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2011年高考数学理一轮复习 4-1角的概念及任意角的三角函数 精品课件


第四章 三角函数

第一节 角的概念及任意角的三角函数

知识自主· 梳理

1.了解任意角的概念、弧度的意义. 最 2.能正确地进行弧度与角度的换算. 新 3.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义. 考 4.了解余切、正割、余割的定义. 纲 高 考 热 点 1.以选择题或填空题的形式考查任意角的三角 函数的定义、三角函数值在各象限内的符号、 1 半角或 角所处的象限等问题. n 2.以集合的交、并、补的计算为载体,考查角 的关系.

1.任意角的三角函数定义 设 α 是一个任意大小的角. α 的终边上任意一点 P(x, 角 y),它与原点的距离为 r(r>0),那么角 α 的正弦、余弦、正 切、余切、正割、余割分别是:sinα= = ,cotα= ,secα= ,cscα= ,cosα= ,tanα

,它们都是以角为自

变量 ,以比值为函数值的函数,这六个函数统称为三角函
数.

2.三角函数的定义域
y=sinx,x∈R ,y=cosx,x ∈R ,

y=tanx,
y=cotx, {x|x≠kπ,k∈Z} .



3.三角函数值的符号
三、四 象限为负 象限为正, 正切余切 一、三 象限为正,二、四 象限为负 正弦余割一、二 二、三 象限为负 余弦正割 一、四 象限为正,

重点 辨析

引入弧度制后,角的表示要么采用弧度 制,要么采用角度制,两者不可混用.如,α π =2kπ+60° α=k· + 等都不对. 或 360° 3

方法规律· 归纳

题型一 思维提示

角的概念问题 ①角度与弧度的互化 ②终边相同角的表示

3 7 例 1 设角 α1=-570° 2=750° 1= π,β2=- π. ,α ,β 5 3 (1)将 α1,α2 用弧度制表示出来,并指出它们各自所在的 象限; (2)将 β1,β2 用角度制表示出来,并在-720° ~0° 之间找 出与它们有相同终边的所有角.

[分析] 法求解.

利用角度与弧度的关系及终边相同角的表示方

3 3 (2)∵β1= π= ×180° =108° , 5 5 设 θ=k· +β1(k∈Z), 360° 由-720° ≤θ<0° , ∴-720° 360° ≤k· +108° <0° , ∴k=-2 或 k=-1, ∴在-720° ~0° 之间与 β1 有相同终边的角是-612° 和- 252° . 同理 β2=-420° ,在-720° ~0° 之间与 β2 有相同终边的 角是-60° .

[规律总结]

迅速进行角度和弧度的互化,准确判明角

所在的象限是学习三角函数知识必备的基本功.涉及到角度

和弧度互化关系和终边相同角的问题,基本公式180°=πrad
在解题中起关键作用.若要确定一个绝对值较大的角所在的 象限,一般是先将角化成2kπ+α(0<α<2π)(k∈Z)的形式,然 后再根据α所在的象限予以判断,这里要特别注意是π的偶数 倍,而不是π的整数倍.若要求出在某一特定范围内的某种

特殊的角,通常可像本例一样化为解不等式去求出对应的k
值.

备选例题1已知α=-1998°.

(1)把α写成2kπ+β(k∈Z,β∈[0,2π))的形式;
(2)求与α终边相同的角θ∈(-2π,0].

解:(1)由题意,角度应转换成弧度制, 9 α=-1998° =-6×360° +162° =-12π+ π, 10 9 在这里 k=-6,β= π. 10 9 9 (2)由于角 α 终边与 π 角终边相同,即求与 π 角终边 10 10 相同的角 θ. 9π 令 θ=2kπ+ (k∈Z),且 θ∈(-2π,0], 10 11 可得 θ=- π. 10

题型二

倍角、半角所在的象限问题

思维提示

①利用终边相同角的表达式 ②借助坐标系等分象限

α 例 2 已知 α 为第一象限角,试确定 是第几象限角. 2

当 k=2n 时, α π 2nπ< <2nπ+ , 2 4 α 所以 为第一象限角; 2 α 5 当 k=2n+1 时,2nπ+π< <2nπ+ π, 2 4 α 所以 为第三象限角, 2 α 以上各式均有 k∈Z,n∈Z,所以 为第一、三象限角. 2

解法二:将单位圆平均分成 2×4=8 份(如图所示), 按一、二、三、四且是逆时针顺序标号,得到的“一”所在 α α 的阴影部分所示的象限,就是 所在象限,即 为第一、三象 2 2 限角.

