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高中数学第二讲参数方程三直线的参数方程达标训练

四 渐开线与摆线
更上一层楼 基础·巩固 1 下列可以作为直线 2x-y+1=0 的参数方程的是( A. ? )

?x ? 1 ? t (t 为参数) ?y ? 3 ? t

B. ?

?x ? 2 ? t (t 为参数) ? y ? 5 ? 2t

C. ?

?x ? 1 ? t (t 为参数) ? y ? 3 ? 2t

? 2 5 t ?x ? 2 ? ? 5 D. ? (t 为参数) 5 ?y ? 5 ? t ? 5 ?
1 ,所以只有 C 符合条件,这里 C 虽 2

思路解析:根据所给的方程可知直线的斜率为 2,而所给直线的参数方程中,A 选项的斜率是 1,B 选项的斜率是-2,C 选项的斜率是 2,D 选项的斜率是 然不是标准式的参数方程,但是只有 C 能化成 2x-y+1=0. 答案:C 2 已知直线 l 的斜率为 k=-1,经过点 M0(2,-1),点 M 在直线上,以 M 0 M 的数量 t 为参数,则 直线 l 的参数方程为_____________. 思路解析: ∵直线的斜率 k=-1,∴倾斜角 α = 数方程的标准形式即可.

3? 2 2 .因此得 cosα = ? ,sinα = .代入参 4 2 2

? 2 t, ?x ? 2 ? ? 2 答案: ? (t 为参数) 2 ? y ? ?1 ? t ? 2 ?
3 直线 l 经过点 M0(1,5),倾斜角为

? ,且交直线 x-y-2=0 于 M 点,则|MM0|=_________. 3

1 ? x ? 1 ? t, ? 2 ? 思路解析:直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数),代入方程 x-y-2=0 中得 ?y ? 5 ? 3 t ? 2 ?
1+

1 3 t-(5+ t)-2=0 ? t=6( 3 -1). 2 2

根据 t 的几何意义即得|MM0|=6( 3 -1). 答案:6( 3 -1)

4 已知直线 l 的参数方程是 ?

? x ? 1 ? t sin ? ? (t 为参数),其中实数 α 的范围是( ,π ),则 2 ? y ? ?2 ? t cos?

直线 l 的倾斜角是___________. 思路解析:首先要根据 α 的范围把直线的参数方程化为标准参数方程,根据标准式结合 α 的范围得出直线的倾斜角. 答案:

? -α 2
2 2 2

5 已知圆 x +y =r 及圆内一点 A(a,b)(a、b 不同时为零),求被 A 平分的弦所在的直线方程. 思路分析:利用直线参数方程中参数 t 的性质.所以,首先设出直线的参数方程,代入圆的方 程,可以得到关于参数 t 的二次方程,根据参数的性质可知,方程两根的和为 0. 解:设所求直线的参数方程为 ?
2 2 2

? x ? x0 ? t cos? , (t 为参数 ? y ? y 0 ? t sin ?

代入圆的方程 x +y =r , 2 2 2 2 整理得 t +2(acosθ +bsinθ )t+a +b -r =0. 设 t1、t2 为方程两根,∵A 是中点, ∴t1+t2=0,即 acosθ +bsinθ =0. 2 2 2 2 ①×a+②×b,得 ax+by=a +b +t(acosθ +bsinθ )=a +b , 2 2 故所求直线方程是 ax+by=a +b . 6 下表是一条直线上的点和对应参数的统计值: 参数 t 横坐标 x 纵坐标 y 2 2- 2 5+ 2

2
1 6

6 2- 3 2 5+ 3 2

2 2
0 7

根据数据,可知直线的参数方程是_________,转化为普通方程是(一般式)_________,直线被 2 2 圆(x-2) +(y-5) =8 截得的弦长为_________. 思路解析:这是一个由统计、直线参数方程和普通方程、圆的知识组成的一个综合问题.充 分考查了这几部分知识的灵活运用.首先,根据统计的基本知识,观察分析所给数据的特点给

? ?x ? 2 ? ? 出直线的参数方程 ? ?y ? 5 ? ? ?

2 t, 2 (t 为参数),然后把参数方程转化为普通方程 x+y-7=0,而 2 t 2

由参数方程可知直线一定过点(2,5),恰好是所给圆的圆心,所以直线被圆所截得的弦长恰好 是圆的直径,易知直径长为 4 2 .

? ?x ? 2 ? ? 答案: ? ?y ? 5 ? ? ?

