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朝阳县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

朝阳县第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 设 i 是虚数单位,若 z=cosθ+isinθ 且对应的点位于复平面的第二象限,则 θ 位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 设函数 f(x)= A.0 B.1 C.2 D.3 x 的零点,若 x0>a,则 f(x0)的值满足( ) ,则 f(1)=( ) )

姓名__________

分数__________

3. 设 a 是函数 A.f(x0)=0 B.f(x0)<0 C.f(x0)>0

D.f(x0)的符号不确定 ), =( B. C. ) ,x)共线,则实数 x 的值为( tan35° D.tan35° )

4. 已知向量 =(1, A.1

5. 函数 f(x)=eln|x|+ 的大致图象为(

A.

B.

C.

D.

6. 已知双曲线

(a>0,b>0)的右焦点 F,直线 x= ) C.

与其渐近线交于 A,B 两点,且△ ABF 为

钝角三角形,则双曲线离心率的取值范围是( A. 7. 设集合 A ? ? x | ( ) B. 1 ? a ? 2 B.

D.

? ?

x ?3 ? ? 0? ,集合 B ? ? x | x 2 ? ? a ? 2 ? x ? 2a ? 0? ,若 A ? B ,则的取值范围 x ?1 ?
C. a ? 2 D. 1 ? a ? 2

A. a ? 1

8. 设 m、n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n;②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ; ③若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n;④若 α⊥β,m⊥β,则 m∥α; 其中正确命题的序号是( )
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精选高中模拟试卷

A.①②③④ B.①②③ C.②④
2 2

D.①③

9. 已知 a ? ?2 , 若圆 O1 :x ? y ? 2 x ? 2ay ? 8a ? 15 ? 0 , 圆 O2 :x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? a 2 ? 4a ? 4 ? 0 恒有公共点,则 a 的取值范围为( A. (?2,?1] ? [3,??) ). B. ( ? ,?1) ? (3,?? )

5 3

C. [ ? ,?1] ? [3,?? )

5 3

D. (?2,?1) ? (3,??) )

10.抛物线 E:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0,2),若线段 AF 的中点 B 在抛物线上,则|BF|=( A. B. C. D.

11.已知函数 f(x)=x4cosx+mx2+x(m∈R),若导函数 f′(x)在区间[﹣2,2]上有最大值 10,则导函数 f′(x) 在区间[﹣2,2]上的最小值为( A.﹣12 B.﹣10 C.﹣8 D.﹣6 12.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20﹣80mg/100ml(不含 80) 之间,属于酒后驾车;血液酒精浓度在 80mg/100ml(含 80)以上,属于醉酒驾车.据《法制晚报》报道,2011 年 3 月 15 日至 3 月 28 日, 全国查处酒后驾车和醉酒驾车共 28800 人, 如下图是对这 28800 人酒后驾车血液中 酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的人数约为( ) )

A.2160 B.2880 C.4320 D.8640

二、填空题
13.(若集合 A?{2,3,7},且 A 中至多有 1 个奇数,则这样的集合共有 个.

14.对于|q|<1(q 为公比)的无穷等比数列{an}(即项数是无穷项),我们定义 的前 n 项的和) 为它的各项的和, 记为 S, 即 S= Sn= , 则循环小数 0.

Sn(其中 Sn 是数列{an} 的分数形式是 .

15.等比数列{an}的前 n 项和 Sn=k1+k2·2n(k1,k2 为常数),且 a2,a3,a4-2 成等差数列,则 an=________. 16.log3 17.二项式 +lg25+lg4﹣7
0 ﹣(﹣9.8) =

. .

展开式中,仅有第五项的二项式系数最大,则其常数项为

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18. 如图, 为测量山高 MN, 选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点. 从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°, C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从 C 点测得∠MCA=60°.已知山高 BC=100m,则山高 MN= m.

三、解答题
19.斜率为 2 的直线 l 经过抛物线的 y2=8x 的焦点,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

20.函数

。定义数列

如下:

是过两点

的直线

与 轴交点的横坐标。 (1)证明: (2)求数列 ; 的通项公式。

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21.某公司春节联欢会中设一抽奖活动:在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为 1,2,3,…,10 的十个小球.活动者一次从中摸出三个小球,三球号码有且仅有两个连号的为三等奖;奖金 30 元,三球号码 都连号为二等奖,奖金 60 元;三球号码分别为 1,5,10 为一等奖,奖金 240 元;其余情况无奖金. (1)员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望; (2)员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会,他得奖次数的方差是多少?

22.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 以坐标原点为极点,以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为方程为 r = 2

ì ? x = 2 + t cos a ( t 为参数). ? y = 2 + t sin a ? (I)点 D 在曲线 C 上,且曲线 C 在点 D 处的切线与直线 x + y +2=0 垂直,求点 D 的直角坐标和曲线 C
( ? ? [0, ? ] ),直线 l 的参数方程为 í 的参数方程; (II)设直线 l 与曲线 C 有两个不同的交点,求直线 l 的斜率的取值范围.

