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2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)数系的扩充与复数的引入(含解析)

2016 届高考数学一轮复习教学案 数系的扩充与复数的引入

[知识能否忆起] 一、复数的有关概念 1. 复数的概念: 形如 a+bi(a, b∈R)的数叫复数, 其中 a, b 分别是它的实部和虚部. 若

b=0,则 a+bi 为实数;若 b≠0,则 a+bi 为虚数;若 a=0,b≠0,则 a+bi 为纯虚数.
2.复数相等:a+bi=c+di?a=c,b=d(a,b,c,d∈R). 3.共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?a=c,b+d=0(a,b,c,d∈R). 4.复数的模:向量 OZ―→的长度叫做复数 z=a+bi 的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a +bi|=

a2+b2.

二、复数的几何意义 复数 z=a+bi―→复平面内的点 Z(a,b)―→平面向量 OZ . 三、复数的运算 1.复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则: (1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; (2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; (3)乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; (4)除法: =

z1 a+bi z2 c+di



a+b c+d

c-d c-d
(c+di≠0).



ac+bd + bc-ad c2+d2

2.复数加法、乘法的运算律 对任意 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3);z1·z2=z2·z1,

(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. [小题能否全取] 1.(教材习题改编)已知 a∈R,i 为虚数单位,若(1-2i)(a+i)为纯虚数,则 a 的值等于 ( ) A.-6 C.2 B.-2 D.6

解析: 选 B 由(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i 是纯虚数, 得?

? ?a+2=0, ?1-2a≠0, ?

由此解得

a=-2.
2.(2011·湖南高考)若 a,b∈R,i 为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则( A.a=1,b=1 C.a=-1,b=-1 B.a=-1,b=1 D.a=1,b=-1 )

解析:选 D 由(a+i)i=b+i,得-1+ai=b+i,根据两复数相等的充要条件得 a=1,

b=-1.
5+3i 3.(2012·天津高考)i 是虚数单位,复数 =( 4 -i A.1-i C.1+i 解析:选 C 5+3i = 4-i + - B.-1+i D.-1-i + + 20+5i+12i+3i2 17+17i = = =1+i. 16-i2 17 )

4.若复数 z 满足 =2i,则 z 对应的点位于第________象限. 1+i 解析:z=2i(1+i)=-2+2i,因此 z 对应的点为(-2,2),在第二象限内. 答案:二 3+i 5.若复数 z 满足 z+i= ,则|z|=________. i

z

3+i 解析:因为 z= -i=1-3i-i=1-4i,则|z|= i 答案: 17

17.

1.复数的几何意义 除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外,还要注意 (1)|z|=|z-0|=a(a>0)表示复数 z 对应的点到原点的距离为 a; (2)|z-z0|表示复数 z 对应的点与复数 z0 对应的点之间的距离. 2.复数中的解题策略 (1)证明复数是实数的策略:①z=a+bi∈R?b=0(a,b∈R);②z∈R?z= z . (2)证明复数是纯虚数的策略:①z=a+bi 为纯虚数?a=0,b≠0(a,b∈R); ②b≠0 时,z- z =2bi 为纯虚数;③z 是纯虚数?z+ z =0 且 z≠0.

复数的有关概念

典题导入 [例 1] (1)(2012·陕西高考)设 a,b∈R,i 是虚数单位,则“ab=0”是“复数 a+ 为 i 纯虚数”的( )

b

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

2-bi (2)(2012·郑州质检)如果复数 (其中 i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相 1+2i 反数,那么 b 等于( 2 A.- 3 C. 2 ) 2 B. 3 D.2

[自主解答] (1)若复数 a+ =a-bi 为纯虚数,则 a=0,b≠0,ab=0;而 ab=0 时 i

b

b b a=0 或 b=0,a+ 不一定是纯虚数,故“ab=0”是“复数 a+ 为纯虚数”的必要不充
i i 分条件. 2-bi (2) = 1+2i -b + - - = -2b - 5 +b ,

