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高三数学-2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题(理工农医类)参考答案 精品

2018 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题(理工农医类)参考答 案 一.选择题:本题考查基本知识和基本运算。每题 5 分,满分 60 分。 (1)D(2)C(3)B(4)D(5)C(6)B(7)B(8)A(9)D(10)D(11) B(12)C 二.填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 16 分 (13) (0,0),(1,1) (14)-1 (15) 3? ln 2 (16) 7 2 三.解答题 (17)本小题考查同角三角函数关系式、倍角公式等基础知识,考查基本运算能力。 满分 12 分。 解: cos(2? ? ? 4 ) ? cos2? cos ? 4 ? sin 2? sin ? 4 ? 2 (cos2? ? sin 2? ). 2 3? ? 7? ? ?? ? ? , cos(? ? ) ? 0, 4 4 4 4 3? ? 7? 由此知 〈?+ 〈 , 2 4 4 ? ? sin(? ? ? 4 ) ? ? 1 ? cos2 (? ? ? 3 4 ) ? ? 1 ? ( )2 ? ? . 4 5 5 从而 cos 2? ? sin(2? ? sin 2? ? ? cos(2? ? ? 2 ) ? 2 sin(? ? ? 4 ) cos(? ? ? 4 3 24 ) ? 2 ? (? ) ? ? ? 4 5 5 25 3 7 ) ? 1 ? 2 ? ( )2 ? . 2 4 5 25 ? 2 24 7 31 2 ? cos(2? ? ) ? ? (? ? ) ? ? 4 2 25 25 50 ) ? 1 ? 2 cos2 (? ? 注意:考生在(18 甲) 、 (18 乙)两题中选一题作答,如果两题都答,只以(18 甲) 计分。 本小题主要考查空间直角坐标系的概念,空间点和向量的坐标表示以及向量夹角的 计算方法,考查运用向量研究空间图形的数学思想方法。满分 12 分。 解: (1)如图,以点 A 为坐标原点 O,以 AB 所在直线为 Oy 轴,以 AA 1 所在直线 为 Oz 轴, 以经过原点且与平面 ABB 建立空间直角坐标系。 1A 1 垂直的直线为 Ox 轴, ? ? 由已知,得 A(0,0,0), B(0, a,0), A1 (0,0, 2a), C1 (? ------------4 分 (2)坐标系如上。取 A1 B1 的中点 M,于是 3 a a, , 2a) 2 2 Z C1 A1 M B1 a 有 M (0, , 2a ) ,连 AM , MC1 有 2 MC1 ? (? 3 a,0,0) ,且 2 C O A B Y AB ? (0, a,0), AA 1 ? (0,0, 2a) 由于 MC1 ? AA 1 ? 0, MC1 ? AA 1 ?0 所以, MC1 ? 面ABB 1A 1 X ∴ AC1与AM所成的角就是 AG1与侧面ABB1 A1所成的角。 3 a a a, , 2a ), AM ? (0, , 2a ) 2 2 2 2 a 9 ? AC1 ? AM ? 0 ? ? 2a 2 ? a 2 4 4 ? AC1 ? (? 3a 2 a 2 而 AC1 ? ? ? 2a 2 ? 3a 4 4 a2 3 ? 2a 2 ? a 4 2 9 2 a 3 4 ? cos AC1 , AM ? ? 3 2 3a ? a 2 AM ? 所以, AC1与 AM所成的角,即AC1与侧面ABB1 A1所成的角为 300 (18 乙)本小题主要考查线面关系、二面角和函数极值等基础知识,考查空间想象 能力和推理论证能力。满分 12 分。 解: (1)作 MP∥AB 交 BC 于点 P,NQ∥AB 交 BE 于点 Q,连接 PQ,依题意可得 MP∥NQ,且 MP=NQ, C 即 MNQP 是平行四边形。 ∴MN=PQ 由已知, CM=BN=a,CB=AB=BE=1, D M B P AC ? BF ? 2 CP a BQ a ∴ ? , ? 1 2 1 2 a 2 Q N E 即 CP ? BQ ? ∴ A F MN ? PQ ? (1 ? CP ) 2 ? BQ 2 ? (1 ? (2)由(1) a 2 )2 ? ( a 2 ) 2 ? (a ? 2 2 1 ) ? (0 ? a ? 2 ) 2 2 MN ? (a ? 所以,当a ? 2 2 1 ) ? 2 2 2 2 时,MN ? 2 2 2 2 即M , N分别移动到AC, BF的中点时,MN的长最小,最小值为 (3)取 MN 的中点 G,连接 AG、BG, ∵AM=AN,BM=BN,∴AG⊥MN,BG⊥MN,∴∠AGB 即为二面角α 的平面角。 又 AG ? BG ? 6 ,所以由余弦定理有 4 cos? ? ( 6 2 6 ) ? ( )2 ?1 1 1 4 4 ? ? 。故所求二面角 ? ? arccos( ? ) 。 3 3 6 6 2? ? 4 4 (19) 本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法, 考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分 12 分。 解: (1)至少 3 人同时上网的概率等于 1 减去至多 2 人同时上网的概率,即 0 1 1 ? C6 (0.5) 6 ? C6 (0.5) 6 ? C62 (0.5) 6 ? 1? 1 ? 6 ? 15 21 ? 64 32 11 ? 0.3 32 (2)至少 4 人同时上网的概率为 5 6 C 64 (0.5) 6 ? C 6 (0.5) 6 ? C 6 (0.5) 6 ? 至少 5 人同时上网的概率为 5 6 (C 6 ? C6 )( 0.5) 6 ? 7 ? 0.3 64 因此,至少 5 人同时上网的概率小于 0.3. (20)本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法,考查

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