的图象上的动点 P 在 x 轴上的射影为 H,且点 H

在点 A 的左侧.设|PH|=t,△ APH 的面积为 f(t).

(Ⅰ)求函数 f(t)的解析式及 t 的取值范围;

(Ⅱ)求函数 f(t)的最大值.

19.已知数列{an},Sn 是其前 n 项的和,且满足 3an=2Sn+n(n∈N*) (Ⅰ)求证:数列{an+ }为等比数列; (Ⅱ)记 Tn=S1+S2+…+Sn,求 Tn 的表达式.
20.已知双曲线 C: ﹣ =1(a>0,b>0),F1、F2 分别是它的左、右焦点,A(﹣1,0)
是其左顶点,且双曲线的离心率为 e=2.设过右焦点 F2 的直线 l 与双曲线 C 的右支交于 P、Q 两点,其中点 P 位于第一象限内. (1)求双曲线的方程; (2)若直线 AP、AQ 分别与直线 x= 交于 M、N 两点,求证:MF2⊥NF2;

(3)是否存在常数 λ,使得∠PF2A=λ∠PAF2 恒成立?若存在,求出 λ 的值,若不存在,请说 明理由.

21.已知函数 f(x)=lnx﹣mx2,g(x)=

+x,m∈R 令 F(x)=f(x)+g(x).

(Ⅰ)当 m= 时,求函数 f(x)的单调递增区间;

(Ⅱ)若关于 x 的不等式 F(x)≤mx﹣1 恒成立,求整数 m 的最小值;

(Ⅲ)若 m=﹣2,正实数 x1,x2 满足 F(x1)+F(x2)+x1x2=0,证明:x1+x2



2014-2015 学年安徽省淮北一中高二(下)第一次质检数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 50 分,单项选择) 1.已知复数 Z1=cos23°+isin23°和复数 Z2=sin53°+isin37°,则 Z1?Z2=( )

A.

B.

C.

D.

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:化 sin53°为 cos37°,展开后结合两角和与差的三角函数化简求值. 解答: 解:∵Z1=cos23°+isin23°,Z2=sin53°+isin37°, 则 Z1?Z2=(cos23°+isin23°)?(sin53°+isin37°) =(cos23°+isin23°)?(cos37°+isin37°) =(cos23°cos37°﹣sin23°sin37°)+(sin37°cos23°+cos37°sin23°)i

=cos60°+isin60°=



故选:B. 点评:本题考查复数代数形式的混合运算,考查两角和与差的三角函数,考查计算能力,是 基础题.

2.已知 a,b∈R+,则“(a﹣1)(b﹣1)>0”是“logab>0”的( )

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可. 解答: 解:∵a,b∈R+, ∴若(a﹣1)(b﹣1)>0,





,此时都有 logab>0 成立,

若 logab>0,则当 a>1 是,b>1, 当 0<a<1,则 0<b<1,此时(a﹣1)(b﹣1)>0 成立, 即“(a﹣1)(b﹣1)>0”是“logab>0”的充要条件, 故选:C 点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键.

3.过曲线 y= 上的点 P 的切线 l 的方程为 12x﹣3y=16,那么 P 点坐标可能为( )

A. (1,﹣ ) B. (2, )

C. (﹣1,﹣ ) D. (3, )

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析:设出 P 点坐标,求出函数在 P 点处的导数值,即直线 l 的斜率,再由点 P 在曲线和直线 上得到关于 P 点横坐标的另一方程,联立可求 P 的坐标.

解答: 解:设 P(

),

由 y= ,得 y′=x2.





∵过曲线 y= 上的点 P 的切线 l 的方程为 12x﹣3y=16,



,解得:x0=2.

∴P 点坐标可能为



故选:B. 点评:本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程,曲线过某点处的切线的斜率,就是该 点处的导数值,是中档题.

4.设点 G 是△ ABC 的重心,若∠A=120°,

A.

B.

,则 C.

的最小值是( ) D.

考点:基本不等式;向量在几何中的应用. 专题:计算题;平面向量及应用.

分析:先利用数量积公式,求得

,再利用 G 是△ ABC 的重心,可得

,进而利用基本不等式,即可求得结论.