2 依题意有 2-2b=4+b,解得 b=- . 3 [答案] (1)B (2)A 由题悟法 处理有关复数的基本概念问题,关键是找准复数的实部和虚部,从定义出发,把复数问 题转化成实数问题来处理.由于复数 z=a+bi(a,b∈R)由它的实部与虚部唯一确定,故复 数 z 与点 Z(a,b)相对应. 以题试法 1.(2012·东北模拟)已知 =1-yi,其中 x,y 是实数,i 是虚数单位,则 x+yi 的共 1+i 轭复数为( A.1+2i C.2+i 解析:选 D ) B.1-2i D.2-i 依题意得 x = (1 + i)(1 - yi) = (1 + y) + (1 - y)i ;又 x , y ∈ R,于是有

x

? ?x=1+y, ? 解得 x=2,y=1. ?1-y=0, ?
x+yi=2+i,因此 x+yi 的共轭复数是 2-i.

复数的几何意义

典题导入 2-i [例 2] (2012·山西四校联考)已知复数 z 的实部为-1, 虚部为 2, 则 (i 为虚部单位)

z

在复平面内对应的点所在的象限为( A.第一象限 C.第三象限 [自主解答] 选 C 依题意得

) B.第二象限 D.第四象限

2-i 2-i = = z -1+2i

- -1+

-1- -1-



-4-3i ,因 5

? 4 3? 此该复数在复平面内对应的点的坐标是?- ,- ?,位于第三象限. 5? ? 5
由题悟法 复数与复平面内的点是一一对应的, 复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应 的, 因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解, 利用平行四边形法则或三角形法 则解决问题.

以题试法 2.(1)在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点分别为 A,B,若 C 为线段 AB 的中 点,则点 C 对应的复数是( A.4+8i C.2+4i ) B.8+2i D.4+i

(2)(2012·连云港模拟)已知复数 z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上 对应的点分别为 A,B,C,若 OC =λ OA +μ OB ,(λ ,μ ∈R),则 λ +μ 的值是________. 解析:(1)复数 6+5i 对应的点为 A(6,5),复数-2+3i 对应的点为 B(-2,3).利用中点 坐标公式得线段 AB 的中点 C(2,4),故点 C 对应的复数为 2+4i. (2)由条件得 OC =(3,-4), OA =(-1,2), OB =(1,-1), 根据 OC =λ OA +μ OB 得 (3,-4)=λ (-1,2)+μ (1,-1)=(-λ +μ ,2λ -μ ),

? ?-λ +μ =3, ∴? ?2λ -μ =-4, ?
∴λ +μ =1. 答案:(1)C (2)1

? ?λ =-1, 解得? ?μ =2. ?

复数的代数运算

典题导入 [例 3] (1)(2012·山东高考)若复数 z 满足 z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位), 则 z 为( A.3+5i C.-3+5i i2+i3+i4 (2)(2011·重庆高考)复数 =( 1-i 1 1 A.- - i 2 2 1 1 C. - i 2 2 11+7i [自主解答] (1)z= = 2-i + - B.3-5i D.-3-5i ) 1 1 B.- + i 2 2 1 1 D. + i 2 2 + + 15+25i = =3+5i. 5 )

i2+i3+i4 - (2) = 1-i = - - + + (2)C

+ - 1-i

+1 -i = 1-i

1-i 1 1 = = - i. 2 2 2

[答案] (1)A

由题悟法 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法运算是分子分母同乘以分 母的共轭复数,注意要把 i 的幂写成最简形式. 2.记住以下结论,可提高运算速度: 1+i 1 -i a+bi ①(1±i)2=±2i;② =i;③ =-i;④ =b-ai;⑤i4n=1,i4n+1=i,i4n+2 1-i 1 +i i =-1,i4n+3=-i(n∈N). 以题试法

3. (1)(2012·山西四校联考)设复数 z 的共轭复数为 z , 若 z=1-i(i 为虚数单位), 则 +z2 的值为( A.-3i C.i (2)i 为虚数单位,? ) B.-2i D.-i

z z

?1+i? ?4=________. 1 - i ? ?
z
+z2=
2

解析:(1)依题意得

z

1+i -i2+i 2 +(1-i) = -2i=i-2i=-i. 1-i 1-i

(2)?

?1+i? ? ?4=? 1 - i ? ? ?

+ 2

? ?4=i4=1. ?

