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2014年上虞区高一数学竞赛试题B卷


2014 上虞市高一竞赛数学试卷( B 卷 2014.4)
学校 姓名 考号 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题(每小题 5 分,共 60 分)
2 1.已知集合 A ? ??2,3,4m ? 4? ,集合 B ? 3, m ,若 B ? A,则实数 m =

?

?



2.已知:f ?1 ? 2x ? ? x3 ? x 则f ?3? ? 3.函数 y ?

. . .

x ?1 ?

1 的定义域是 2? x

4.函数 f ( x) ? 4 ? a x?1 (a ? 0且a ? 1) 的图像恒过定点 P ,则点 P 的坐标是 5.已知角 ? 的终边经过点 P(?1, m) ,且 sin ? ?

2 5 ,则 m ? 5
.

.

6.若 cos ? ? 0 , sin ? ? 3 cos ? ? 1 ? 0 ,则 tan ? ?

7 .设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ? 2x ? m( m 为常数) ,则

f (?8) ? _________.
8.在直角坐标系 xoy 中,已知三点 A(a,1) , B(2, b) , C (3, 4) .若 OA 与 OB 在 OC 方向上的 投影相同,则 3a ? 4b ? _________. 9.如图,已知 ?OAB 中, OA ? a , OB ? b ,而 M 为 OA 的中点,

N 为靠近 O 的三等分点, AN 与 BM 交于点 P ,则

OP =

.(用 a, b 表示)

10.已知 a, b, c 均为正数,且都不等于 1,若实数 x, y , z 满足 a x ? b y ? c z ? t , 则 abc 的值等于 .

1 1 1 ? ? ?0, x y z

11 . 若 函 数 f ( x) ? log a ( x ? 是 .

m ? 6), (a ? 0, a ? 1) 的 值 域 为 R , 则 实 数 m 取 值 范 围 x

12.定义在非零实数集上的函数 f ( x ) 满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,且 f ( x ) 在 (0, ??) 上单 调递增,则不等式 f ( x) ? f ( x ? 5) ? 0 的解集为

1 6

.

二、解答题(每题 15 分,共 60 分)
高一竞赛 B 卷第 1 页

13. (Ⅰ)计算 cos4

?
8

? sin 4

?
8

? sin

?
32

cos

?
32

cos

?
16

cos

?
8



(Ⅱ)解方程 2log x 5 ? 3log 25 x ? 1 .

14.在平行四边形 ABCD 中,?A ?

?
3

,边 AB ? 2 , AD ? 1 ,若 M 、 N 分别为边 BC 、

CD 上的点,且满足

BM BC

?

CN CD

,求 AM AN 的取值范围.

高一竞赛 B 卷第 2 页

15.设函数 f ( x) ? sin ax ? 3 cos ax,(0 ? a ? 1) , g ( x) ? tan(mx ? 已知两函数的最小正周期相同,且 f (1) ? 2 g (1) . (Ⅰ)求 f ( x), g ( x) 的解析式; (Ⅱ)记 h( x) ? f (wx),(w ? 0) ,若 h( x) 在 [

?
6

), (0 ? m ? 1) ,

? ?

, ] 上单调递增,试求 w 的取值范围. 4 2

高一竞赛 B 卷第 3 页

16.设二次函数 f ( x) 在区间 ? ?1, 4? 上的最大值为 12,且关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 的解 集为 (0, 5) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若对于任意的 x ? R ,不等式 f (2 ? 2 cos x) ? f (1 ? cos x ? m) 恒成立,求实数 m 的取值范围.

高一竞赛 B 卷第 4 页

2014 年上虞市高一竞赛数学答案( B 卷 2014.4)
一、填空题(每小题 5 分,共 60 分) 1.2; 5.2 ; 2. 0 ; 6. ? 3. x ? R x ? ?1且x ? 2

?

?



4. (1, 5) ;

4 ; 3

7.-271



8.2;

9. a ?

2 5

1 b ; 10. 1 ; 12. [?1, 0) ? ??, 9? ; 11. 5
7 2; 16
(Ⅱ) x1 ?