解答: 解:∵∠A=120°,





∴ ∵G 是△ ABC 的重心,





=



=

故选 B. 点评:本题考查数量积公式,考查向量的运算,考查基本不等式的运用,属于中档题.

5.若函数 y=f(x)图象上的任意一点 P 的坐标(x,y)满足条件|x|≥|y|,则称函数 f(x)具

有性质 S,那么下列函数中具有性质 S 的是( )

A. f(x)=ex﹣1 B. f(x)=ln(x+1) C. f(x)=sinx

D. f(x)=tanx

考点:函数的图象. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据性质 S 的定义,只需要满足函数的图象都在区域|x|≥|y|内即可. 解答: 解:要使函数具有性质 S,则对应的函数图象都在区域|x|≥|y|内, 分别作出函数的对应的图象,由图象可知满足条件的只有函数 f(x)=sinx, 故选:C.

点评:本题主要考查与函数有关的新定义题,正确理解题意是解决本题的关键,利用数形结 合是解决本题的基本方法,本题也可以通过特殊值法进行排除.

6.在△ ABC,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.asinBcosC+csinBcosA= b,且 a>b,

则∠B=( )

A.

B.

C.

D.

考点:正弦定理;两角和与差的正弦函数. 专题:解三角形. 分析:利用正弦定理化简已知的等式,根据 sinB 不为 0,两边除以 sinB,再利用两角和与差 的正弦函数公式化简求出 sinB 的值,即可确定出 B 的度数. 解答: 解:利用正弦定理化简已知等式得:sinAsinBcosC+sinCsinBcosA= sinB,
∵sinB≠0,∴sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB= ,
∵a>b,∴∠A>∠B,即∠B 为锐角,

则∠B= .
故选 A 点评:此题考查了正弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及诱导公式,熟练掌握正弦定 理是解本题的关键.

7.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( ) A. ?xα∈R,f(xα)=0 B. 函数 y=f(x)的图象是中心对称图形 C. 若 xα 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(﹣∞,xα)单调递减 D. 若 xα 是 f(x)的极值点,则 f′(xα)=0

考点:函数在某点取得极值的条件;命题的真假判断与应用.

专题:导数的综合应用.

分析:利用导数的运算法则得出 f′(x),分△ >0 与△ ≤0 讨论,列出表格,即可得出.

解答: 解:f′(x)=3x2+2ax+b.

(1)当△ =4a2﹣12b>0 时,f′(x)=0 有两解,不妨设为 x1<x2,列表如下

x

(﹣∞,x1) x1

(x1,x2) x2

(x2,+∞)

f′(x)

+

0



0

+

f(x)

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

由表格可知:

①x2 是函数 f(x)的极小值点,但是 f(x)在区间(﹣∞,x2)不具有单调性,故 C 不正确.

②∵

+f(x)

=

+x3+ax2+bx+c=



=





+f(x)=



∴点 P

为对称中心,故 B 正确.

③由表格可知 x1,x2 分别为极值点,则

,故 D 正确.

④∵x→﹣∞时,f(x)→﹣∞;x→+∞,f(x)→+∞,函数 f(x)必然穿过 x 轴,即?xα∈R, f(xα)=0,故 A 正确.

(2)当△ ≤0 时,

,故 f(x)在 R 上单调递增,①此时不存在

极值点,故 D 正确,C 不正确; ②B 同(1)中②正确; ③∵x→﹣∞时,f(x)→﹣∞;x→+∞,f(x)→+∞,函数 f(x)必然穿过 x 轴,即?xα∈R, f(xα)=0,故 A 正确. 综上可知:错误的结论是 C. 由于该题选择错误的,故选:C.

点评:熟练掌握导数的运算法则、中心得出的定义、单调性与极值的关系等基础知识与方法, 考查了分类讨论的思想方法等基本方法.

8.设双曲线

=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐

近线于 A,B 两点,且与双曲线在第一象限的交点为 P,设 O 为坐标原点,若,若 =λ +μ (λ,μ∈R),λμ= ,则双曲线的离心率为( )

A.

B.

C.

D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:由方程可得渐近线,求出 A,B,P 的坐标,由已知向量式建立 λ,μ 的关系,由 λμ=
可得 a,c 的关系,由离心率的定义可得.