答案:(1)D (2)1

1.(2012·江西高考)若复数 z=1+i(i 为虚数单位), z 是 z 的共轭复数,则 z2+ z 2 的 虚部为( A.0 C.1 ) B.-1 D.-2

解析: 选 A ∵z=1+i, ∴ z =1-i, ∴z2+ z 2=(z+ z )2-2z z =4-4=0, ∴z2+ z
2 的虚部为

0. 对应的点的坐标为( 3+i 10i )

2.(2012·北京高考)在复平面内,复数 A.(1,3) C.(-1,3) 10i 解析:选 A 由 = 3+i (1,3).

B.(3,1) D.(3,-1) - + - = + 10 =1+3i 得,该复数对应的点为

3. (2012·长春调研)若复数(a+i)2 在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上, 则实数 a 的值 是( ) A.1 C. 2 B.-1 D.- 2

解析:选 B 因为复数(a+i)2=(a2-1)+2ai,所以其在复平面内对应的点的坐标是(a2

?a2-1=0, ? -1,2a),又因为该点在 y 轴负半轴上,所以有? 解得 a=-1. ? ?2a<0,
+ - 5 B.- 2 +
2

4.(2013·萍乡模拟)复数 5 A. 2

等于(

)

5 C. i 2 解析:选 B + -

5 D.- i 2 +
2



2+4i+i+2i2 5i 5 = =- . -2i -2i 2 1 ,则|z|+ =( 1-2i z 2 +i )

5.(2012·河南三市调研)已知 i 为虚数单位,复数 z= A.i C.1+i B.1-i D.-i - 1-2i

2+i -2i2+i 解析:选 B 由已知得 z= = = 1-2i 1-2i

1 1 =i,|z|+ =|i|+ =1-i. z i

6.(2012·安徽名校模拟)设复数 z 的共轭复数为 z ,若(2+i)z=3-i,则 z· z 的值为 ( ) A.1 C. 2 B.2 D.4

解析:选 B 设 z=a+bi(a,b∈R),代入(2+i)z=3-i,得(2a-b)+(2b+a)i=3-i, 从而可得 a=1,b=-1,那么 z· z =(1-i)(1+i)=2.

? 1 7.(2013·长沙模拟)已知集合 M=?i,i2, , i ?
则集合 Z∩M 中的元素个数是( A.3 个 C.1 个 ) B.2 个 D.0 个

+ i

2

? ?,i 是虚数单位,Z 为整数集, ?

解析: 选 B 由已知得 M={i, -1, -i,2}, Z 为整数集, ∴Z∩M={-1,2}, 即集合 Z∩M 中有 2 个元素. 8. 定义: 若 z2=a+bi(a, b∈R, i 为虚数单位), 则称复数 z 是复数 a+bi 的平方根. 根 据定义,则复数-3+4i 的平方根是( A.1-2i 或-1+2i )

B.1+2i 或-1-2i

C.-7-24i

D.7+24i

解析:选 B

设(x+yi)2=-3+4i(x,y∈R),则

? ?x2-y2=-3, ? ?xy=2, ?

解得?

?x=1, ? ? ?y=2,

或?

?x=-1, ? ? ?y=-2.

9.在复平面内,复数 1+i 与-1+3i 分别对应向量 OA 和 OB ,其中 O 为坐标原点, 则| AB |=________. 解析:由题意知 A(1,1),B(-1,3), 故| AB |= 答案:2 2 -1-
2+



2=2

2.

10.已知复数 z=1-i,则

z2-2z z-1

=________. 1 i =(-i)- =-i- =-2i. z-1 -i -i·i 1

解析:

z2-2z z-1



z-1 z-1

2-1

=z-1-

答案:-2i 11.设复数 z 满足|z|=5 且(3+4i)z 是纯虚数,则 z =________. 解析:设 z=a+bi(a,b∈R),则有 于是(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i.

a2+b2=5.

?3a-4b=0 ? 由题设得? ? ?4a+3b≠0

?a=4, ?3 ? 3 ? 得 b= a 代入得 a2+? a?2=25 ,a=±4,∴ ? 4 ?4 ? ? ?b=3



? ?a=-4, ? ?b=-3. ?
∴ z =4-3i 或 z =-4+3i.

