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安徽省长丰县实验高级中学人教版高中数学必修二教案:4.3.2 空间两点间的距离公式

长丰县实验高中 2016~2017 学年第一学期高二年级数学(文科) 集体备课教案

项目 课题
教学 目标
教学 重、 难点 教学 准备

内容

4.3.2 空间两点间的距离公式 (1 课时)

修改与创新

1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.

2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问

题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的

能力.

3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间

的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的

思想,培养积极参与、大胆探索的精神.

教学重点:空间两点间的距离公式. 教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.

多媒体课件

导入新课 我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即 d=|x1-x2|;
平面直角坐标系中,两点之间的距离是 d= (x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 .同
学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢?又有什么 样的公式呢?因此我们学习空间两点间的距离公式. 推进新课 新知探究 提出问题 ①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么?它是如何推导的? ②设 A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少?应怎样计算? ③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据. ④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计 教学过 算? 程 ⑤ 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 方 程 x2+y2=r2 表 示 什 么 图 形 ? 在 空 间 中 方 程 x2+y2+z2=r2 表示什么图形? ⑥试根据②③推导两点之间的距离公式. 活动:学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨 论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考 虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过 程;②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知 识来解;③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可 以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角 坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式;⑤学生回忆刚刚 学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立 体几何知识,进行推导. 讨论结果:①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是
d= (x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ,它是利用直角三角形和勾股定理来推导
的.

图1 ②如图 1,设 A(x,y,z)是空间任意一点,过 A 作 AB⊥xOy 平面,垂足为 B,过 B 分 别 作 BD⊥x 轴 ,BE⊥y 轴 , 垂 足 分 别 为 D,E. 根 据 坐 标 的 含 义 知 ,AB=z,BD=x,BE=OD=y, 由 于 三 角 形 ABO 、 BOD 是 直 角 三 角 形 , 所 以 BO2=BD2+OD2,AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2=z2+x2+y2, 因 此 A 到 原 点 的 距 离 是
d= x2 ? y 2 ? z 2 .
③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根 据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算. ④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是
d= (x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以
我们猜想,空间两点之间的距离公式是
d= (x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? (z2 ? z1 )2 ,即在原来的基础上,加上纵坐
标差的平方. ⑤平面直角坐标系中的方程 x2+y2=r2 表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在 空间 x2+y2+z2=r2 表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推 广.
图2 ⑥如图 2,设 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,我们来计算这两 点之间的距离. 我们分别过 P1P2 作 xOy 平面的垂线,垂足是 M,N,则 M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),
于是可以求出|MN|= (x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 .

再 过 点 P1 作 P1H⊥P2N, 垂 足 为 H, 则 |MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|, 所 以 |HP2|=|z2-z1|.

在 Rt△P1HP2中,|P1H|=|MN|= (x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ,根据勾股定理,得

|P1P2|= | P1 H |2 ? | HP2 |2 = (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (z1 ? z2 )2 .
因 此 空 间 中 点 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2) 之 间 的 距 离 为

|P1P2|= (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (z1 ? z2 )2 .
于是空间两点之间的距离公式是

d= (x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? (z2 ? z1 )2 .它是同名坐标的差的平方的

和的算术平方根.

应用示例

例 1 已知 A(3,3,1), B(1,0,5),求:

(1)线段 AB 的中点坐标和长度;

(2)到 A,B 两点的距离相等的点 P(x,y,z)的坐标满足的条件.

活动:学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点 A、B 都是空间

直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识

本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.

解:(1)设 M(x,y,z)是线段 AB 的中点,则根据中点坐标公式得

x= 3 ? 1 =2,y= 3 ? 0 = 3 ,z= 5 ? 1 =3.所以 AB 的中点坐标为(2, 3 ,3).

2

22 2

2

根据两点间距离公式,得

d(A,B)= (1? 3)2 ? (0 ? 3)2 ? (5 ?1)2 ? 29 ,

所以 AB 的长度为 29 .
(2)因为点 P(x,y,z)到 A,B 的距离相等, 所以有下面等式:
(x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? (z ?1)2 ? (x ?1)2 ? ( y ? 0)2 ? (z ? 5)2 .
化简得 4x+6y-8z+7=0, 因 此 , 到 A,B 两 点 的 距 离 相 等 的 点 P(x,y,z) 的 坐 标 满 足 的 条 件 是 4x+6y-8z+7=0.