解答: 解:双曲线

=1 的渐近线为:y=± x,

设焦点 F(c,0), 则 A(c, ),B(c,﹣ ),P(c, ), ∵ =λ +μ , ∴(c, )=((λ+μ)c,(λ﹣μ) ),
∴λ+μ=1,λ﹣μ= ,解得 λ= ,μ= ,

又由 λμ= ,得 × = ,

解得 = ,

∴e= = ,
即双曲线的离心率为 ,
故选:A 点评:本题考查双曲线的简单性质,涉及双曲线的离心率的求解,根据条件求出,A,B,P 的坐标是解决本题的关键.属中档题.

9.设等差数列{an}满足:

,公

差 值范围是(
A.

若当且仅当 n=11 时,数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值,则首项 a1 的取



B.

C.

D.

考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式,根据公差 d 的范围求出公差的值,代入前 n 项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项 a1 取值范 围.

解答: 解:由





=

=

=

=sin(a2﹣a7)=sin(﹣5d)=1

∴sin(5d)=﹣1. ∵d∈(﹣ ,0),∴5d∈(﹣ ,0),

则 5d=

,d=﹣ .

由 Sn=na1+

=na1﹣

=﹣ π+(a1+ )n.

对称轴方程为 n= (a1+ ),

由题意当且仅当 n=11 时,数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值,

∴ < (a1+ )< ,解得:π<a1<



∴首项 a1 的取值范围是(π,

).

故选:D. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了三角函数的有关公式,考查了等差数列的 前 n 项和,训练了二次函数取得最值得条件,考查了计算能力.

10.已知 f(x)=ex,x∈R,a<b,记 A=f(b)﹣f(a),B= (b﹣a)(f(a)+f(b)),则 A,

B 的大小关系是( A. A>B

) B. A≥B

C. A<B

D. A≤B

考点:指数函数单调性的应用. 专题:计算题. 分析:利用特殊值验证,推出 A,B 的大小,然后利用反证法推出 A=B 不成立,得到结果.
解答: 解:考查选项,不妨令 b=1,a=0,则 A=e﹣1,B= (e+1).

∵e<3,?2e﹣2<e+1?e﹣1< (e+1).
即 A<B.排除 A、B 选项. 若 A=B,则 eb﹣ea= (b﹣a)(eb+ea),
整理得:(2﹣b+a)eb=(b﹣a+2)ea 观察可得 a=b,与 a<b 矛盾,排除 D. 故选:C. 点评:本题考查函数的单调性的应用,选择题的解法,如果常用直接法,解答本题难度比较 大.考查学生灵活解题能力.

二、填空题(25 分,每小题 5 分) 11.已知向量 =( ﹣1,1), =(1, )(x>0,y>0),若 ⊥ ,则 x+4y 的最小值为 9 .

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:根据 ⊥ ,得到 x+y=xy,由 x+4y≥4 从而得到答案. 解答: 解:∵ ⊥ ,(x>0,y>0), ∴ ? = ﹣1+ =0,
∴ + =1,
∴x+4y=(x+4y)( + )=1+ + +4≥5+2

结合“=”成立的条件,求出此时 x,y 的值, =9,

当且仅当 = 即 x2=4y2 时“=”成立,
故答案为:9 点评:本题考查了平面向量数量积的运算,考查了基本不等式的性质,是一道基础题.

12.已知点 F 为抛物线 y=2x2 的焦点,点 A 为椭圆 4x2+3y2=1 的右顶点,则|AF|=



考点:椭圆的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:根据抛物线和椭圆的性质,分别求出 A,F 两点的坐标,代入两点之间距离公式,可得 答案. 解答: 解:抛物线 y=2x2 的标准方程为:x2= ,
故抛物线 y=2x2 的焦点为 F(0, ),

椭圆 4x2+3y2=1 的标准方程为:



故椭圆 4x2+3y2=1 的右顶点为 A( ,0),

∴|AF|=

=,

故答案为:
点评:本题考查的知识点是抛物线和椭圆的性质,两点之间距离公式,难度不大,属于基础 题.

13.将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排,如第 11 个数字是 0,则从左至右的 第 2015 个数字是 0 .