答案:±(4-3i) 12. -1+ i3 -1+ i3 + =________. + -3+i = =-1-3i. -i

解析:

答案:-1-3i 13.(2011·上海高考改编)已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚部为 2,且 z1·z2 是实数,则 z2=________. 解析:(z1-2)(1+i)=1-i?z1=2-i. 设 z2=a+2i,a∈R. 则 z1·z2=(2-i)(a+2i) =(2a+2)+(4-a)i. ∵z1·z2∈R,∴a=4.∴z2=4+2i. 答案:4+2i 14.若复数 z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则 1 的虚部为________.

z+a

解析:由题意得?

? ?a2-1=0, ?a+1≠0, ?

所以 a=1,所以

= z+a 1+2i

1



1

1-2i + -



1 2 1 2 - i,根据虚部的概念,可得 的虚部为- . 5 5 z+a 5 2 答案:- 5

? ?1+x,x∈R, 1.(2012·山东日照一模)在复数集 C 上的函数 f(x)满足 f(x)=? ? - x,x?R, ?
f(1+i)等于(
)



A.2+i C.0

B.-2 D.2

解析:选 D ∵1+i?R,∴f(1+i)=(1-i)(1+i)=2. 2.已知 i 为虚数单位,a 为实数,复数 z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为 M,则 1 “a> ”是“点 M 在第四象限”的( 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 C z=(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i,若其对应的点在第四象限,则 a+ 1 1 2>0,且 1-2a<0,解得 a> .即“a> ”是“点 M 在第四象限”的充要条件. 2 2 3.已知复数 z=x+yi(x,y∈R),且|z-2|= 解析:|z-2|= ∴(x-2)2+y2=3. 由图可知? ?max= 3,则 的最大值为________. )

y x

x-

2+y2=

3,

?y? ?x?
3

3 = 1

3.

答案:

4.复数 z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i,与复数 12+16i 互为共轭复数,则实数

m=________.
解析:根据共轭复数的定义得

? ?m2+5m+6=12, ? ?m2-2m-15=-16. ?
答案:1

解之得 m=1.

5.已知 z 是复数,z+2i,

均为实数(i 为虚数单位),且复数(z+ai)2 在复平面上对 2 -i

z

应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围. 解:设 z=x+yi(x,y∈R), 则 z+2i=x+(y+2)i,由题意得 y=-2.

z x-2i 1 ∵ = = (x-2i)(2+i) 2-i 2-i 5
1 1 = (2x+2)+ (x-4)i. 5 5 由题意得 x=4,∴z=4-2i. ∴(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i. 由于(z+ai)2 在复平面上对应的点在第一象限,

? ?12+4a-a2>0, ∴? , ? a- ?

解得 2<a<6.

∴实数 a 的取值范围是(2,6). 1 6.设 z 是虚数,ω =z+ ,且-1<ω <2.

z

(1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围; 1 -z (2)设 u= ,求证:u 为纯虚数. 1+z 解:(1)设 z=a+bi(a,b∈R,b≠0), ω =a+bi+

?+?b- 2 2?i, =?a+ a +b ? a+bi ? a2+b2? ?
b a2+b2
=0.

1

?

a

? ?

b

?

∵ω 是实数,∴b-

又 b≠0,∴a2+b2=1.∴|z|=1,ω =2a.

1 ∵-1<ω <2,∴- <a<1, 2

? 1 ? 即 z 的实部的取值范围是?- ,1?. ? 2 ?
1-z 1-a-bi 1-a2-b2-2bi b (2)u= = = =- i. 1+z 1+a+bi +a 2+b2 a+1 1 ∵- <a<1,b≠0,∴u 为纯虚数. 2

1.已知 A.-1 C.2

a+2i
i

=b+i(a,b∈R),其中 i 为虚数单位,则 a+b=( B.1 D.3

)

解析:选 B 则 a+b=1.

a+2i
i



a+
i2

=2-ai=b+i,由复数相等的条件得 b=2,a=-1,

2.对任意复数 z=x+yi(x,y∈R),i 为虚数单位,则下列结论正确的是( A.|z- z |=2y C.|z- z |≥2x B.z2=x2+y2 D.|z|≤|x|+|y|

)