[规律总结] 利用终边相同角的表示,可以由角 α 所在 α α α 的象限,判断 , , 等所在的象限,常用以下两种方法: 2 3 4 (1)方法一(范围限定法):将 α 的范围用式子表示出来, α α α 然后求出 , , 等角的范围.根据此范围进行判断,此时 2 3 4 需要进行分类讨论. (2)方法二(图示法):把直角坐标系中的各个象限依次进 行二等分、三等分、四等分,从 x 轴右上方开始按逆时针将 各区域依次标上 1,2,3,4;1,2,3,4;?,α 是第几象限角就找 α α α 数字几,其对应的位置就是 , , ,?所在的象限. 2 3 4

备选例题 2 已知 α 为第三象限角,试判断: α (1)2α, 分别是第几象限角? 2 α sin 2 (2) 的符号. α cos 2

3π 解:∵α 为第三象限角,∴π+2kπ<α< +2kπ(k∈Z). 2 (1)①2π+4kπ<2α<3π+4kπ, ∴2α 是第一象限或第二象限的角或角的终边在 y 轴的非 负半轴上. π α 3π ② +kπ< < +kπ(k∈Z). 2 2 4 π α 3π 当 k=2n(n∈Z)时, +2nπ< < +2nπ, 2 2 4 3 α 7 当 k=2n+1(n∈Z)时, π+2nπ< < π+2nπ 2 2 4 α ∴ 是第二象限角或第四象限角. 2

α (2)由(1)知,若 是第二象限角, 2 α sin 2 α α 则 sin >0,cos <0, <0; 2 2 α cos 2 α sin 2 α α α 若 是第四象限角,则 sin <0,cos >0, <0. 2 2 2 α cos 2 α sin 2 综上可知, <0. α cos 2

题型三

扇形弧长与面积问题 利用弧长公式及扇形的面积 公式

思维提示

例3 已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是R. (1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的

弓形面积;
(2)若扇形的周长是一定值c(c>0),当α为多少弧度时, 该扇形有最大面积? [分析] 当涉及弧长和扇形的面积计算时,可利用的公 式有角度和弧度两种表示形式,其中弧度表示的公式结构较

简单,对于(2)应首先将扇形的面积表示成中心角α的函数.

[解]

(1)设弧长为 l,弓形的面积为 S 弓,

π ∵α=60° ,R=10, = 3 10 ∴l= π(cm), 3 ∴S 弓=S 扇-S△ 1 10 1 π 2 = × π×10- ×10 · sin 2 3 2 3 π 3 =50( - )cm2. 3 2

c (2)∵扇形周长 c=2R+l=2R+αR,∴R= , 2+α 1 2 1 c 2 ∴S 扇= α· = α( R ) 2 2 2+α c2 1 = · α· 2 4+4α+α2 c2 1 c2 = · ≤ , 2 4 16 4+α+ α 4 当且仅当 α= ,即 α=2(α=-2 舍)时,扇形面积有最 α 大值.

[规律总结]

弧长和扇形的核心公式是圆周长公式 c=

1 2πr 和圆面积公式 S= · 2=πr2,当用圆心角的弧度数 α 代 2πr 2 换 2π 时,即可得到一般弧长和扇形面积公式.本例第(2)题 建立了 S 扇与 α 的函数关系后,通过基本不等式求最值,要 注意其成立的条件.

备选例题 3 解答下列各题: (1)已知扇形的周长为 10 cm,面积为 4 cm2 ,求扇形圆 心角的弧度数. (2)已知一扇形的周长为 40 cm,当它的半径和圆心角取 什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少? 2π (3)如图所示的圆中,已知圆心角∠AOB= 3 ,半径 OC 与弦 AB 垂直,垂足为 D,若 CD=a, 求 的长及其与弧 AB 所围成 的弓形 ACB 的面积.

