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泗水县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

泗水县三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 如图,圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A,点 C、B 在圆 O 上,且点 C 位于第一象限,点 B 的坐标为( ﹣ ),∠AOC=α,若|BC|=1,则 cos2 ﹣sin cos ﹣ 的值为( ) ,

姓名__________

分数__________

A.

B.

C.﹣

D.﹣

2. 已知全集为 R ,集合 A ? x | x ? ?2或x ? 3 , B ? ??2,0, 2, 4? ,则 (?R A) A. ??2,0, 2? B. ??2, 2, 4? C. ??2,0,3?

?

?

B ?(

) D. ?0,2,4?

3. 若数列{an}的通项公式 an=5( )2n﹣2﹣4( )n﹣1(n∈N*),{an}的最大项为第 p 项,最小项为第 q 项, 则 q﹣p 等于( A.1 ) B.2
x

C.3

D.4 )

?a -1,x≤1 4. 已知函数 f(x)=? (a>0 且 a≠1),若 f(1)=1,f(b)=-3,则 f(5-b)=( 1 log ,x>1 ? x+1
a

1 A.- 4 3 C.- 4

1 B.- 2 5 D.- 4 都

5. 已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,且 f(ax+1)≤f(x﹣2)对任意 成立,则实数 a 的取值范围为( A.[﹣2,0] B.[﹣3,﹣1] ) C.[﹣5,1] D.[﹣2,1)

? x ? y ? 2? 0 ? 6. 已知实数 x ?[?1,1] , y ? [0, 2] ,则点 P ( x, y ) 落在区域 ? x ? 2 y ? 1? 0 内的概率为( ? 2 x ? y ? 2… 0 ?



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A.

3 4

B.

3 8

C.

1 4

D.

1 8

【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识,意在考查数形结合思想及基本运算能力. 7. 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x﹣2)=f(x+2),当 0<x<2 时,f(x)=1﹣log2(x+1), 则当 0<x<4 时,不等式(x﹣2)f(x)>0 的解集是( A.(0,1)∪(2,3) 8. 函数 A.最小正周期为 2π 的奇函数 C.最小正周期为 2π 的偶函数 9. 若 f ( x) ? ? B.(0,1)∪(3,4) ) D.(1,2)∪(2,3) C.(1,2)∪(3,4) 是( )

B.最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数

? f ( x ? 2), ( x ? 2) 则 f (1) 的值为( ) ?x 2 , ( x ? 2 ) ? 1 1 A.8 B. C.2 D. 2 8 2 2 x y 10. F1 , F2 分别为双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a , b ? 0 )的左、右焦点,点 P 在双曲线上,满足 PF 1 ? PF 2 ?0, a b 3 ?1 若 ?PF1 F2 的内切圆半径与外接圆半径之比为 ,则该双曲线的离心率为( ) 2 A. 2 B. 3 C. 2 ? 1 D. 3 ? 1
【命题意图】本题考查双曲线的几何性质,直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识,意在考查 基本运算能力及推理能力. 11.四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形, 则在下列结论中,下列说法错误的是( )

A. AC ? BD C. AC PQMN 12.已知函数 f(x)=31+|x|﹣ A. B.

B. AC ? BD D.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45 ,则使得 f(x)>f(2x﹣1)成立的 x 的取值范围是( C.(﹣ , ) D. )

二、填空题

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13.函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y=3x﹣2,则 f(1)+f′(1)=



14.已知 x ? 1, x ? 3 是函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ??? ? 0? 两个相邻的两个极值点,且 f ? x ? 在 x ? 处的导数 f ? ?

3 2

?3? ? ? 0 ,则 ?2?
2

?1? f ? ? ? ___________. ?3?
2

15.若实数 x,y 满足 x +y ﹣2x+4y=0,则 x﹣2y 的最大值为
2

. . ▲ .

16.已知集合 M={x||x|≤2,x∈R},N={x∈R|(x﹣3)lnx =0},那么 M∩N= b 17.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a 2 ? 7a 在 x ? 1 处取得极小值 10,则 的值为 a 18.已知向量 a ? (1, x), b ? (1, x ?1), 若 (a ? 2b) ? a ,则 | a ? 2b |? ( A. 2 B. 3 C.2 D. 5 )

【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识,意在考查转化思想、方程思想、逻辑思 维能力与计算能力.

三、解答题
19.计算: (1)8 +(﹣ )0﹣ ;

(2) lg25+lg2﹣log29×log32.

20.(文科)(本小题满分 12 分) 我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟 确定一个合理的月用水量标准(吨)、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费,超过的部分 按议价收费,为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年 100 位居民每人的月均用水量(单位:吨), 将数据按照 ?0,0.5? , ?0.5,1? ,

, ?4,4.5? 分成 9 组,制成了如图所示的频率分布直方图.