解析:选 D ∵z- z =2yi,∴|z- z |=2|y|,选项 A、C 错误;而 z2=(x+yi)2=x2-

y2+2xyi,选项 B 错误;而|z|= x2+y2,|z|2=x2+y2,(|x|+|y|)2=x2+y2+2|xy|≥x2+y2,
因此|z|≤|x|+|y|. 3.已知虚数 z,使得 z1= 和 z2= 都为实数,求 z. 1+z2 1+z 解:设 z=x+yi(x,y∈R,且 y≠0),则

z

z2

x x2+y2+ +y -x2-y2 z2=x2-y2+2xyi,∴z1= x2-y2+ 2+4x2y2



∵z1∈R,又 y≠0,∴x2+y2=1,

1 x=- , ? ? 2 同理,由 z ∈R 得 x +2x+y =0,解得? 3 y =± ? ? 2.
2 2 2

1 3 ∴z=- ± i. 2 2

三角函数、 解三角形 平面向量、 数系的扩充与复数的引入

一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) -3+i 1.(2012·新课标全国卷)复数 z= 的共轭复数是( 2+i A.2+i C.-1+i -3+i -3+ 解析:选 D z= = 2+i + B.2-i D.-1-i - - =-1+i,所以 z =-1-i. )

? π ? 4 2.(2012·潍坊模拟)已知 x∈?- ,0?,cos x= ,则 tan 2x=( 5 ? 2 ?
7 A. 24 24 C. 7 7 B.- 24 24 D.- 7

)

解析:选 D 依题意得 sin x=-

3 sin x 3 1-cos2x=- ,tan x= =- ,所以 tan 2x 5 cos x 4

2tan x 24 = = =- . 2 1-tan x ? 3? 7 1-?- ?2 ? 4? 3.(2012·广州调研)设复数 z1=1-3i,z2=3-2i,则 在复平面内对应的点在(

? 3? 2×?- ? ? 4?

z1 z2

)

A.第一象限 C.第三象限

B.第二象限 D.第四象限 - - + + 9-7i z1 = ,所以 在复平面内对应的 13 z2

z1 1-3i 解析:选 D 因为 = = z2 3-2i
点为?

?9

7? ,- ?,在第四象限. 13? ?13 4.(2012·邵阳模拟)已知 a=(1,sin2x),b=(2,sin 2x),其中 x∈(0,π).若|a·b|=

|a||b|,则 tan x 的值等于( A.1 C. 3

) B.-1 D. 2 2

解析:选 A 由|a·b|=|a||b|知,

a∥b,所以 sin 2x=2sin2x,
即 2sin xcos x=2sin2x,而 x∈(0,π), 所以 sin x=cos x,tan x=1. 3 7 5.(2012·福州质检查)“cos α = ”是“cos 2α =- ”的( 5 25 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

3 9 7 3 解析:选 A ∵cos α = ,∴cos 2α =2cos2α -1=2× -1=- ,∴由 cos α = 可 5 25 25 5 7 推出 cos 2α =- . 25

7 3 7 3 由 cos 2α =- 得 cos α =± ,∴由 cos 2α =- 不能推出 cos α = . 25 5 25 5 3 7 综上,“cos α = ”是“cos 2α =- ”的充分而不必要条件. 5 25 6.若函数 f(x)=sin π A. 2 3π C. 2

x+φ
3

(φ ∈[0,2π])是偶函数,则 φ =( 2π B. 3 5π D. 3

)

φ π 解析:选 C ∵f(x)为偶函数,∴ =kπ+ (k∈Z), 3 2 3 3 ∴φ =3kπ+ π(k∈Z).又∵φ ∈[0,2π],∴φ = π. 2 2 7.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 ccos A=b,则△ABC( A.一定是锐角三角形 B.一定是钝角三角形 C.一定是直角三角形 D.一定是斜三角形 解析:选 C 在△ABC 中,因为 ccos A=b,根据余弦定理,得 c· )

b2+c2-a2
2bc

=b,故

c2=a2+b2,因此△ABC 一定是直角三角形.
8. 设点 A(2,0), B(4,2), 若点 P 在直线 AB 上, 且| AB |=2| AP |, 则点 P 的坐标为( A.(3,1) C.(3,1)或(1,-1) B.(1,-1) D.无数多个 )

解析:选 C 设 P(x,y),则由| AB |=2| AP |,得 AB =2 AP 或 AB =-2 AP .

