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江西省临川一中高三最后一次模拟试题 数学理

江西省临川一中 2013 届高三最后一次模拟试题 数学压轴卷(理科)
卷面满分:150 分 考试时间:120 分钟 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.复数 z ? 1 ? i, 则 A.

1 3 ? i 2 2

1 ?z? z 1 3 B. ? i 2 2
2

C.

3 3 ? i 2 2

D.

3 1 ? i 2 2

? x ?3 , x ? 2 2.已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) 的值域为 M ,函数 g ( x) ? ? 的定义域为 N ,则 ?x3 , x ? 1 ?
M ?N ?
A. [0,1) B. (2, ??)
6 n

C. ?0,?? ?

D. ?0,1? ? (2,??)

3.若

C ?C
2 n

,a ?

1 2 3 x 1 n ? 0x dx ,二项式 ( a ? 3 x ) 的展开式中常数项是 2
B. ? 7 C.7 D.28
开始

A. ? 28

4.关于直线 a, b, l 以及平面 ? , ? ,下面命题中正确的是 A.若 a // ? , b // ? , 则 a // b. B.若 a // ? , b ? a, 则 b ? ? . C.若 a ? ? , a // ? , 则 ? ? ? .

S=0,i=0

S=S+2i-1

i=i+2

D.若 a ? ? , b ? ? ,且 l ? a, l // b, ,则 l ? ? .
否 S≥20

5.右图的程序框图输出结果 i= A.6 B.7
2

是 输出 i

C.8
2

D.9

6.若方程 ( x ? 2cos ? ) ? ( y ? 2sin ? ) ? 1(0 ? ? ? 2? ) 的任意 一组解 ( x, y ) 都满足不等式 x ? y ,则 ? 的取值范围是 A. [

结束

? 5?
4 , 4

]

B. [

5? 13? , ] 12 12
?

C. [

? 7?
4 , 6
?

]

D. [

7? 7? , ] 12 6
?

7.在四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? (4,?2,3) , AD ? (?4,1,0) , AP ? (?6,2,?8) ,则这个四 棱锥的高 h ? A. 1
第 1 页 共 10 页

B. 2

C. 13

D. 26

8.设 G (n) 表示正整数 n 的个位数, an ? G (n ) ? G (n), 则数列 {an } 的前 2013 项的和为
2

A. 0 B. 2 9.下列命题中,正确命题的个数是
3

C. 6

D. 8

①命题“ ?x ? R ,使得 x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R ,都有 x ? 1 ? 0 ”.
3

②双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 中 , F 为 右 焦 点 , A 为 左 顶 点 , 点 B(0, b) 且 a2 b2
5 ?1 . 2

AB? BF ? 0 ,则此双曲线的离心率为

?

?

③将 9 个人(含甲、乙)平均分成三组,甲、乙分在同一组,则不同分法的种数为 70 种. ④已知 a , b 是夹角为 120 的单位向量,则向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直的充要条件是 ? ?
?

? ?

?

?

?

?

5 . 4

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个 A S P R B Q 第(10)题图 C

10.如图,给定等边三角形 ABC,当正方形 PQRS 三个顶点 P、Q、R 分别 在三边 AB、BC、CA 上移动时,另一点 S 的轨迹是 A . 抛物线的一部分 B .圆的一部分 C . 椭圆的一部分 D.线段

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.设点 P( x, y ) 在以 A(1,0)、B(1,2)、C (2,1) 三点构成的三角形区域 (包含边界) 内, xy 则 的最大值为 .

12.已知三次函数 y ? f (x) 有三个零点 x1 , x2 , x3 ,且在点 ( xi , f ( xi )) 处的切线的斜率为

ki (i ? 1,2,3) .则

1 1 1 ? ? ? k1 k 2 k3

.
*

13.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1,an ? log n (n ? 1) (n ? 2,n ? N ) .定义:使乘积 a1 ? a2 ? ? ?ak 为 正整数的 k ( k ? N ) 叫做“积整数”.则在 [1,2013 ] 内所有“积整数”的和为
*

.

14.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的内切圆为 x 2 ? y 2 ? 9 ,圆的一条不与 x 轴垂直的切线与椭圆交于点 16 9

A、B ,且切线 AB 与圆的切点 Q 在 y 轴右侧, F 为椭圆的右焦点,则 ?ABF 的周长
为 .

三、选做题:请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按所做的第一题评阅计
第 2 页 共 10 页

分.本题共 5 分.请把答案填在答题卡上. 15A. (极坐标与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中,点 (2,

?
3

) 到圆 ? ? 2 cos? 的圆心的距离为

.