考点:计数原理的应用. 专题:排列组合. 分析:分类讨论,全体一位数共占据 9 个数位,全体两位数共占据 2×90=180 个数位,接下来 是顺次排列的三位数,从而可得结论. 解答: 解:全体一位数共占据 9 个数位,全体两位数共占据 2×90=180 个数位,接下来是顺 次排列的三位数,
由于 2015﹣9﹣180=1826,而 =608…2,
因 608+99=707, ∴从左至右的第 2015 个数字是 708 的第二个数字, ∴则从左至右的第 2015 个数字是 0, 故答案为:0. 点评:本题考查计数原理的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

14.定义:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上存在 x1,x2(a<x1<x2<b),满足 f′(x1)

=

,则称函数 y=f(x)在区间[a,b]上

是一个双中值函数,已知函数 f(x)=

+a 是区间[0,a]上的双中值函数,则实数 a

的取值范围是 ( ,3) .

考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用.
分析:先求出函数 f(x)的导数,问题转化为:方程

在区间[0,a]有两个解,

解不等式组解出即可. 解答: 解:由题意可知,在区间[0,a]上存在 x1,x2(0<x1<x2<a),

满足



∵ ∴f′(x)=x2﹣2x, ∴方程



在区间[0,a]有两个解, ,



,解得:



故答案为:



点评:本题考查了二次函数的性质,考查导数的应用,解不等式问题,理解所给 定义是解题 的关键,本题是一道中档题.

15.设二次函数 g(x)的图象在点(m,g(m))的切线方程为 y=h(x),若 f(x)=g(x) ﹣h(x) 则下面说法正确的有: ①④⑤ ①存在相异的实数 x1,x2 使 f(x1)=f(x2)成立; ②f(x)在 x=m 处取得极小值; ③f(x)在 x=m 处取得极大值;

④不等式

的解集非空;

⑤直线 x=m 一定为函数 f(x)图象的对称轴.

考点:二次函数的性质;命题的真假判断与应用.
专题:函数的性质及应用;推理和证明. 分析:设 g(x)=ax2+bx+c,(a≠0)然后求出在点(m,g(m))的切线方程为 y=h(x),从 而得到 f(x)的解析式,根据二次函数的性质可得结论. 解答: 解:设 g(x)=ax2+bx+c,(a≠0)则 g(x)′=2ax+b, ∴g(m)′=2am+b 则在点(m,g(m))的切线方程为 h(x)﹣g(m)=(2am+b)(x﹣m), 即 h(x)=(2am+b)x﹣am2+c, ∴f(x)=ax2+bx+c﹣(2am+b)x+am2﹣c=ax2﹣2amx+am2=a(x﹣m)2, ∴f(x)是二次函数,关于 x=m 对称,故⑤正确; 当 x1,x2 关于 x=m 对称时,f(x1)=f(x2)成立,故①正确; 当 a<0 时,在 x=m 处取得极大值,故②不正确; 当 a>0 时,在 x=m 处取得极小值,故③不正确;

x=m 时 f(x)=0,满足|f(x)|<

,故④正确;

故答案为:①④⑤ 点评:本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系,二次函数的性质,等差数列的性质, 体现了转化的数学思想.

三、解答题(本大题共 75 分)

1)已知 a,b,c>0 且 a+b+c=1,求证:



(2)已知 n∈N*,求证:



考点:不等式的证明. 专题:点列、递归数列与数学归纳法;不等式的解法及应用.

分析: (1)运用构造向量法,设 =(1,1,1), =(





),由| ? |≤| |?| |,

计算即可得证; (2)运用数学归纳法证明,注意解题步骤,当 n=k+1 时,要证的目标是

,当代入归纳假设后,就是要证明:



解答: 证明:(1)设 =(1,1,1), =(





),

则| |= ,| |=

=,

由| ? |≤| |?| |,

可得

+

+

≤3 ;

(2)①当 n=1 时,左边=1,右边=2. 左边<右边,不等式成立.

②假设 n=k 时,不等式成立,即



那么当 n=k+1 时,


这就是说,当 n=k+1 时,不等式成立. 由①、②可知,原不等式对任意自然数 n 都成立. 点评:本题考查不等式的证明,考查构造向量法和数学归纳法的证明,属于中档题.