(0, 2]

[3, 5)

(5, 6] .

二、解答题(每题 15 分,共 60 分) 13.解(Ⅰ)

14. 解: 记 AB ? a, AD ? b , 则 ? a, b ??

?
3

1 , x2 ? 3 625 . 25
, 则D N ?( 1? t )D C
2

, 设B M ? tM Ct , ? [ 0 , 1 ]
2

AM ? a ? tb, AN ? (1 ? t )a ? b

? AM ? AN ? (1 ? t )a ? tb ? [(1 ? t )t ? 1]a ? b
易得? AM ? AN ?[2,5] .

? 4(1 ? t ) ? t ? 1 ? t ? t 2 ? ?(t ? 1)2 ? 6, t ?[0,1]
15 . 解 : (Ⅰ)由两函数周期相同可得:

s i n? ?
2

3 cos ? ? 2 t an( m?

?
6

2? ? ? ? a ? 2m . 又 a m

f (1) ? 2 g (1) 可 得

) 2 sin(2 m? 得:

?

3

)? 2 tan( m?

?
6

) m ? (0,1)可 ,由

得 2 cos ( m ?

?

? ? ? ? ? 2 ) ? 1 ;令 cos(m ? ) ? ,? m ? ? 得 m ? ,? ? . 6 6 4 12 6 6 2

? ? ? ? ? f ( x) ? 2sin( x ? ), g ( x) ? tan( x ? ) ; 6 3 12 6 ? ? h( x) ? f ( wx) ? 2sin( wx ? ) ( Ⅱ ) , 6 3



x ?[

? ?
4 2

,

可]



?
6

wx ?

?
3

?[

?2
24

w?

? ?2
,

w ? ] ,又 3 12 3

?

? ? h( x) 在 x ? [ , ] 单调递增. 4 2
? 2k?
得:

则?

?
2

? 2 k? ?
?

?2
24

w?

?
3



?2
12

w?

?
3

?

?
2

?10 ? 48 k

?

?w?

2 ? 24 k

?

, 又



2 ? 24k

?10 ? 48k

?

?

可得 k ?

1 ,结合 w ? 0 可得 k ? 0 . 2 ].
5 2 25 a .因为 f ( x) 4

?0 ? w ? ? ? ?10 2 ? w? ? ? ? ?

得 w ? (0,

2

?

16.解: (Ⅰ)依题意,设 f ( x) ? ax( x ? 5)(a ? 0) ,则 f ( x) ? a ( x? )

2

?

在区间 ? ?1, 4? 上的最大值为 12 ,且 a ? 0 ,所以当 x ? ?1 时, f ( x) 取到最大值,即
高一竞赛 B 卷第 5 页

f (?1) ? 6a ? 12 ,解得 a ? 2 ,故 f ( x) ? 2 x 2 ? 10 x ;
(Ⅱ)令 1 ? cos x ? t (0 ? t ? 2) ,则原不等式化为 f (2t ) ? f (t ? m) ,即

8t 2 ? 20t ? 2(t ? m)2 ? 10(t ? m) ,也即 (t ? m)(t ?
当 ?m ?

m?5 ) ? 0. 3

m?5 m?5 5 ,即 m ? ? 时, ?m ? t ? ,此不等式对任意的 t ?[0, 2] 恒成立 3 3 4

? ? m ? 0, ? 的充要条件是 ? m ? 5 ,解得 m ? 1 . ?2 ? ? 3
当 ?m ? 当 ?m ?

m?5 5 5 ,即 m ? ? 时, (t ? )2 ? 0 ,不满足要求. 3 4 4

m?5 m?5 5 ,即 m ? ? 时, ? t ? ?m ,此不等式对任意的 t ?[0, 2] 恒成立 3 3 4

? ? m ? 2, ? 的充要条件是 ? m ? 5 ,解得 m ? ?5 . ?0 ? ? 3
综上所述,实数 m 的取值范围是 (??, ?5) ? (1, ??) .

高一竞赛 B 卷第 6 页


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