15B. (不等式选讲选做题) 已知集合 A ? x ? R x ? 3 ? x ? 4 ? 11 , B ? ? x ? R x ? 4t ? , t ? (0,??)?, 则 集合 A? B =________. 四、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? tan(2 x ?

?

?

? ?

1 t

? ?

?
4

).

(1)求 f ( x) 的最小正周期和单调增区间; (2)设 ? ? (

? ?

, ) ,若 f ( ) ? 2 cos 2? , 求 ? 的大小. 2 4 2

?

17. (本小题满分12分) 已知正方形 ABCD 的边长为2, E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点. (1)在正方形 ABCD 内部随机取一点 P ,求满足 PE ? 2 的概率; (2)从 A、B、C、D、E、F、G、H 这八个点中,随机选取两个点,记这两个点之间的 距离的平方为 ? ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望 E? . ..

18.(本小题满分12分) 如图是三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的三视图,正(主)视图和俯视图都是矩形,侧(左)视图为 等边三角形, D 为 AC 的中点.

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图 (1)求证: AB1 ∥平面 BDC1 ;

第 3 页 共 10 页

(2)设 AB1 垂直于 BC1 ,求二面角 D ? BC1 ? C 的大小. 19.(本小题满分12分) 已知等比数列 ?a n ?的首项 a1 ? 2013 ,公比 q ? ? (1)求使得 Tn 取得最大值时 n 的值; (2)证明 ?a n ?中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列,如果所有这些 等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为 d1 , d 2 , d 3 ? ??, d n ,求数列 ?d n ? 的通项公式. (参考数据 2 ? 1024 )
10

1 ,数列 ?a n ?前 n 项的积记为 Tn . . 2

20.(本小题满分13分) 已知抛物线 x ? 2 py( p ? 0) ,直线 2 x ? y ? 6 ? 0 截抛物线 C 所得弦长为 8 5 .
2

(1)求抛物线的方程;
? (2)已 知 A、B 是 抛 物 线 上 异 于 原 点 O 的 两 个 动 点 , 记 ?AOB ? ? (? ? 90 ), 若

S ?AOB ? m tan ? , 试求当 m 取得最小值时 tan? 的最大值;
(3)设抛物线的内接 ?RST 的重心为焦点 F,试探求 FR ? FS ? FT 是否为定值?若是, 求 出该定值,若不是,请说明理由.
? 2 ? 2 ? 2

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln(kx ? ), (k ? 0) 在 x ? 1 处取得极小值. (1)求 k 的值; (2)若 f ( x) 在 ( , f ( )) 处的切线方程为 y ? g (x) ,求证:当 x ? 0 时,曲线 y ? f (x) 不可 能在直线 y ? g (x) 的下方; (3)若 mi ? 0, (1 ? i ? n, n ? N ), 且 m1 ? m2 ? ? ? ? ? mn ? 1 ,
?

1 x

1 2

1 2

? n 2 ?1 ? 1 1 1 )( m2 ? ) ? ? ? (mn ? ) 与 ? 试比较 (m1 ? ? n ? 的大小,并证明你的结论. ? m1 m2 mn ? ?
第 4 页 共 10 页

n

临川一中 2013 届高三数学压轴卷(理科)
参考答案及评分标准 一.选择题. DDCCC BBDCD

10.解析:设 BC ? a, QC ? x, QR ? r , ?RQC ? ? ,

由 正弦定 理,

r x r a?x ? , ? . 结合等比性质, 0 0 0 sin 60 sin(60 ? ? ) sin 60 sin(30 0 ? ? )

3? 3 r a a ? . ? QS sin ?SQC ? 2r sin(45 0 ? ? ) ? 0 0 0 2 sin 60 sin(30 ? ? ) ? sin(60 ? ? )
(定值)所以所求轨迹为线段 .

(2)填空题. 11.
9 4
3
析 :

12.

0

13. (B)[4,6]
AF ? 4 ?

2036

14.8

15(A)
14. 解

7 7 x, AQ ? AO 2 ? OQ 2 ? x 2 ? y 2 ? 9 ? x, 4 4



AF ? AQ ? 4, 同理 BF ? BQ ? 4,? C?ABF ? 8

三.解答题
16.(Ⅰ)由 f ( x) ? tan(2 x ? 令 k? ?

?
4

), 得 f ( x) 的最小正周期为

?
2

? 2x ?

?
4

? k? ?

?
2



? k? 3? k? ? ? ?x? ? 所以函数 f ( x) ? tan(2 x ? ), 4 2 8 2 8

? .....2 分 2

的单调增区间为 ?