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(1)求直方图中的值; (2)设该市有 30 万居民,估计全市居民中月均用量不低于 3 吨的人数,并说明理由; (3)若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准(吨),估计的值,并说明理由.

21.已知二次函数 f(x)=x2+2bx+c(b,c∈R). (1)若函数 y=f(x)的零点为﹣1 和 1,求实数 b,c 的值; (2)若 f(x)满足 f(1)=0,且关于 x 的方程 f(x)+x+b=0 的两个实数根分别在区间(﹣3,﹣2),(0, 1)内,求实数 b 的取值范围.

22.(本小题满分 12 分) 如图,多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为菱形,且 ?DAB ? 60 , EF

/ / AC , AD ? 2 ,

EA ? ED ? EF ? 3 .
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(1)求证: AD ? BE ; (2)若 BE ? 5 ,求三棱锥 F -BCD 的体积.

23.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为

2 ,且 a =2b.

(1)求椭圆的方程;
2 2 (2)直线 l:x﹣y+m=0 与椭圆交于 A,B 两点,是否存在实数 m,使线段 AB 的中点在圆 x +y =5 上,若存

在,求出 m 的值;若不存在,说明理由.

24.(本小题满分 13 分)

x2 y 2 M , ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F 直线 l : x ? my ? 1经过点 F 1 、F2 , 1 与椭圆 C 交于点 a 2 b2 2 点 M 在 x 轴的上方.当 m ? 0 时, | MF1 |? . 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
椭圆 C :

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(Ⅱ)若点 N 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的一点, MF1 / / NF2 ,且

S?MF1F2 S?NF1F2

? 3 ,求直线 l 的方程.

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泗水县三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】 A 【解析】解:∵|BC|=1,点 B 的坐标为( 又∠AOC=α,∴∠AOB= ∴sin( ﹣α)= ﹣( = ﹣( = ﹣sin ﹣ cos . ﹣α)]=cos , ﹣α)]=sin . ﹣ = = , (2cos
2

,﹣ ﹣α)=

),故|OB|=1,∴△BOC 为等边三角形,∴∠BOC= ,﹣sin( ﹣α)=﹣ ,



﹣α,∴cos(

∴cosα=cos[ = +

cos(

﹣α)+sin

sin(

﹣α)

∴sinα=sin[ = ∴ = 故选:A. ﹣ cos2

cos(

﹣α)﹣cos

sin(

﹣α)

﹣1)﹣ sinα=

cosα﹣ sinα

【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,三角恒等变换,属于中档题. 2. 【答案】A 【解析】

考点:1、集合的表示方法;2、集合的补集及交集. 3. 【答案】A 【解析】解:设 ∴an=5t ﹣4t= ∴an∈ ,
2

=t∈(0,1],an=5( )2n﹣2﹣4( )n﹣1(n∈N*), ﹣ ,

当且仅当 n=1 时,t=1,此时 an 取得最大值;同理 n=2 时,an 取得最小值.

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∴q﹣p=2﹣1=1, 故选:A. 【点评】本题考查了二次函数的单调性、指数函数的单调性、数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 4. 【答案】 【解析】解析:选 C.由题意得 a-1=1,∴a=2. 若 b≤1,则 2b-1=-3,即 2b=-2,无解. 1 1 1 ∴b>1,即有 log2 =-3,∴ = ,∴b=7. b+1 b+1 8 3 ∴f(5-b)=f(-2)=2-2-1=- ,故选 C. 4 5. 【答案】A 【解析】解:∵偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数, 则 f(x)在(﹣∞,0)上是减函数, 则 f(x﹣2)在区间[ ,1]上的最小值为 f(﹣1)=f(1) 若 f(ax+1)≤f(x﹣2)对任意 当 则﹣2≤a≤0 故选 A 6. 【答案】B 【 解 析 】 都成立,

时,﹣1≤ax+1≤1,即﹣2≤ax≤0 恒成立

7. 【答案】D

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【解析】解:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x﹣2)=f(x+2), ∴f(0)=0,且 f(2+x)=﹣f(2﹣x), ∴f(x)的图象关于点(2,0)中心对称, 又 0<x<2 时,f(x)=1﹣log2(x+1), 故可作出 fx(x)在 0<x<4 时的图象, 由图象可知当 x∈(1,2)时,x﹣2<0,f(x)<0, ∴(x﹣2)f(x)>0; 当 x∈(2,3)时,x﹣2>0,f(x)>0, ∴(x﹣2)f(x)>0; ∴不等式(x﹣2)f(x)>0 的解集是(1,2)∪(2,3) 故选:D

【点评】本题考查不等式的解法,涉及函数的性质和图象,属中档题. 8. 【答案】B 【解析】解:因为 = =cos(2x+ )=﹣sin2x. =π.