17.已知公比 q 不为 1 的等比数列{an}的首项

,前 n 项和为 Sn,且 a4+S4,a5+S5,a6+S6

成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)对 n∈N+,在 an 与 an+1 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数成等差数列,记插入的这 n 个数 的和为{bn},求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)通过 2(a5+S5)=a4+S4+a6+S6 化简得 2q2﹣3q+1=0,进而计算可得结论; (II)通过 bn= n? ,写出 Tn、 Tn 的表达式,利用错位相减法计算即得结论.
解答: 解:(I)由题可知:2(a5+S5)=a4+S4+a6+S6, 化简得:2a6﹣3a5+a4=0, ∴2q2﹣3q+1=0,
解得:q= 或 q=1(舍),

∴an=

=;

(II)依题意 bn=

= n? ,





, 两式相减得:

= ?( ?

﹣n? ),

∴Tn= (1﹣ ﹣ ).
点评: 本题考查数列的通项及前 n 项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于 中档题.

18.如图,已知点 A(11,0),函数

的图象上的动点 P 在 x 轴上的射影为 H,且点 H

在点 A 的左侧.设|PH|=t,△ APH 的面积为 f(t).

(Ⅰ)求函数 f(t)的解析式及 t 的取值范围;

(Ⅱ)求函数 f(t)的最大值.

考点:导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:计算题;导数的概念及应用.
分析: ( I)S△ APH= PH×AH.其中 AH=OA﹣OH,OH 等于 P 的横坐标,P 的纵坐标即为

|PH|=t,利用函数解析式可求 OH.得出面积的表达式. ( II)由( I),面积为

.利用导数工具研究单调性,

求出最值.

解答: 解:( I)由已知可得

,所以点 P 的横坐标为 t2﹣1,

因为点 H 在点 A 的左侧,所以 t2﹣1<11,即



由已知 t>0,所以



所以 AH=11﹣(t2﹣1)=12﹣t2,

所以△ APH 的面积为



( II)



由 f'(t)=0,得 t=﹣2(舍),或 t=2. 函数 f(t)与 f'(t)在定义域上的情况如右图: 所以当 t=2 时,函数 f(t)取得最大值 8.

点评:本题考查了函数的综合应用,其中有利用导数来求函数在某一区间上的最值问题,属 于中档题.
19.已知数列{an},Sn 是其前 n 项的和,且满足 3an=2Sn+n(n∈N*) (Ⅰ)求证:数列{an+ }为等比数列; (Ⅱ)记 Tn=S1+S2+…+Sn,求 Tn 的表达式.
考点:数列的求和;等比关系的确定. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由 3an=2Sn+n,类比可得 3an﹣1=2Sn﹣1+n﹣1(n≥2),两式相减,整理即证得数 列{an+ }是以 为首项,3 为公比的等比数列;

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 an+ = ?3n?an= (3n﹣1),Sn=
与等差数列的求和公式,即可求得 Tn 的表达式. 解答: (Ⅰ)证明:∵3an=2Sn+n, ∴3an﹣1=2Sn﹣1+n﹣1(n≥2), 两式相减得:3(an﹣an﹣1)=2an+1(n≥2), ∴an=3an﹣1+1(n≥2), ∴an+ =3(an﹣1+ ),又 a1+ = ,
∴数列{an+ }是以 为首项,3 为公比的等比数列;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 an+ = ?3n﹣1= ?3n,
∴an= ?3n﹣ = (3n﹣1),

﹣ ,分组求和,利用等比数列

∴Sn= [(3+32+…+3n)﹣n]= (

﹣n)=

﹣,

∴Tn=S1+S2+…+Sn= (32+33+…+3n+3n+1)﹣ ﹣ (1+2+…+n)

=?

﹣﹣

=





点评:本题考查数列的求和,着重考查等比关系的确定,突出考查分组求和,熟练应用等比 数列与等差数列的求和公式是关键,属于难题.

20.已知双曲线 C: ﹣ =1(a>0,b>0),F1、F2 分别是它的左、右焦点,A(﹣1,0)

是其左顶点,且双曲线的离心率为 e=2.设过右焦点 F2 的直线 l 与双曲线 C 的右支交于 P、Q 两点,其中点 P 位于第一象限内. (1)求双曲线的方程;
(2)若直线 AP、AQ 分别与直线 x= 交于 M、N 两点,求证:MF2⊥NF2;
(3)是否存在常数 λ,使得∠PF2A=λ∠PAF2 恒成立?若存在,求出 λ 的值,若不存在,请说 明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.
分析: (1)由题可知:a=1.由于

,可得 c=2.再利用 b2=c2﹣a2 即可.

