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【优化探究】2016届高考数学理科(人教A版)一轮复习课件 第六章 不等式、推理与证明6-7_图文

第七节 最新考纲展示 数学归纳法 了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命 题. 数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: 第一个值n0(n0∈N*) 时命题成立. 1.(归纳奠基)证明当n取____________________ 2 . ( 归 纳 递 推 ) 假 设 n = k(k≥n0 , k∈N*) 时 命 题 成 立 , 证 明 当 n=k+1 时命题也成立. __________ 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n 都成立. 1.数学归纳法的框图表示: 2.数学归纳法是一种重要的数学思想方法,主要用于解决与正整 数有关的数学问题.证明时步骤(1)和(2)缺一不可,步骤(1)是步骤(2)的 基础,步骤(2)是递推的依据. 3.在用数学归纳法证明时,第(1)步验算n=n0的n0不一定为1,而 是根据题目要求选择合适的起始值. 1 1.在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为2n(n-3)条时,第一 步检验 n 等于( A.1 C.3 ) B.2 D.4 解析:三角形是边数最少的凸多边形,故第一步应检验n=3. 答案:C 1 1 2. (2015 年黄山质检)已知 n 为正偶数, 用数学归纳法证明 1-2+3- 1 1? ? 1 1 1 + +…+2n?时,若已假设 n=k(k≥2 为偶数) ? +…+ = 2 4 n+1 ?n+2 n+4 ? 时命题为真,则还需要用归纳假设再证 n=( )时等式成立( ) A.k+1 B.k+2 C.2k+2 D.2(k+2) 解析:根据数学归纳法的步骤可知,则n=k(k≥2为偶数)下一个偶 数为k+2,故选B. 答案:B 1 1 1 1 3.已知 f(n)=n+ + +…+n2,则( ) n+1 n+2 1 1 A.f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)=2+3 1 1 1 B.f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)=2+3+4 1 1 C.f(n)中共有 n2-n 项,当 n=2 时,f(2)=2+3 1 1 1 D.f(n)中共有 n2-n+1 项,当 n=2 时,f(2)=2+3+4 解析:项数为n2-(n-1)=n2-n+1. 答案:D 1 1 1 4. 用数学归纳法证明“1+2+3+…+ n <n(n>1)”, 由 n=k(k>1) 2 -1 不等式成立,推证 n=k+1 时,左边应增加的项的项数是________. 1 1 解析:由 n=k(k>1)到 n=k+1 时,不等式左端增加的项为2k+ k 2 +1 1 +…+ k+1 共增加(2k+1-1)-(2k-1)=2k 项. 2 -1 答案:2k 用数学归纳法证明等式(师生共研) 例1 已知等差数列 {an} 的公差为 3 ,其前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn}的公比为2,且a1=b1=2. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2) 记 Tn = anb1 + an - 1b2 + … + a1bn , n∈N* ,证明 Tn + 12 =- 2an+10bn(n∈N*). 解析 (1)由a1=2,公差d=3, ∴an=a1+(n-1)d=3n-1. 在等比数列{bn}中,公比q=2,首项b1=2, ∴bn=2·2n-1=2n. (2)证明:①当n=1时,T1+12=a1b1+12=16,-2a1+10b1=16, 故等式成立; ②假设当n=k时等式成立, 即Tk+12=-2ak+10bk, 当n=k+1时, Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+…+a1bk+1 =ak+1b1+q(akb1+ak-1b2+…+a1bk) =ak+1b1+qTk =ak+1b1+q(-2ak+10bk-12) =2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24 =-2ak+1+10bk+1-12, 即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1. 因此n=k+1时等式也成立. 由①、②可知,对任意n∈N*,Tn+12=-2an+10bn成立. 规律方法 (1)用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清 等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少. (2)由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等式两 边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变 形,正确写出证明过程. 1 . 求 证 : (n + 1)(n + 2)·…·(n + n) = 2n·1·3·5·…·(2n - 1)(n∈N*). 证明: (1) 当 n = 1 时,等式左边= 2 ,右边= 21·1 = 2 , ∴ 等式成 立. (2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即(k+1)(k+2)·…·(k+k)= 2k·1·3·5·…·(2k-1). 当n=k+1时,左边=(k+2)(k+3)·…·2k·(2k+1)(2k+2) =2·(k+1)(k+2)(k+3)·…·(k+k)·(2k+1) =2·2k·1·3·5·…·(2k-1)·(2k+1) =2k+1·1·3·5·…·(2k-1)(2k+1). 这就是说当n=k+1时,等式成立. 根据(1)、(2)知,对n∈N*,原等式成立. 用数学归纳法证明不等式(师生共研) 1 1 1 1 1 1 3 1 例 2 由下列不等式:1>2,1+2+3>1,1+2+3+…+7>2,1+2+ 1 1 +…+ 3 15>2,…,你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明. 1 1 1 n 解析 一般结论:1+2+3+…+ n >2(n∈N*),证明如下: 2 -1 (1)当 n=1 时,由题设条件知命题成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时,猜想正确. 1 1 1 k 即 1+2+3+…+ k >2. 2 -1 1 1 1 1 1 k 1 1

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