所以函数的周期为: 故选 B.

因为 f(﹣x)=﹣sin(﹣2x)=sin2x=﹣f(x),所以函数是奇函数. 【点评】本题考查二倍角公式的应用,诱导公式的应用,三角函数的基本性质,考查计算能力.

9. 【答案】B
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【解析】 试题分析: f ?1? ? f ? 3? ? 2 考点:分段函数。 10.【答案】D
2 2 2 2 【 解 析 】 ∵ PF 1 ? PF2 , 即 ?PF 1 F2 为 直 角 三 角 形 , ∴ PF 1 ? PF 2 ?F 1F 2 ? 4c , 1 ? PF 2 ? 0 , ∴ PF
?3

?

1 ,故选 B。 8

| PF1 ? PF2 |? 2a ,则 2PF1 ? PF2 ? PF12 ? PF22 ? (PF1 ? PF2 )2 ? 4(c2 ? a2 ) ,
(PF1 ? PF2 )2 ? (PF1 ? PF2 )2 ? 4PF1 ? PF2 ? 8c2 ? 4a2 .所以 ?PF1 F2 内切圆半径
r? PF1 ? PF2 ? F1 F2 3 ?1 ? 2c 2 ? a 2 ? c ,外接圆半径 R ? c .由题意,得 2c 2 ? a 2 ? c ? c ,整理,得 2 2

c ( ) 2 ? 4 ? 2 3 ,∴双曲线的离心率 e ? 3 ? 1 ,故选 D. a
11.【答案】B 【解析】 试题分析:因为截面 PQMN 是正方形,所以 PQ // MN , QM // PN ,则 PQ // 平面 ACD, QM // 平面 BDA , 所以 PQ // AC, QM // BD, 由 PQ ? QM 可得 AC ? BD ,所以 A 正确;由于 PQ // AC 可得 AC // 截面

PQMN , 所以 C 正确; 因为 PN ? PQ , 所以 AC ? BD , 由 BD // PN , 所以 ?MPN 是异面直线 PM 与 BD PN AN MN DN 0 ? , ? 所成的角,且为 45 ,所以 D 正确;由上面可知 BD // PN , PQ // AC ,所以 ,而 BD AD AC AD AN ? DN, PN ? MN,所以 BD ? AC ,所以 B 是错误的,故选 B. 1
考点:空间直线与平面的位置关系的判定与证明. 【方法点晴】 本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明, 其中解答中涉及到直线与平面平行 的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和 解答问题的能力,属于中档试题,此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答 的关键. 12.【答案】A 【解析】解:函数 f(x)=3 当 x≥0 时,f(x)=3 ∵此时 y=3
1+x 1+x 1+|x|



为偶函数,

﹣ 为减函数,

为增函数,y=

∴当 x≥0 时,f(x)为增函数, 则当 x≤0 时,f(x)为减函数, ∵f(x)>f(2x﹣1),

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∴|x|>|2x﹣1|, ∴x2>(2x﹣1)2, 解得:x∈ 故选:A. 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数的奇偶性,函数的单调性,难度中档. ,

二、填空题
13.【答案】 4 .

【解析】解:由题意得 f′(1)=3,且 f(1)=3×1﹣2=1 所以 f(1)+f′(1)=3+1=4. 故答案为 4. 【点评】本题主要考查导数的几何意义,要注意分清 f(a)与 f′(a). 14.【答案】 【解析】

1 2

考 点:三角函数图象与性质,函数导数与不等式. 【思路点晴】本题主要考查两个知识点:三角函数图象与性质,函数导数与不等式.三角函数的极值点,也就 是最大值、最小值的位置,所以两个极值点之间为半周期,由此求得周期和 ? ,再结合极值点的导数等于零, 可求出 ? .在求 ? 的过程中, 由于题目没有给定它的取值范围, 需要用 f ? ? 就可以求出 f ? ? .1 15.【答案】10 【解析】

?3? ? ? 0 来验证.求出 f ? x ? 表达式后, ?2?

?1? ?3?

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【分析】先配方为圆的标准方程再画出图形,设 z=x﹣2y,再利用 z 的几何意义求最值,只需求出直线 z=x﹣ 2y 过图形上的点 A 的坐标,即可求解. 2 2 2 2 【解答】解:方程 x +y ﹣2x+4y=0 可化为(x﹣1) +(y+2) =5, 即圆心为(1,﹣2),半径为 的圆,(如图)

设 z=x﹣2y,将 z 看做斜率为 的直线 z=x﹣2y 在 y 轴上的截距, 经平移直线知:当直线 z=x﹣2y 经过点 A(2,﹣4)时,z 最大, 最大值为:10. 故答案为:10. 16.【答案】 {1,﹣1} .