2 t, 2 (t 为参数) x+y-7=0 2 t 2

4 2

7 已知点 A(3,0),点 B 在单位圆 x +y =1 上移动时,求∠AOB 的平分线与 AB 的交点的轨迹. 思路分析:本题综合了圆和直线的参数方程两者的应用,要注意的是当点 O\,A\,B 共线这种 特殊情况的讨论. 解:点 B 在单位圆上,则可设 B(cosθ ,sinθ ),∠AOB 的平分线与 AB 的交点为 P(x,y),则分

2

2

AP | OA | =3,又点 P 在 AB 上,由直线的参数方程得 ? PB | OB |

4x ? 3 3 ? 3 cos? ? ? , x? , ?cos? ? ? ? ? 3 4 即? ? 3 sin ? ?y ? ?sin ? ? 4 y , , ? ? 4 3 ? ?
∴(

4x ? 3 2 4 y 2 3 2 2 9 ) +( ) =1.整理得(x- ) +y = . 3 3 4 16

特别地,如果点 B 的坐标为(1,0),则∠AOB 的平分线与 AB 交于线段 AB 上任一点,P 点轨迹为 线段 BA;如果点 B 的坐标为(-1,0),则∠AOB 的平分线与 AB 交于点 O. ∴当点 B 的坐标为(1,0)时,所求轨迹为线段 BA;当点 B 的坐标为(-1,0)时,所求轨迹为点 O; 当点 B 为单位圆上其他点时,所求轨迹为以(

3 3 ,0)为圆心,以 为半径的圆. 4 4

综合·应用 8 给出两条直线 l1 和 l2,斜率存在且不为 0,如果满足斜率互为相反数,且在 y 轴上的截距相 等,那么直线 l1 和 l2 叫做“孪生直线”. (1)现在给出 4 条直线的参数方程如下: l1: ?

? x ? 2 ? 2t , (t 为参数); ? y ? ?4 ? 2t
2 t, 2 (t 为参数); 2 t 2

? ?x ? 3 ? ? l2: ? ?y ? 4 ? ? ?
l3: ?

?x ? 1 ? t, (t 为参数); ?y ? 1? t

? 2 t, ?x ? 6 ? ? 2 l4: ? (t 为参数). ? y ? ?8 ? 2 t ? 2 ?
其中构成“孪生直线”的是__________________. (2) 给 出 由 参 数 方 程 表 示 的 直 线 l1: ?

? x ? x1 ? t cos ?1 , (t 为 参 数 ), 直 线 ? y ? y1 ? t sin ? 1

l2: ?

? x ? x2 ? t cos?2 , (t 为参数), ? y ? y2 ? t sin ? 2

那么,根据定义,直线 l1、直线 l2 构成“孪生直线”的条件是_______________. 思路解析:根据条件,两条直线构成“孪生直线”意味着它的斜率存在不为 0,互为相反数, 且在 y 轴的截距相等,也就是在 y 轴上交于同一点.对于题(1),首先可以判断出其斜率分别为 -1,1,-1,1,斜率互为相反数条件很明显,再判断在 y 轴上的截距.令 x=0 得出相应的 t 值,代 入 y 可得只有直线 l1 和直线 l4 在 y 轴上的截距相等,而其斜率又恰好相反,可以构成“孪生 直线”.对于题 (2)首先写出相应斜率分别是 tanα 1 和 tanα 2,因此要 tanα 1=-tanα 2, 即 tanα 1+tanα 2=0;然后再考虑在 y 轴上的截距,首先在 l1 的参数方程中,令 x=x1+tcosα 1=0, 可得 t= ?

x1 ,代入得 y=y1-x1tanα 1.同理可得直线 l2 在 y 轴上的截距是 y=y2-x2tanα 2. cos a1

由定义中的条件“截距相等”可得 y1-x1tanα 1=y2-x2tanα 2,即 y1-y2=x1tanα 1-x2tanα 2. 如 果 把 tanα 1=-tanα 2 代 入 式 子 还 可 以 进 一 步 得 到 y1-y2=x1tanα 1+x2tanα 1, 即 y1-y2=(x1+x2)tanα 1. 答案: (1)直线 l1 和直线 l4 (2)tanα 1+tanα 2=0 且 y1-y2=x1tanα 1-x2tanα 2〔也可以写出 y1-y2=(x1+x2)tanα 1〕 9 已知抛物线方程:y=x -2x+
2

3 ,过焦点 F 作直线交抛物线于 A、B,且 AF∶FB=1∶2.求(1)直 4

线 AB 的方程;(2)弦 AB 中点到抛物线准线的距离. 思路分析:由题目中的条件可知:利用直线的标准参数方程来求解,主要考虑从 t 的几何意 义来入手解题. 解:(1)由 y=x -2x+
2

? x ? 1 ? t cos? , 3 1 2 ,得(x-1) =y+ ,∴焦点 F(1,0).可设直线 AB: ? 代入 4 4 ? y ? t sin ? .

y=x -2x+

2

3 1 2 2 ,∴t cos α -tsinα - =0,由题意 AF∶FB=1∶2, 4 4



t1 1 t 1 ? ? 或 1 =-2,即 t1=- t2 或 t1=-2t2. 2 t2 2 t2

t ? t1 ? t 2 ? 2 , ?t ? t ? ?t , ? 2 ? 2 或 1 2 ∴? ? 2 ?t t ? ? 1 t 2 ?t1t 2 ? ?2t 2 . 1 2 2 ? 2 ?
∴(t1+t2) =2