解: (1)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0<θ<2π), 弧长为 l, 半径为 r, ?l+2r=10 ? 依题意有?1 ?2lr=4 ? 当 r=1 时,l=(8cm), 此时,θ=8rad>2πrad,舍去. 2 1 当 r=4 时,l=2(cm),此时,θ= = rad. 4 2 ① ②

①代入②得 r2-5r+4=0,解得 r1=1,r2=4.

(2)设扇形的圆心角为 θ,半径为 r,弧长为 l,面积为 S, 则 l+2r=40, ∴l=40-2r, 1 1 ∴S= lr= ×(40-2r)r=20r-r2 2 2 =-(r-10)2+100. ∴当半径 r=10(cm)时,扇形的面积最大,这个最大值 为 100(cm2), l 40-2×10 这时 θ= = =2(rad). r 10

(3)设圆的半径为 r,

2π 的长为 l,则 l= 3 r.

π ∵OA=OB,OC 与弦 AB 垂直,∴∠AOC=3, ∴△AOC 为等边三角形. ∵AD⊥OC,∴OD=CD,∴r=2CD=2a, 2π 4aπ 1 4a2π ∴l= 3 · 2a= 3 ,S 扇形 OACB=2rl= 3 , 1 1 S△AOB= AB· OD= · 3a· 2 a= 3a2. 2 2 4π ∴S 弓形 ACB=S 扇形 OACB-S△AOB=( 3 - 3)a2.

题型四

任意角的三角函数的定义 若 P(x,y)为角 α 终边上一点,

y x 思维提示 且|OP|=r>0,则 sinα=r,cosα=r, y tanα= (x≠0) x

例 4 已知角 α 的顶点在原点,始边为 x 轴的非负半 3 轴.若角 α 终边经过点 P(- 3,y)且 sinα= y(y≠0). 4 (1)判断角 α 所在的象限; (2)求 cosα 和 tanα 的值.

[解]

(1)依题意,P 到原点 O 的距离为

r=|PO|= (- 3)2+y2, y y 3 ∴sinα= = = y. r 3+y2 4 ∵y≠0,∴9+3y2=16, 7 21 ∴y2= ,y=± . 3 3 ∴点 P 在第二或第三象限. 故角 α 是第二象限角或第三象限角.

21 (2)当 α 是第二象限角时,y= , 3 x 3 cosα= =- , r 4 7 tanα=- , 3 21 当 α 是第三象限角时,y=- , 3 x 3 cosα= =- , r 4 7 tanα= . 3

[规律总结]

依据角终边上一点的坐标求角的三角函数

值时,首先确定r,然后依据三角函数定义求相应的正弦值、

余弦值、正切值,根据三角函数值符号确定角的范围时,要
熟记各个象限角三角函数值的符号及各个象限角的范围,若 题目中含有参数,要注意对参数进行分类讨论.

备选例题4 若角θ的终边与函数y=-2|x|的图象重合, 求θ的各三角函数值. 解:∵角θ的终边与函数y=-2|x|的图象重合, ∴θ为第三、四象限的角. 若θ是第三象限的角,取终边上一点P(-1,-2),

|OP|=r= 5,则 θ 角的各三角函数值分别为: y -2 2 5 x -1 5 sinθ= = =- ,cosθ= = =- , r 5 r 5 5 5 y -2 x -1 1 tanθ= = =2,cotθ= = = . x -1 y -2 2 r r 5 secθ= =- 5,cscθ= =- . x y 2 若 θ 在第四象限,可取点 P(1,-2), 2 5 5 易得 θ 的各三角函数值为:sinθ=- ,cosθ= , 5 5 1 5 tanθ=-2,cotθ=- ,secθ= 5,cscθ=- . 2 2

角的概念不清
例 对于下列命题: ①终边相同的角一定相等; ②小于90°的角都是锐角; ③若α是锐角,则2α一定是第二象限角;

④若α是锐角,则kπ+α(k∈Z)是第一、三象限角.
正确的是________.

[答案]



[解题思路] 由角的概念基础知识判断正确序号为④.

[错因分析]

象限角的概念不清和终边相同的角与相等

的角概念不清。因而错选为①②③.


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