AB =(2,2), AP =(x-2,y),即(2,2)=2(x-2,y),x=3,y=1,P(3,1),或(2,2)
=-2(x-2,y),x=1,y=-1,P(1,-1).

π 9.(2012·福州质检)将函数 f(x)=sin 2x(x∈R)的图象向右平移 个单位后,所得到的图 4 象对应的函数的一个单调递增区间是( )

? π ? A.?- ,0? ? 4 ? ?π 3π? C.? , ? ?2 4 ?
解析:选 B D.?

? π? B.?0, ? ? 2? ? 3π ?4
,π?

? ?

π 将函数 f(x)=sin 2x(x∈R)的图象向右平移 个单位后得到函数 g(x)= 4

? π? ? π? sin2?x- ?=-cos 2x 的图象,则函数 g(x)的单调递增区间为?kπ,kπ+ ?,k∈Z,而满 2? ? 4? ?
足条件的只有 B. 4 5 10.(2012·西安名校三检)已知 tan β = ,sin(α +β )= ,且 α ,β ∈(0,π),则 sin α 3 13 的值为( 63 A. 65 33 C. 65 ) 13 B. 65 63 33 D. 或 65 65

4 3 5 解析:选 A 依题意得 sin β = ,cos β = ;注意到 sin(α +β )= <sin β ,因此有 α 5 5 13 π π π +β > (否则, 若 α +β ≤ , 则有 0<β <α +β ≤ , 0<sin β<sin(α +β ), 这与“sin(α +β )<sin 2 2 2 12 β ”矛盾),cos(α +β )=- ,sin α =sin[(α +β )-β ]=sin(α +β )cos β -cos(α +β )sin β 13 63 = . 65 11.(2012·河南三市调研)在△ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 且 b2=a2-ac+c2,C-A=90°,则 cos Acos C=( )

1 A. 4 1 C.- 4

B.

2 4 2 4

D.-

解析:选 C 依题意得 a2+c2-b2=ac,cos B= 所以 B=60°,C+A=120°.又 C-A=90°,

a2+c2-b2
2ac

ac 1 = = .又 0°<B<180°, 2ac 2

1 1 所以 C=90°+A,A=15°,cos Acos C=cos Acos(90°+A)=- sin 2A=- sin 30° 2 2 1 =- . 4 α ·β 12.(2012·广东高考)对任意两个非零的平面向量 α 和 β ,定义 α ?β= .若两个非零 β ·β

?π π? ?n ? 的平面向量 a,b 满足 a 与 b 的夹角 θ ∈? , ?,且 a?b 和 b?a 都在集合? |n∈Z?中,则 ? 4 2? ?2 ?
a?b=(
5 A. 2 C.1 ) 3 B. 2 1 D. 2

解析:选 D a?b=

a·b |a||b|cos θ
= |b|2

b·b

|a|cos θ = ,① |b|

b·a |b||a|cos θ |b|cos θ b?a= = = .② a·a | a| 2 | a|

?π π? 2 ∵θ ∈? , ?,∴0<cos θ < . 2 ?4 2? ? 1? ①×②得(a?b)(b?a)=cos2θ ∈?0, ?. ? 2?
因为 a?b 和 b?a 都在集合? |n∈Z?中,设 a?b= , 2 ?2 ?

?n

?

n1

n2 n1n2 b?a= (n1,n2∈Z),即(a?b)·(b?a)=cos2θ = ,所以 0<n1n2<2,所以 n1,n2
2 4

n1 1 的值均为 1,故 a?b= = . 2 2
二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.△ABC 的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,已知 a=2,b=3,则 sin A =________. sin A sin A a 2 = = = . A+C sin B b 3

A+C
解析: 2 答案: 3

14.(2012·安徽高考)设向量 a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b, 则|a|=________. 解析:a+c=(1,2m)+(2,m)=(3,3m). ∵(a+c)⊥b, ∴(a+c)·b=(3,3m)·(m+1,1)=6m+3=0. 1 ∴m=- . 2 ∴a=(1,-1).∴|a|= 答案: 2 2.