【解析】解:合 M={x||x|≤2,x∈R}={x|﹣2≤x≤2}, N={x∈R|(x﹣3)lnx2=0}={3,﹣1,1}, 则 M∩N={1,﹣1}, 故答案为:{1,﹣1}, 【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 17.【答案】 ?

1 2

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点:函数极值 【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略 (1)知图判断函数极值的情况.先找导数为 0 的点,再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号. (2)已知函数求极值.求 f′(x)―→求方程 f′(x)=0 的根―→列表检验 f′(x)在 f′(x)=0 的根的附近两侧 的符号―→下结论. (3)已知极值求参数.若函数 f(x)在点(x0,y0)处取得极值,则 f′(x0)=0,且在该点左、右两侧的导数 值符号相反. 18.【答案】A 【 解 析 】

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)8 =2﹣1+1﹣(3﹣e) =e﹣ . (2) lg25+lg2﹣log29×log32 = = =1﹣2=﹣1.…(6 分) +(﹣ )0﹣

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【点评】本题考查指数式、对数式化简求值,是基础题,解题时要认真审题,注意对数、指数性质及运算法则 的合理运用. 20.【答案】(1) a ? 0.3 ;(2) 3.6 万;(3) 2.9 . 【解析】

(3)由图可得月均用水量不低于 2.5 吨的频率为:

0.5? ? 0.08 ? 0.16 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.52? ? 0.73 ? 85% ;
月均用水量低于 3 吨的频率为:

0.5? ? 0.08 ? 0.16 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.52 ? 0.3? ? 0.88 ? 85% ; 0.85 ? 0.73 ? 2.9 吨.1 则 x ? 2.5 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.5
考点:频率分布直方图. 21.【答案】

【解析】解:(1)∵﹣1,1 是函数 y=f(x)的零点,∴ (2)∵f(1)=1+2b+c=0,所以 c=﹣1﹣2b. 令 g(x)=f(x)+x+b=x2+(2b+1)x+b+c=x2+(2b+1)x﹣b﹣1,

,解得 b=0,c=﹣1.

∵关于 x 的方程 f(x)+x+b=0 的两个实数根分别在区间(﹣3,﹣2),(0,1)内,

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,即

.解得 <b< ,

即实数 b 的取值范围为( , ). 【点评】本题考查了二次函数根与系数得关系,零点的存在性定理,属于中档题. 22.【答案】 【解析】【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识, 考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等.

(2)在 △EAD 中, EA ? ED ? 3 , AD ? 2 ,

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23.【答案】 【解析】解:(1)由题意得 e= 解得 a= ,b=c=1 =1; =
2 2 2 2 ,a =2b,a ﹣b =c ,

2 故椭圆的方程为 x +

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 线段 AB 的中点为 M(x0,y0). 联立直线 y=x+m 与椭圆的方程得,
2 2 即 3x +2mx+m ﹣2=0, 2 2 2 △=(2m) ﹣4×3×(m ﹣2)>0,即 m <3,

x1+x2=﹣ 所以 x0= 即 M(﹣ 可得(﹣

, =﹣ ,
)2+( 2

,y0=x0+m=



2 2 ).又因为 M 点在圆 x +y =5 上, 2 ) =5,

解得 m=±3 与 m <3 矛盾.

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故实数 m 不存在. 【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用离心率公式,考查直线和椭圆方程联立,运用韦达定理和中点 坐标公式,考查存在性问题的解法,属于中档题. 24.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由直线 l : x ? my ? 1经过点 F 1 得c ?1, 当 m ? 0 时,直线 l 与 x 轴垂直, | MF1 |?

b2 2 , ? a 2

?c ? 1 ? x2 ?a ? 2 ? C ? y 2 ? 1. (4 分) 由 ? b2 解得 ,∴椭圆 的方程为 ? 2 2 ? ?b ? 1 ? ? 2 ?a S?MF1F2 | MF1 | y1 (Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , y1 ? 0, y2 ? 0 ,由 MF1 / / NF2 知 ? ? ? 3. S?NF1F2 | NF2 | y2
? x ? my ? 1 m ? 2(m2 ? 1) ? 2 2 联立方程 ? x 2 ,消去 得 ,解得 ( m ? 2) y ? 2 my ? 1 ? 0 y ? x 2 m2 ? 2 ? ? y ?1 ?2
∴ y1 ? 由

m ? 2(m2 ? 1) ?m ? 2(m2 ? 1) ,同样可求得 , (11 分) y ? 2 m2 ? 2 m2 ? 2

m ? 2(m2 ? 1) ?m ? 2(m2 ? 1) y1 ? 3 得 y1 ? 3 y2 ,∴ ,解得 m ? 1 , ? 3 ? y2 m2 ? 2 m2 ? 2

直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 . (13 分)

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