? k? 3? k? ? ? ? , ? ?(k ? Z ) ...............6 分 8 2 8? ? 2

sin(? ? ) 4 ? 2(cos 2 ? ? sin 2 ? ) , (Ⅱ)由 f ( ) ? 2 cos 2? , 得 tan(? ? ) ? 2cos 2? , 即 ? 2 4 cos(? ? ) 4 sin ? ? cos ? 整理得: ? 2(cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ,因为 sin ? ? cos ? ? 0 ,所以可 cos ? ? sin ?

?

?

?

第 5 页 共 10 页

1 1 ,解得 sin 2? ? ,...............10 分 2 2 ? ? ? 5 5 由 ? ? ( , ) 得 ? ? ( , ? ) ,所以 2? ? ? , ? ? ? ..........12 分 4 2 2 6 12
得 (cos ? ? sin ? ) ?
2

17 解: (1)这是一个几何概型.所有点 P 构成的平面区域是正方形 ABCD 的内部,其面积 是 2 ? 2 ? 4 .????????????????1 分 满足 PE ? 2 的点 P 构成的平面区域是以 E 为圆心,2 为半径的圆的内部与正方形 ABCD 内部的公共部分,它可以看作是由一个以 E 为圆心、2 为半径、圆心角为

? 的扇形的内部 3

与两个直角边分别为 1 和 3 的直角三角形内部构成. ?????????????2 分

1 ? 1 2? ? ? 2 2 ? 2 ? ? 1? 3 ? ? 3 .??????4 分 2 3 2 3 2? ? 3 ? 3 所以满足 PE ? 2 的概率为 3 ? ? . ?????????????5 分 4 6 4
其面积是 (2) A、 、 、 E F G、 、 从 B C D 、 、 H 这八个点中, 任意选取两个点, 共可构成 C8 ? 28 条
2

不同的线段. ????????????6 分 其中长度为 1 的线段有 8 条,长度为 2 的线段有 4 条,长度为 2 的线段有 6 条,长 度为 5 的线段有 8 条,长度为 2 2 的线段有 2 条.所以 ? 所有可能的取值为

1,2,4,5,8 .????????7 分

8 2 4 1 6 3 , P(? ? 4) ? ? , P(? ? 2) ? ? ? 28 7 28 7 28 14 8 2 2 1 . ????????????9 分 P(? ? 5) ? ? , P(? ? 8) ? ? 28 7 28 14
且 P(? ? 1) ? 所以随机变量 ? 的分布列为:



?
P

1

2

4

5

8

2 7

1 7

3 14

2 7

1 14

??10 分

随机变量 ? 的数学期望为

2 1 3 2 1 24 E? ? 1? ? 2 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 8 ? ? . ?????????12 分 7 7 14 7 14 7
18.

第 6 页 共 10 页

(1)由三视图画出直观图,如图, 这是一个正三棱柱,连接 BC1 和 B1C ,交点为 O ,则 O 为 B1C 的中点,连接 OD ,

? ? 因为 D 为中点,所以 OD ? 平面BDC1 ? ? AB1 // 平面BDC1 ,????????6 分 AB1 ? 平面BDC1 ? ? OD // AB1
(2)过 D 作 DG ? BC ,垂足为 G ,连接 GO , 因为侧面垂直于底面,所以 DG ? 侧面BCC B1 ,所以 OD 在 侧面BCC1B1 内的射影为 1

GO ,因为 AB1 ? BC1 ,所以 BC1 ? DO ,又 BC1 ? DG , DG ? DO ? D ,所以 BC1
⊥ 平面DOG , 所 以 BC1 ? GO , 所 以 ?D O G就 是 所 求 的 二 面 角 的 平 面 角.??????10 分 取 BC 中 点 F , 连 接 AF, OF , 则 有 OF ? BC, AF ? BC, 在 直 角 三 角 形 BOG 中 ,

OF ? BG ,所以

GO 2 ? GF ? GB ?

1 3 3 1 3 BC ? BC , GO ? BC DG ? AF ? BC , , 4 4 4 2 4
?

故在直角三角形 DGO 中, DG ? OG, ?DOG ? 45 ,即所求的二面角的大小为 45? ?12 分 19.解: ,? Tn ? a1a2 a3 ? ? ? an ,? (1)

Tn ?1 Tn

1 2013 2013 ? an ?1 ? 2013 ( ) n ,? 11 ? 1 ? 10 , 2 2 2

则当 n ? 10 时,? Tn ?1 ? Tn ;当 n ? 11 时,? Tn ?1 ? Tn ,

? Tn

max

? T11 ,又 T10 ? 0, T11 ? 0, T9 ? 0, T12 ? 0,
3

T 1 ? ? ? Tn 的最大值是 T9 ,T12 中的较大者.? 12 ? a10a11a12 ? ?2013 (? )10 ? ? 1 , T9 2 ? ?

