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高考专题:参数法在解题中的应用-学生


参数法在解题中的应用
[方法精要] 在解数学题的过程中,往往会遇到一些不能直接求解或直接求解困难,或较烦琐 的变数问题,这时往往要通过引入条件中原来没有的辅助变量(参数),并以此作为媒介,使问 题转化从而解决问题,这种应用参数解决问题的方法称为参数法. 应用参数法的关键在于恰当的选取参数,只有参数引入恰当,问题才能迎刃而解,收到事半 功倍的效果.使用参数法的原则是引进参数后,能使问题获解.其次还要考虑引进参数的合 理性,除了要考虑条件和结论的特点外,还要注意某 些量的取值范围,任何变量都有取值范围,另外还要注意原问题并非关于参数的问题,参数 并不是直接研究对象,它只是起“桥梁”和转化作用,所以当求得间接解后要倒回去确定原 问题的解,这就可能要消去参数而用问题中原有的变数表示结果. 参数体现了近代数学中运动与变化的思想,其观点已经渗透到中学数学的各个分支.运用参 数法解题已经比较普遍.参数法解题的关键是恰到好处地引进参数,沟通已知和未知之间的 内在联系,利用参数提供的信息,顺利地解答问题.

题型一 参数法在函数问题中的应用 例 1 定义在 R 上的增函数 y=f(x)对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求 f(0); (2)求证:f(x)为奇函数; (3)若 f(k· 3x)+f(3x-9x-2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围.

题型二 参数法在数列问题中的应用
2 2 2 例 2 设{an}是公差不为零的等差数列,Sn 为其前 n 项和,满足 a2 2+a3=a4+a5,S7=7.

(1)求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn; amam+1 (2)试求所有的正整数 m,使得 为数列{an}中的项. am+2

题型三 参数法在不等式中的应用 例 3 已知 2x=3y=5z,试比较 2x、3y、5z 的大小.

题型四 参数法在解析几何中的应用 例 4 (浙江)已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0),焦点为 F(0,1). (1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 F 作直线交抛物线 C 于 A,B 两点.若直线 AO、BO 分别交直线 l:y=x-2 于 M、N 两点,求|MN|的最小值.

总结提高

数学问题中参数的选取、消去、确定、讨论很普遍,而且在解题中,参数的选取

多种多样,设参数而不求参数,只是利用其作为中间变量辅助计算,是常见的形式.其综合 性强,知识面广,一般都需要根据问题的条件作出透彻分析,才能恰当的选取参数,然后利 用参数提供的信息,顺利解答问题.

强化训练 1.已知正数 x,y 满足 x+2 2xy≤λ(x+y)恒成立,则实数 λ 的最小值为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

?0≤x≤ 2.在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组?y≤2, ?x≤ 2y
→ → 动点,点 A 的坐标为( 2,1),则 z=OM· OA的最大值是( A.4 2 B.3 2 C.4 D.3

2, 构成,若 M(x,y)为 D 上的

)

3.将函数 y= 3cosx+sinx(x∈R) 的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关 于 y 轴对称,则 m 的最小值是( π A. 12 π B. 6 π C. 3 5π D. 6 )

4.已知 f(t)=log2t,t∈[ 2,8],对于 f(t)值域内的所有实数 m,不等式 x2+mx+4>2m+4x 恒 成立,则 x 的取值范围为( A.(-∞,-1) C.(-1,2) ) B.(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)

5.设函数 f(x)= ex+x-a(a∈R,e 为自然对数的底数).若曲线 y=sinx 上存在(x0,y0)使得 f(f(y0))=y0,则 a 的取值范围是( A.[1,e] C.[1,e+1] ) B.[e 1-1,1]


D.[e 1-1,e+1]


6.已知函数 f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(x∈R),若 f[g(1)]=1,则 a=________.

7.已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4 相交于 A、B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数 a=________.

8.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4,设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

9.已知等比数列{an}满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)是否存在正整数 m,使得 + +?+ ≥1?若存在,求 m 的最小值;若不存在,请说明 a1 a2 am 理由.

10.已知函数 f(x)=x4-3x2+6. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)设点 P 在曲线 y=f(x)上,若该曲线在点 P 处的切线 l 通过坐标原点,求 l 的方程.

πx π πx 11.设函数 f(x)=sin( - )-2cos2 +1.(1)求 f(x)的最小正周期.(2)若函数 y=g(x)与 y=f(x) 4 6 8 4 的图象关于直线 x=1 对称,求当 x∈[0, ]时 y=g(x)的最大值. 3

x2 y2 3 12.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直 a b 3 线 y=x+2 相切. (1)求椭圆方程; (2)设该椭圆的左,右焦点分别为 F1 和 F2,直线 l1 过 F2 且与 x 轴垂直,动直线 l2 与 y 轴垂直, l2 与 l1 交于点 P,求线段 PF1 的垂直平分线与 l2 的交点 M 的轨迹方程,并指明曲线类型.


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