23.已知曲线 C 的参数方程为

(y 为参数),过点 A(2,1)作平行于 θ=

的直线 l 与曲线 C 分别

交于 B,C 两点(极坐标系的极点、极轴分别与直角坐标系的原点、x 轴的正半轴重合). (Ⅰ)写出曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)求 B、C 两点间的距离.

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24.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=nan﹣n(n﹣1). (1)求证:数列{an}为等差数列,并分别求出 an 的表达式; (2)设数列 (3)设 Cn= 的前 n 项和为 Pn,求证:Pn< ; ,Tn=C1+C2+…+Cn,试比较 Tn 与 的大小.

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朝阳县第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:∵z=cosθ+isinθ 对应的点坐标为(cosθ,sinθ), 且点(cosθ,sinθ)位于复平面的第二象限, ∴ 故选:B. 【点评】本题考查复数的几何意义,考查三角函数值的符号,注意解题方法的积累,属于中档题. 2. 【答案】D 【解析】解:∵f(x)= f(1)=f[f(7)]=f(5)=3. 故选:D. 3. 【答案】C 【解析】解:作出 y=2 和 y=log
x

,∴θ 为第二象限角,



x 的函数图象,如图:

由图象可知当 x0>a 时,2 ∴f(x0)=2 故选:C. ﹣log

>log

x0,

x0>0.

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4. 【答案】B 【解析】解:∵向量 =(1, ∴x= 故选:B. 【点评】本题考查了向量的共线的条件和三角函数的化简,属于基础题. 5. 【答案】C 【解析】解:∵f(x)=e ∴f(﹣x)=e
ln|x| ln|x|

), =( =

,x)共线, = ,

=

+



f(﹣x)与 f(x)即不恒等,也不恒反, 故函数 f(x)为非奇非偶函数,其图象不关于原点对称,也不关于 y 轴对称, 可排除 A,D, 当 x→0 时,y→+∞,故排除 B 故选:C. 6. 【答案】D 【解析】解:∵函数 f(x)=(x﹣3)e ,
x x x ∴f′(x)=e +(x﹣3)e =(x﹣2)e , x +

令 f′(x)>0,
x 即(x﹣2)e >0,

∴x﹣2>0, 解得 x>2, ∴函数 f(x)的单调递增区间是(2,+∞). 故选:D. 【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的单调区间的应用问题,是基础题目.

7. 【答案】A 【解析】

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考 点:集合的包含关系的判断与应用. 【方法点晴】本题主要考查了集合的包含关系的判定与应用,其中解答中涉及到分式不等式的求解,一元二次 不等式的解法,集合的子集的相关的运算等知识点的综合考查,着重考查了转化与化归思想、分类讨论思想的 应用,以及学生的推理与运算能力,属于中档试题,本题的解答中正确求解每个不等式的解集是解答的关键. 8. 【答案】B 【解析】解:由 m、n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面: 在①中:若 m⊥α,n∥α,则由直线与平面垂直得 m⊥n,故①正确; 在②中:若 α∥β,β∥γ,则 α∥γ, ∵m⊥α,∴由直线垂直于平面的性质定理得 m⊥γ,故②正确; 在③中:若 m⊥α,n⊥α,则由直线与平面垂直的性质定理得 m∥n,故③正确; 在④中:若 α⊥β,m⊥β,则 m∥α 或 m?α,故④错误. 故选:B. 9. 【答案】C

【解析】由已知,圆 O1 的标准方程为 ( x ? 1) ? ( y ? a) ? (a ? 4) ,圆 O2 的标准方程为
2 2 2 2 2 ( x ? a) ? ( y ? a2 ) ? (a ? 2 ) a ? ?2 ,要使两圆恒有公共点,则 2 ?| O1O2 |? 2a ? 6 ,即 ,∵

5 ? a ? ?1 2 ?| a ? 1 |? 2a ? 6 ,解得 a ? 3 或 3 ,故答案选 C ?
10.【答案】D 【解析】解:依题意可知 F 坐标为( ,0) ∴B 的坐标为( ,1)代入抛物线方程得 =1,解得 p= ,

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∴抛物线准线方程为 x=﹣

, = . ,

所以点 B 到抛物线准线的距离为 则 B 到该抛物线焦点的距离为 故选 D. 11.【答案】C

3 4 【解析】解:由已知得 f′(x)=4x cosx﹣x sinx+2mx+1, 3 4 令 g(x)=4x cosx﹣x sinx+2mx 是奇函数,

由 f′(x)的最大值为 10 知:g(x)的最大值为 9,最小值为﹣9, 从而 f′(x)的最小值为﹣9+1=﹣8. 故选 C. 【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质.属于常规题,难度不大. 12.【答案】C 【解析】解:由题意及频率分布直方图的定义可知:属于醉酒驾车的频率为:(0.01+0.005)×10=0.15, 又总人数为 28800,故属于醉酒驾车的人数约为:28800×0.15=4320. 故选 C 【点评】此题考查了学生的识图及计算能力,还考查了频率分布直方图的定义,并利用定义求解问题.

