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高中数学北师大版必修一课件:第二章 2.2 函数的表示法(一)_图文

第二章 § 2 对函数的进一步认识 2.2 函数的表示法(一) 学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点. 2.掌握求函数解析式的常见方法. 3.尝试作图并从图像上获取有用的信息. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 解析法 思考 一次函数如何表示? 答案 y=kx+b(k≠0). 答案 梳理 一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式 ( 简称解析式 ) 表示出 来,这种方法称为解析法. 知识点二 图像法 思考 要知道林黛玉长什么样,你觉得一个字的描述和一张二寸照片 哪个更直观? 答案 一张二寸照片. 答案 梳理 用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法,称为图像法. 知识点三 列表法 思考 在街头随机找 100 人,请他们依次随意地写一个数字 . 设找的人 序号为x,x=1,2,3,…,100.第x个人写下的数字为y,则x与y之 间是不是函数关系?能否用解析式表示? 答案 对于任意一个人的序号 x,都有一个他写的数字y与之对 应,故 x, y之间是函数关系,但因为人是随机找的,数字是随 意写的,故难以用解析式表示 . 这时可以制作一个表格来表示 x 的值与y的值之间的对应关系. 答案 梳理 用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法,称为列表法. 函数三种表示法的优缺点: 题型探究 类型一 解析式的求法 例1 根据下列条件,求f(x)的解析式. (1)f(f(x))=2x-1,其中f(x)为一次函数; 解 由题意,设f(x)=ax+b(a≠0), ∵f(f(x))=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=2x-1, 2 ? a ? =2, 由恒等式性质,得? ? ?ab+b=-1, ? ? ?a= 2, ?a=- 2, ∴? 或? ? ? ?b=1- 2 ?b=1+ 2. ∴所求函数解析式为 f(x)= 2x+1- 2或 f(x)=- 2x+1+ 2. 解答 1 1 2 (2)f(x+x )=x +x2; 解 1 1 12 2 ∵f(x+ x)=x +x2=(x+x ) -2, ∴f(x)=x2-2. 1 1 又 x≠0,∴x+ x≥2 或 x+ x ≤-2, 1 1 ∴f(x)中的 x 与 f(x+x )中的 x+x 取值范围相同, ∴f(x)=x2-2,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞). 解答 (3)f(x)+2f(-x)=x2+2x. 解 ∵f(x)+2f(-x)=x2+2x, 将x换成-x,得f(-x)+2f(x)=x2-2x, ∴联立以上两式消去f(-x),得3f(x)=x2-6x, 1 2 ∴f(x)=3x -2x. 解答 反思与感悟 (1)如果已知函数类型,可以用待定系数法. (2)如果已知f(g(x))的表达式,想求f(x)的解析式,可以设 t=g(x),然后 把f(g(x))中每一个x都换成t的表达式. (3)如果条件是一个关于f(x)、f(-x)的方程,我们可以用x的任意性进行赋 值.如把每一个x换成-x,其目的是再得到一个关于f(x)、f(-x)的方程, 然后消元消去f(-x). 跟踪训练1 根据下列条件,求f(x)的解析式. (1)f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9; 解 由题意,设f(x)=ax+b(a≠0), ∵3f(x+1)-f(x)=2x+9, ∴3a(x+1)+3b-ax-b=2x+9, 即2ax+3a+2b=2x+9, ? ? 2 a =2 , 由恒等式性质,得? ? ?3a+2b=9, ∴a=1,b=3. ∴所求函数解析式为f(x)=x+3. 解答 (2)f(x+1)=x2+4x+1; 解 设x+1=t,则x=t-1, f(t)=(t-1)2+4(t-1)+1, 即f(t)=t2+2t-2. ∴所求函数解析式为f(x)=x2+2x-2. 解答 1 (3)2f(x )+f(x)=x(x≠0). 1 1 解 ∵f(x)+2f(x)=x,将原式中的 x 与 x互换, 1 1 得 f(x )+2f(x)= x. ? ?f?x?+2f?1?=x, ? x 于是得关于 f(x)的方程组? 1 ? 1 f?x?+2f?x?=x, ? ? 2 x 解得 f(x)=3x-3(x≠0). 解答 类型二 图像的画法及应用 命题角度1 画函数图像 例2 试画出函数y= 1-x2 的图像. 解 由1-x2≥0解得函数定义域为[-1,1]. 当x=±1时,y有最小值0.当x=0时,y有最大值1. 1 3 x=± 时, y = . 2 2 利用以上五点描点连线, 即得函数 y= 1-x2的图像如右: 解答 反思与感悟 描点法作函数图像的三个关注点 (1)画出函数图像时首先应关注函数的定义域,即在定义域内作图. (2)图像是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像. (3)要标出某些关键点,例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要 分清这些关键点是实心点还是空心点. 跟踪训练2 作出下列函数的图像并求出其值域. (1)y=2x+1,x∈[0,2]; 解 x y 列表: 0 1 1 2 1 3 3 2 2 5 2 4 当x∈[0,2]时,图像是直线的一部分, 观察图像可知,其值域为[1,5]. 解答 (2)y= 2 ,x∈[2,+∞); x 解 列表: x y 2 1 3 2 3 4 1 2 5 2 5 … … 当x∈[2,+∞)时,图像是反比例函数y= 2 的一部 x 分,观察图像可知其值域为(0,1]. 解答 (3)y=x2+2x,x∈[-2,2]. 解 x y 列表: -2 0 -1 -1 0 0 1 3 2 8 图像是抛物线y=x2+2x在-2≤x≤2之间的部分. 由图可得函数的值域是[-1,8]. 解答 命题

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