点评:通过本题我们可以得出以下两点: ①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点 坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的 距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例. ②到 A,B 两点的距离相等的点 P(x,y,z)构成的集合就是线段 AB 的中垂面. 变式训练
在 z 轴上求一点 M,使点 M 到点 A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等. 解:设 M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,
(0 ?1)2 ? (0 ? 0)2 ? (z ? 2)2 ? (0 ?1)2 ? (0 ? 3)2 ? (0 ? 3)2 ? (z ?1)2
, 整理并化简,得 z=-3,所以 M(0,0,-3). 例 2 证明以 A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角 形. 活动:学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形, 只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定. 证明:由两点间距离公式得:
|AB|= (7 ? 4)2 ? (1? 3)2 ? (2 ?1)2 ? 2 7,
|BC|= (5 ? 7)2 ? (2 ?1)2 ? (3 ? 2)2 ? 6 ,
|CA|= (4 ? 5)2 ? (3 ? 2)2 ? (1? 3)2 ? 6 .
由于|BC|=|CA|= 6 ,所以△ABC 是一等腰三角形.
点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键 是通过两点间的距离公式求出边长. 变式训练
三 角 形 △ABC 的 三 个 顶 点 坐 标 为 A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形. 活动:学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一 直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判 定.

解:因为三个顶点坐标为 A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以
|AB|= (1?1)2 ? (?2 ?1)2 ? (?3 ?1)2 =3,

|BC|= (0 ?1)2 ? (0 ?1)2 ? (?5 ?1)2 ? 3 2 ,

|CA|= (1? 0)2 ? (?2 ? 0)2 ? (?3 ? 5)2 =3.
又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC 是直角三角形. 例 3 已知 A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( )

A.0

B. 35

C. 5

7

7

D. 8 7
活动:学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,

首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二

次方程求最值的方法得出|AB|的最小值.

解析:|AB|= (x ?1)2 ? (3 ? 2x)2 ? (3x ? 3)2

= 14x2 ? 32x ?19

= 14(x ? 8 )2 ? 5 ? 35 . 777

当 x= 8 时,|AB|的最小值为 35 .

7

7

故正确选项为 B.

答案:B

点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于 x 的二次函数求最值是常用

的方法.

知能训练

课本本节练习 1、2、3、4.

拓展提升

已 知 三 棱 锥 P—ABC( 如 图 4),PA⊥ 平 面 ABC, 在 某 个 空 间 直 角 坐 标 系

中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直

线 AB 与 x 轴所成的较小的角.

图3 解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图 3: 以射线 AC 为 y 轴正方向,射线 AP 为 z 轴正方向,A 为坐标原点建立空间直 角 坐 标 系 O—xyz, 过 点 B 作 BE⊥Ox, 垂 足 为
E,∵B( 3 m,m,0),∴E( 3 m,0,0).
在 Rt△AEB 中,∠AEB=90°,|AE|= 3 m,|EB|=m,
∴tan∠BAE= | EB | ? m = 3 .∴∠BAE=30°, | AE | 3m 3
即直线 AB 与 x 轴所成的较小的角为 30°. 课堂小结 1.空间两点间的距离公式的推导与理解. 2.空间两点间的距离公式的应用. 3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式. 作业 习题 4.3 A 组 3,B 组 1、2、3.

平面两点间的距离公式
空间两点间的距离公式 板书设


4.3.2 空间两点间的距离公式 例1 变式 例2 变式

本节课从平面直角坐标系中两点之间的距离公式入手,创设问题情景,不难把平面上的知

识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股

定理得到空间任意一点到原点的距离.为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊

教学反 思

到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力,本节课的设计通过适当的创设情境,调动学 生的学习兴趣.本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的 指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思

想.把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,

提高了能力、培养了兴趣、增强了信心.


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