二、填空题
13.【答案】 6

【解析】解:集合 A 为{2,3,7}的真子集有 7 个,奇数 3、7 都包含的有{3,7},则符合条件的有 7﹣1=6 个. 故答案为:6 【点评】本题考查集合的子集问题,属基础知识的考查. 14.【答案】 .

【解析】解:0.

=

+

+…+=

=



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故答案为:



【点评】本题考查数列的极限,考查学生的计算能力,比较基础. 15.【答案】 【解析】当 n=1 时,a1=S1=k1+2k2,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(k1+k2·2n)-(k1+k2·2n-1)=k2·2n-1, ∴k1+2k2=k2·20,即 k1+k2=0,① 又 a2,a3,a4-2 成等差数列. ∴2a3=a2+a4-2, 即 8k2=2k2+8k2-2.② 由①②联立得 k1=-1,k2=1, ∴an=2n-1. 答案:2n-1 16.【答案】 .

【解析】解:原式= +lg100﹣2﹣1= +2﹣2﹣1= , 故选: 【点评】本题考查了对数的运算性质,属于基础题. 17.【答案】 70 . 【解析】解:根据题意二项式 则 n=8, 所以二项式 Tr+1=(﹣1)rC8rx8﹣2r 令 8﹣2r=0 得 r=4
4 则其常数项为 C8 =70

展开式中,仅有第五项的二项式系数最大,

=

展开式的通项为

故答案为 70. 【点评】本题考查二项式定理的应用,涉及二项式系数的性质,要注意系数与二项式系数的区别.

18.【答案】 150

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【解析】解:在 RT△ABC 中,∠CAB=45°,BC=100m,所以 AC=100 在△AMC 中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°, 由正弦定理得, 在 RT△MNA 中,AM=100 得 MN=100 × =150m. ,因此 AM=100 m,∠MAN=60°,由 m.

m.

故答案为:150.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:设直线 l 的倾斜解为 α,则 l 与 y 轴的夹角 θ=90°﹣α, cotθ=tanα=2, ∴sinθ= |AB|= , =40.

线段 AB 的长为 40. 【点评】本题考查抛物线的焦点弦的求法,解题时要注意公式|AB|= 20.【答案】 【解析】(1)为 ,可知,直线 直线 的直线方程为 ,故点 在函数 的图像上,故由所给出的两点 的灵活运用.

斜率一定存在。故有 ,令 ,可求得

所以 下面用数学归纳法证明 当 假设 时, 时, ,满足 成立,则当 时,

21.【答案】

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3 【解析】解:(1)由题意知甲抽一次奖,基本事件总数是 C10 =120,

奖金的可能取值是 0,30,60,240, ∴一等奖的概率 P(ξ =240)= P(ξ =60)= P(ξ =30)= P(ξ =0)=1﹣ ∴变量的分布列是 ξ 0 ξ P ∴E ξ = (2)由(1)可得乙一次抽奖中奖的概率是 1﹣ 四次抽奖是相互独立的 ∴中奖次数 η ~B(4, ∴Dη =4× 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望,考查二项分布的方差公式,解本题的关键是看清题目中所 给的变量的特点,看出符合的规律,选择应用的公式. 22.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查圆的参数方程和极坐标方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识, 意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力. ) 30 60 240 , ,

=20

(Ⅱ)设直线 l : y ? k ( x ? 2) ? 2 与半圆 x ? y ? 2( y ? 0) 相切时
2 2

| 2k ? 2 | 1? k 2

? 2

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? k 2 ? 4k ? 1 ? 0 ,? k ? 2 ? 3 , k ? 2 ? 3 (舍去)
设点 B(? 2 ,0) , k AB

?

2?0 ?2? 2 , 2? 2

故直线 l 的斜率的取值范围为 (2 ? 3,2 ? 2 ] . 23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由曲线 C 的参数方程为
2 (y 为参数),消去参数 t 得,y =4x.

(Ⅱ)依题意,直线 l 的参数方程为 代入抛物线方程得 可得 ∴ ∴|BC|=|t1﹣t2|= ,t1t2=14. = ,

(t 为参数),

=8.

【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、参数的意义、弦长公式,考查了计算能力,属于基础题.

24.【答案】 【解析】解:(1)证明:∵Sn=nan﹣n(n﹣1) ∴Sn+1=(n+1)an+1﹣(n+1)n… ∴an+1=Sn+1﹣Sn=(n+1)an+1﹣nan﹣2n… ∴nan+1﹣nan﹣2n=0 ∴an+1﹣an=2, ∴{an}是以首项为 a1=1,公差为 2 的等差数列 … 由等差数列的通项公式可知:an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1, 数列{an}通项公式 an=2n﹣1;… (2)证明:由(1)可得 … = (3)∴ = , … , ,

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两式相减得 = ,



=



= = ∴ ∴
* ∵n∈N ,

, , … …

∴2 >1, ∴ ∴ , …

n

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