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数列与简易数论研究


引例 1:设 {an } 是公差为 d 的等差数列, {bn } 是公比为 q 的等比数列. (1)若 an ? 3n ? 1,是否存在 m, k ? N ? ,使 am ? am?1 ? ak ?

1 (2)数列 {bn } 中,若 b1 ? 1 ,公比 q ? (0, ) ,且 ?k ? N ? , bk ? bk ?1 ? bk ? 2 仍是 {bn } 中的项, 2
则q? .

(3) {an } 满足 a1 ? 1, d ? 2, 试证明任给 m ? N? ,总存在 p ? N? 使 a1 , am , ap 成等比数列.

引例 2:已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是公比为 q 的等比数列。 (1)若 an ? 3n ? 1 ,是否存在 m、k ? N ,有 am ? am?1 ? ak ? 说明理由;
*

(2)找出所有数列

?an ? 和 ?bn ? ,使对一切 n ? N * , an?1 ? b ,并说明理由
an
n

引例 3:从数列 {an } 中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一个数列,称之为数列 {an }

的一个子数列.设数列 {an } 是一个首项为 a1 、公差为 d (d ? 0) 的无穷等差数列. (1)若 a1 , a2 , a 5 成等 比数列,求其公比 q . (2)若 a1 ? 7 d ,从数列 {an } 中取出第 2 项、第 6 项作为一个等比数列的第 1 项、第 2 项, 试问该数列是否为 {an } 的无穷等比子数列,请说明理由.

思考:若 a1 ? 1 ,从数列 {an } 中取出第 1 项、第 m (m ≥ 2) 项(设 am ? t )作为一个等比数 列的第 1 项、第 2 项,试问当且仅当 t 为何值时,该数列为 {an } 的无穷等比子数列,请说明 理由.

引例 4:设数列 ?an ?? n ? 1,2,

? 是等差数列,且公差为 d ,若数列 ?an ? 中任意(不同)两

项之和仍是该数列中的一项,则 称该数列是“封闭数列”. (1)若 a1 ? 4, d ? 2 ,判断该数列是否为“封闭数列”,并说明理由? (2)试问:数列 ?an ? 为“封闭数列”的充要条件是什么?给出你的结论并加以证明.

练习: 1. 设 a1 , a2 , ???, a50 是从-1,0,1 这三个整数中取值的数列,若 a1 ? a2 ? ??? ? a50 ? 9 ,

(a1 ? 1)2 ? (a2 ? 1)2 ? ??? ? (a50 ? 1)2 ? 107 ,则 a1 , a2 , ???, a50 中数字 0 的个数为

.

2. 已知 a, b, c, d 是正整数, a ? b ? c ? d , d ? a ? 7 ,若 a , b, c 成等差数列, b, c, d 成等比数 列,则这四数依次为 .

3. 已知等差数列 ?an ? 首项为 a ,公差为 b ,等比数列 ?bn ? 首项为 b ,公比为 a ,其中 a , b 都是大于 1 的正整数,且 a1 ? b1 , b2 ? a3 ,对于任意的 n ? N ,总存在 m ? N ,使得
* *

am ? 3 ? bn 成立,则 an ?

..

4. 一个正数,它的小数部分、整数部分及它本身,依次构成等比数列,则这个正数为 5. 设有等比数列 a, aq, aq ,
2

, 其中 q 是整数,试问数列中存在三项构成等差数列吗?

6. 已知 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是公比为 q 的等比数列, a1 ? b1 , a2 ? b2 ? a1 .

(1)若 b3 ? ai ( i 是某个正整数) ,求证:q 是整数,且数列 ?bn ? 中的每一项都是数列 ?an ? 中的项; (2)是否存在这样的正数 q ,使等比数列 ?bn ? 中有三项成等差数列?若存在,写出一个 q 的值,并加以说明;若不存在,请说明理由.


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