1 2 2 t1t2 或(t1+t2) ·(-2)=t1t2,解得 tanα =± . 2 4

∴AB:y=±

2 (x-1). 4

? 2 2 x ? 1? t ? , ? 1 1 sin ? 3 ? 3 ? (2)设 AB 中点为 M,AB: ? tm= (t1+t2)= · , 2 2 2 cos ? 16 ?y ? t ? 1 , ? 3 ? ? 2 xm ? 1 ? , ? ? 8 ∴? ?y ? 1 ? m 16 ?
准线 l:y=-

1 1 9 .∴d=ym-(- )= . 2 2 16

10 过点 M(2,1)的直线 l 交椭圆 C:

x2 y2 ? =1 于 A、B 两点,使点 M 是 AB 的一个三等分 16 4

点,求直线方程. 思路分析:本题为一直线与圆锥曲线的相交问题,由此类问题的一般求解方法:把直线的参 数方程同椭圆的参数方程联立即可,考虑利用直线参数方程中参数的几何意义来解答. 解:设 AB 方程为 ?

? x ? 2 ? t cos? , (t 为参数),A、B 两点对应的参数为 t1\,t2,则 t1=-2t2. ? y ? 1 ? t sin ?
2 2

则由 t1+t2=-t2,t1t2=-2t2 ? t1t2=-2(t1+t2) ; 2 2 2 联立 C 与 l 得(4sin α +cos α )t +(18sinα +4cosα )t-8=0. 故 t1+t2=

? (8 sin ? ? 4 cos ? ) ?8 ,t1t2= , 2 2 2 4 sin ? ? cos ? 4 sin ? ? cos 2 ?

∴tanα =-8± 2 7 =k. ∴l 方程为 y-1=(-8± 2 7 )(x-2). 11 已知 AB 是半径为 R 的圆 O 的直径,CN 为平行于 AB 的弦,M 为 CN 的中点,求 BM、ON 交点 P 的轨迹方程. 思路分析:求交点的轨迹方程问题,其一般方法是联立方程组求解即可.但入手的角度不同, 选择的参数不一样,则解题思路及消参方法自然不同. 解:建立直角坐标系:以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 中垂线为 y 轴.(自行作图) 则 B(R,0),设 P(x,y), ∵CN∥AB, ∴ym=yn. 设 M 纵坐标为参数 t,则 M(0,t),t∈(-R,R),t≠0. 则 N( R ? t ,t),由点斜式得 lON:y=
2 2

1 R2 ? t

x,lBM:y= ?

t x+t. R

由于动点 P 是 BM、ON 的交点,故 P 的坐标同时满足以上两个直线方程,两者联立消去参数 t 得 P 的轨迹方程为

y =-2R(x-

2

R R )(0<x< ,-R<y<R). 2 2

12 给出一个参数方程

? x ? 2 ? t cos? , ? ? y ? 5 ? t sin ? .
(1)如果分别以 t,α 为参数,则所给的参数方程表示的图象分别是什么?请分别把它们转 化为普通方程.(α 为参数时,设 t>0,t 为参数时,设 α ≠

? ) 2

(2)求上述直线截上述曲线所得的弦长. (3)根据上述求解过程总结出一个结论,并用基本语句编写一个算法计算弦长. 思路分析: 本题综合考查参数方程,直线与曲线的位置关系以及算法等基本知识.首先根据参 数方程的形式知:当 t 为参数时,参数方程表示直线,当 α 为参数表示圆,且直线恰好过圆的 圆心,所以弦长就是圆的直径.根据所给的参数方程不难得到一般结论,用算法表示弦长只需 根据数据求出圆的直径,所以只需使用顺序结构即可. 解: (1)以 t 为参数时,所给参数方程表示的图形是过点(2,5)且斜率为 tanα 的直线,化为普 通方程是 y-5=tanα (x-2); 以 t 为 参 数 时 , 参 数 方 程 表 示 以 (2,5) 为 圆 心 , 半 径 为 t 的 圆 , 化 为 普 通 方 程 是 2 2 2 (x-2) +(y-5) =t . (2)上述直线恰好过圆的圆心,所以截圆所得弦长为圆的直径 2t. (3)根据上述计算过程可以总结出一般的结论为:对于一个参数方程

? x ? x 0 ? t cos ? , ? (α 为参数时,设 t>0,t 为参数时,设 α ≠ ),如果分别以 t,α 为参数, ? 2 ? y ? y 0 ? t sin ?
则所给的参数方程表示的图象分别是一条直线和一个圆 ,且直线过圆的圆心,所以直线截圆 所得弦长是圆的直径 2t. 用基本语句写出表示弦长的算法如下: INPUT“参数 t(t>0)”;t, d=2t, PRINT“所给参数方程表示的直线被圆截得的弦长是”;d, END.


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