?T12 ? T9 , ,因此当 n=12 时, Tn 最大.........................6 分
(2)对 an , an?1 进行调整, | an | 随 n 增大而减小, {an } 奇数项均正,偶数项均负. ①当 n 是奇数时,调整为 an ?1 , an ? 2 , an .则

第 7 页 共 10 页

a a 2an ? 2 ? 2a1 (? 1 ) n ?1 ? 1 an?1 ? an ? a1 (? 1 )n ? a1 (? 1 )n?1 ? 1 n 2 2 2 2n , 2 ,
? an?1 ? an ? 2an? 2 , an?1 , an? 2 , an 成等差数列;
②当 n 是偶数时,调整为 an , an ? 2 , an ?1 ;则

a a an?1 ? an ? a1 (? 1 )n ? a1 (? 1 )n?1 ? ? 1 2an ? 2 ? 2a1 (? 1 )n ?1 ? ? 1 n 2 2 2 2 , 2n ,
? an?1 ? an ? 2an? 2 , an , an? 2 , an?1 成等差数列;
综上可知,

{an }

中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列.

3a dn ? an? 2 ? an?1 ? a1[(? 1 )n?1 ? (? 1 )n ] ? n?11 2 2 2 ; ①n 是奇数时,公差 3a dn ? an? 2 ? an ? a1[(? 1 )n?1 ? (? 1 )n?1 ] ? n?11 2 2 2 . ②n 是偶数时,公差
dn ?
dn 3a1 ?1 n ?1 d n ?1 2 2 ,则 ,

无论 n 是奇数还是偶数,都有

因此,数列

{d n }

3a 1 4 1 ,公比为 2 的等比数列, d ? 6039 ..................12 分 是首项为 n n ?1

2

? x 2 ? 2 py ? x 2 ? 4 px ? 12 p ? 0 , ? ? 16 p 2 ? 48 p ? 0 (20)解: (1)联立 ? ?2 x ? y ? 6 ? 0 ? x1 ? x2 ? 4 p ? MN ? 1 ? 2 2 16 p 2 ? 48 p ? 8 5 ? p ? 1. ? x1 x2 ? ?12 p ?

? C : x 2 ? 2 y ..................................................4(分)
8.? S ?AOB ? m tan? , ?
2 2

1 sin ? 1 ? ? OA OB sin ? ? m , ? m ? OA ? OB . .......5(分) 2 cos? 2
2 2

设 A( x1 ,

1 x x x1 x ), B( x2 , 2 ), ( x1 x2 ? ?4,0) 则 m ? ( x1 x2 ? 1 2 ), 令 t ? x1 x2 (t ? ?4,0) 2 4 2 2

1 t2 1 1 m ? (t ? ) ? [(t ? 2) 2 ? 4], 当 t ? ?2 时,mmin ? ? . 此时 x1 x2 ? ?2, ...................8 (分) 2 4 8 2

第 8 页 共 10 页

x2 x1 ? kOB ? kOA 2 不 妨 设 x1 ? 0 则 tan? ? tan( 2 ? ?1 ) ? ? ? 2 2 ? ?( ? x1 ) ? ?2 2 ( 其 中 1 ? kOB kOA 1 ? x2 x1 x1 2 2

?1 , ? 2 为直线 OA, OB 的倾斜角)当且仅当
故当 mmin ? ?

2 ? x1 ,即 x1 ? 2 时等号成立. x1

1 时, tan? 的最大值为 ? 2 2 ....................10(分) 2
? 2 ? 2

(3)答: FR ? FS ? FT 为定值

? 2

27 . 证明如下:...................11(分) 8

设 R( xR , yR ), S ( xS , yS ), T ( xT , yT ), 三 角 形 RST 的 重 心 为 焦 点 F (0, ) ,

1 2

xR ? xS ? xT ? 0, yR ? yS ? yT ?
xi ? 2 yi (i ? R, S , T ) 则
2

3 ,由对称性,不妨设 xR , xS ? 0, xT ? 0 , 2

3 3 ? ? 3 ? y R ? y S ? yT ? ? y R ? y S ? ? ? yT 2 2 ?? ? y R y S ? ( y R ? y S ? ) 2 ? ? ? (1) ? 4 ? 2y ? 2y ? 2y ? 0 ? y ? y ? y R S T S T ? ? R
由 y R ? yS ? yT ?