15.如图, 在坡度为 15°的观礼台上, 某一列座位所在直线 AB 与旗杆所在直线 MN 共面, 在该列的第一个座位 A 和最后一个座 位 B 测得旗杆顶端 N 的仰角分别为 60°和 30°,且座位 A、B 的 距离为 10 6米,则旗杆的高度为________米.

解析:由题可知∠BAN=105°,∠BNA=30°,由正弦定理得

AN
sin 45°



10

6

sin 30°

,解得

AN=20 3(米),在 Rt△AMN 中,MN=20 3sin 60°=30(米).故旗杆的高度为 30 米.
答案:30

?π ? 16.已知函数 f(x)=2sin2? +x?- ?4 ?

3cos 2x-1,x∈R,若函数 h(x)=f(x+α )的图象

? π ? 关于点?- ,0?对称,且 α ∈(0,π),则 α 的值为________. ? 3 ? ?π ? 解 析 : ∵ f(x) = 2sin2 ? +x? - ?4 ? ? π? 2sin?2x+2α - ?. 3? ? ? π ? 2π π k+ ∵函数 h(x)的图象的对称中心为?- ,0?∴- +2α - =kπ.∴α = 3 3 2 ? 3 ?
π 又 α ∈(0,π),∴α = . 2 π 答案: 2 三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分) π ,k∈z.

? π? 3 cos 2x - 1 = 2sin ?2x- ? , ∴ h(x) = f(x + α ) = 3? ?

? π? 17.(本小题满分 10 分)(2012·广州二测)已知函数 f(x)=Asin?ω x- ?(A>0,ω >0)在 3? ?
某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为? (1)求 A 和 ω 的值;

? 5π ? 12

,2?,?

? ?11π ? ? 12

,-2?.

? ?

? π? 4 (2)已知 α ∈?0, ?,且 sin α = ,求 f(α )的值. 5 ? 2?
解:(1)∵函数 f(x)在某一周期内的图象的最高坐标为?

? 5π ? 12

,2?,

? ?

∴A=2,得函数 f(x)的周期 T=2?

?11π 5π? - ?=π, ? 12 12?

2π ∴ω = =2.

T

? π? (2)由(1)知 f(x)=2sin?2x- ?. 3? ? ? π? 4 ∵α ∈?0, ?,且 sin α = , 5 ? 2?
∴cos α = 3 1-sin2α = , 5

24 7 ∴sin 2α =2sin α cos α = ,cos 2α =cos2α -sin2α =- . 25 25

? ? π? π π? ∴f(α )=2sin?2α - ?=2?sin 2α cos -cos 2α sin ? 3? 3 3? ? ?
=2?

?24 1 7 3? ? ?=24+7 3. × + × ? 25 ?25 2 25 2 ?

? ? π? π? 18.(本小题满分 12 分)(2012·天津高考)已知函数 f(x)=sin?2x+ ?+sin?2x- ?+ 3? 3? ? ?
2cos2x-1,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期;

? π π? (2)求函数 f(x)在区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 4 4?
解:(1)f(x)=sin 2x·cos π π π π +cos 2x·sin +sin 2x·cos -cos 2x·sin +cos 2x=sin 3 3 3 3

2x+cos 2x=

? π? 2sin?2x+ ?. 4? ?

2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π. 2

? π π? ?π π? ? π? (2)因为 f(x)在区间?- , ?上是增函数,在区间? , ?上是减函数,又 f?- ?=-1, ? 4 8? ?8 4? ? 4?
f? ?= 2,f? ?=1,故函数 f(x)在区间?- , ?上的最大值为 2,最小值为-1.

?π? ? 8?

?π? ?4?

? π π? ? 4 4?

19.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足(2a -c)cos B=bcos C. (1)求角 B 的大小; (2)设 m=(sin A,cos 2A),n=(4k,1)(k>1),且 m·n 的最大值是 5,求 k 的值. 解: (1)因为(2a-c)cos B=bcos C, 所以在△ABC 中, 由正弦定理, 得(2sin A-sin C)cos

B=sin Bcos C,
所以 2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C, 即 2sin Acos B=sin A. 1 π 又在△ABC 中,sin A>0,B∈(0,π),所以 cos B= .所以 B= . 2 3 (2)因为 m=(sin A,cos 2A),n=(4k,1)(k>1), 所以 m·n=4ksin A+cos 2A=-2sin2A+4ksin A+1, 即 m·n=-2(sin A-k)2+2k2+1.