(2)设直线 l 的方程为:x=ty+2,另设:P(x1,y1)、Q(x2,y2).联立

,可

得根与系数的关系.又直线 AP 的方程为

,解得 M

.同

理解得 N

.只要证明

=0 即可.

(3)当直线 l 的方程为 x=2 时,解得 P(2,3).易知此时△ AF2P 为等腰直角三角形,可得: λ=2. 当∠AF2P=2∠PAF2 对直线 l 存在斜率的情形也成立.利用正切的倍角公式、斜率计算公式、 双曲线的方程、正切函数的单调性即可证明.
解答: (1)解:由题可知:a=1.





∴c=2. ∴b2=c2﹣a2=3,

∴双曲线 C 的方程为:



(2)证明:设直线 l 的方程为:x=ty+2,另设:P(x1,y1), Q(x2,y2).

联立

,化为(3t2﹣1)y2+12ty+9=0.





又直线 AP 的方程为

,代入 x= ,

解得 M



同理,直线 AQ 的方程为

,代入 x= ,解得 N





=





=+

=

=+

=



∴MF2⊥NF2. (3)解:当直线 l 的方程为 x=2 时,解得 P(2,3).易知此时△ AF2P 为等腰直角三角形,

其中

,也即:λ=2.

下证:∠AF2P=2∠PAF2 对直线 l 存在斜率的情形也成立.

tan2∠PAF2=

=

=

=





=1,∴



∴ ,

∴ ∴结合正切函数在

, 上的图象可知,∠AF2P=2∠PAF2.

点评: 本题综合考查了双曲线的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、正切的倍 角公式、斜率计算公式、双曲线的方程、正切函数的单调性等基础知识与基本技能方法,考查 了推理能力与计算能力,属于难题.

21.已知函数 f(x)=lnx﹣mx2,g(x)=

+x,m∈R 令 F(x)=f(x)+g(x).

(Ⅰ)当 m= 时,求函数 f(x)的单调递增区间;

(Ⅱ)若关于 x 的不等式 F(x)≤mx﹣1 恒成立,求整数 m 的最小值;

(Ⅲ)若 m=﹣2,正实数 x1,x2 满足 F(x1)+F(x2)+x1x2=0,证明:x1+x2



考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 专题:函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (1)先求函数的定义域,然后求导,通过导数大于零得到增区间; (2)不等式恒成立问题转化为函数的最值问题,应先求导数,研究函数的单调性,然后求函 数的最值; (3)联系函数的 F(x)的单调性,然后证明即可.注意对函数的构造.

解答: 解:(1)



由 f′(x)>0 得 1﹣x2>0 又 x>0,所以 0<x<1.所以 f(x)的单增区间为(0,1).

(2)令

x+1.

所以

=



当 m≤0 时,因为 x>0,所以 G′(x)>0 所以 G(x)在(0,+∞)上是递增函数,

又因为 G(1)=﹣



所以关于 x 的不等式 G(x)≤mx﹣1 不能恒成立.

当 m>0 时,



令 G′(x)=0 得 x= ,所以当 <0. 因此函数 G(x)在
故函数 G(x)的最大值为

时,G′(x)>0;当

时,G′(x)

是增函数,在 .

是减函数.

令 h(m)=

,因为 h(1)=

,h(2)=



又因为 h(m)在 m∈(0,+∞)上是减函数,所以当 m≥2 时,h(m)<0. 所以整数 m 的最小值为 2. (3)当 m=﹣2 时,F(x)=lnx+x2+x,x>0.

由 F(x1)+F(x2)+x1x2=0,即



化简得



令 t=x1x2,则由 φ(t)=t﹣lnt 得 φ′(t)=



可知 φ′(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增.所以 φ(t)≥φ(1) =1.

所以

,即

成立.

点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路,不等式恒成立问题转化为函数最 值问题来解的方法.属于中档题,难度不大.


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