3 知, 2
9 9 ?3 ? ? 2( y R yS ? yS yT ? y R yT ) ? ? 2 y R yS ? 2( y R ? yS ) ? ? ( y R ? yS )? ? ? ? (2) 4 4 ?2 ?

2

y R ? yS ? yT ?
2 2 2


2



1
2




2



2


2



y R ? yS ? yT ?
2 2 2
2

9 8





? ? ? 1? ? 1? ? 1? 3 ? 2 2 2 FR ? FS ? FT ? ? y R ? ? ? ? y S ? ? ? ? yT ? ? ? y R ? y S ? yT ? y R ? y S ? yT ? 2? ? 2? ? 2? 4 ? 9 27 2 2 2 ? y R ? y S ? yT ? ? 4 8

................13(分)

k x2 ? 1 k ?1 ? 0 ? k ? 1. ................3 分 21 解: (1) f ?( x) ? ,由已知得 f ?(1) ? 2 x(k x ? 1) k ?1
当 k ? 1 时 f ?( x ) ?

x2 ?1 ,此时 y ? f (x) 在 (0,1) 单调递减,在 (1,??) 单调递增......4 分 x( x 2 ? 1)

7. f ?( x ) ?

x2 ?1 1 6 1 5 , k ? f ?( ) ? ? , y ? f (x) 在 ( , ln ) 的 切 线 方 程 为 2 x( x ? 1) 2 5 2 2

第 9 页 共 10 页

y ? ln

5 6 1 6 3 5 ? ? ( x ? ) ,即 y ? g ( x) ? ? x ? ? ln ...............................6 分 2 5 2 5 5 2

当 x ? 0 时,曲线 y ? f (x) 不可能在直线 y ? g (x) 的下方 ? f ( x) ? g ( x) 在 (0,?? ) 恒成

1 6 3 5 立,令 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln( x ? ) ? x ? ? ln , ? ?( x) ? x 5 5 2


1 ( x ? )(6 x 2 ? 8 x ? 10) 2 5( x 3 ? x)

1 1 x ? (0, ), ? ?( x) ? 0, x ? ( ,??), ? ?( x) ? 0 2 2



? ( x) min ? ? ( ) ? 0

1 2





? ( x) ? 0 f ( x) ? g ( x) 在 (0,??) 恒成立,所以当 x ? 0 时,曲线 y ? f (x) 不可能在直线
y ? g (x) 的下方.............................................9 分
(3)

? ( m ? m ) ?( n ? n )
i ?1 i i

n

1

1

n

....................10 分

先 求 y ? f (x) 在 ( , ln(n ? )) 处 的 切 线 方 程 , f ?( ) ?

1 n

1 n

1 n

n ? n3 . 故 y ? f (x) 在 1 ? n2
, 即

1 1 ( , ln(n ? )) n n
y?





线







1 n ? n3 1 y ? ln(n ? ) ? (x ? ) 2 n 1? n n

n ? n3 1 ? n2 1 n ? n3 1 ? n2 1 x? ? l n ? () , 下 先 证 明 f ( x) ? n x? ? ln(n ? ) , 令 2 2 2 2 1? n 1? n n 1? n 1? n n
1

( x ? )[( n 3 ? n) x 2 ? 2n 2 x ? n 3 ? n] 1 n ? n3 1 ? n2 1 n , h( x) ? ln( x ? ) ? x? ? ln(n ? )( x ? 0) h?( x) ? x 1 ? n2 1 ? n2 n ( x 3 ? x)( n 2 ? 1)

当 x ? (0, ), ? ?( x) ? 0, x ? ( ,??), ? ?( x) ? 0 , ? ( x) min ? ? ( ) ? 0

1 n

1 n

1 n

? f ( x) ?

n ? n3 1 ? n2 1 x? ? ln(n ? ) 2 2 1? n 1? n n

? mi ? 0, (1 ? i ? n, n ? N ? ),

1 n ? n3 1 ? n2 1 ? ln(mi ? ) ? mi ? ? ln(n ? ) 2 2 mi 1? n 1? n n ? ? ln(mi ?
i ?1 n

1 n ? n3 n 1 ? n2 1 1 )? mi ? n ? n ln(n ? ) ? n ln(n ? ) 2 ? 2 mi 1 ? n i ?1 1? n n n

? ? (mi ?
i ?1

n

1 1 ) ?(n ? ) n .......................14 分 mi n

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