? 2π? π 又 B= ,所以 A∈?0, ?.所以 sin A∈(0,1]. 3? 3 ? ? π? 所以当 sin A=1?A= ?时,m·n 的最大值为 4k-1. 2? ?
3 又 m·n 的最大值是 5,所以 4k-1=5.所以 k= . 2 20.(本小题满分 12 分)已知复数 z1=sin 2x+ti,z2=m+(m- 单位,t,m,x∈R),且 z1=z2. (1)若 t=0 且 0<x<π,求 x 的值; 3cos 2x)i(i 为虚数

? π? 1 (2)设 t=f(x),已知当 x=α 时,t= ,试求 cos?4α + ?的值. 3? 2 ? ? ?sin 2x=m, 解:(1)因为 z1=z2,所以? ? ?t=m- 3cos 2x,

即 t=sin 2x-

3cos 2x. 3cos 2x=0,得 tan 2x= 3.

若 t=0,则 sin 2x-

π 4π 因为 0<x<π,所以 0<2x<2π,所以 2x= 或 2x= , 3 3 π 2π 所以 x= 或 x= . 6 3 (2)因为 t=f(x)=sin 2x-

? π? 3cos 2x=2sin?2x- ?, 3? ?

? π? 1 1 因为当 x=α 时,t= ,所以 2sin?2α - ?= , 3? 2 2 ? ?π ? 1 sin? -2α ?=- , 4 ?3 ? ? ? ? ?π ? ? 1? π? π? π? 所以 cos?4α + ?=cos 2?2α + ?=2cos2?2α + ?-1=2sin2? -2α ?-1=2?- ?2 3? 6? 6? ? ? ? ?3 ? ? 4?
7 -1=- . 8 21.(本小题满分 12 分)(2012·长春调研)如图,在平面直角坐 标系中,锐角 α 和钝角 β 的终边分别与单位圆交于 A,B 两点. 4 12 (1)如果 A,B 两点的纵坐标分别为 , ,求 cos α 和 sin β; 5 13 (2)在(1)的条件下,求 cos(β -α )的值; (3)已知点 C(-1, 3),求函数 f(α )= OA · OC 的值域.

4 12 解:(1)根据三角函数的定义,得 sin α = ,sin β= . 5 13 3 又 α 是锐角,所以 cos α = . 5 12 (2)由(1)知 sin β= . 13

5 因为 β 是钝角,所以 cos β =- . 13 所以 cos(β-α )=cos β cos α +sin β sin α =?-

? ?

5 ? 3 12 4 33 ?× + × = . 13? 5 13 5 65 3).

(3)由题意可知, OA =(cos α ,sin α ), OC =(-1, 所以 f(α )= OA · OC =

? π? 3sin α -cos α =2sin?α - ?, ? 6?

π π π π 因为 0<α < ,所以- <α - < , 2 6 6 3

? π? 1 3 所以- <sin?α - ?< ,从而-1<f(α )< 2 ? 6? 2
所以函数 f(α )的值域为(-1, 3).

3.

22.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边长,已知 sin A= 3cos A.

2

(1)若 a2-c2=b2-mbc,求实数 m 的值; (2)若 a= 解:(1)由 3,求△ABC 面积的最大值. 2sin A= 3cos A两边平方得 2sin2A=3cos A 即(2cos A-1)(cos A+2)

1 =0,解得 cos A= 或 cosA=-2(舍). 2 而 a2-c2=b2-mbc 可以变形为

b2+c2-a2 m
2bc

= , 2

m 1 即 cos A= = ,所以 m=1. 2 2
1 3 (2)由(1)知 cos A= ,则 sin A= . 2 2 又

b2+c2-a2 1
2bc

= , 2

所以 bc=b2+c2-a2≥2bc-a2, 即 bc≤a2.当且仅当 b=c 时等号成立. 故 S△ABC=

bc
2

sin

a2 3 3 3 A≤ · = .
2 2 4


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