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教育部课题4.2.2圆与圆的位置关系


教育部重点课题新教育子课题

《在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践》

温州市瓯海区三溪中学 张明

圆与圆的位置关系

一、我们知道,在笛卡尔之前,几何和代数是老死不相往来,各自分开。 是笛卡尔让几何代数联系在一起。也就是通过直角坐标系。笛卡儿向世人证 明,几何问题可以归结成代数问题,也可以通过代数转换来发现、证明几何 性质。 其实笛卡尔曾经有个伟大构想,那就是:把一切问题归结为数学问题, 把一切数学问题归结为代数问题,把一切代数问题归结为方程,最后得到关 于一个未知数的方程。只要把这个方程解出来,就解决了任何问题。我们知 道按当代科技这个构想是不能实现的。比如化学、生物学科。就算是数学也 不能都归结为方程问题。 把几何问题归结成代数问题这是个很新鲜的想法。 比如点有个坐标,但直线由点组成,所以直线是否有代数形式,这很新 鲜的。我们知道在几何中两直线由相交、平行,那反应在代数上会是怎么回 事,也是很新鲜的。在几何中有圆,那圆的代数形式是怎样的,在几何中直 线与圆有好几种关系,这几种关系如果从代数角度讲会有新鲜的结论吗? 这节课我们讲直线的代数形式,那就是直线的方程。这是很新鲜的东西, 在笛卡尔之前是没有的。

解析几何是17世纪最伟大的数学成果之一,它的产生有着深 刻的原因. 首先,生产力的发展对数学提出了新的要求,常量数学的 局限性越来越明显了.例如,航海业的发展,向数学提出了如何

精确测定经纬度的问题;造船业则要求描绘船体各部位的曲线, 计算不同形状船体的面积和体积;显微镜与望远镜的发明,提
出了研究透镜镜面形状的问题;随着火器的发展,抛射体运动的 性质显得越来越重要了,它要求正确描述抛射体运动的轨迹,计

算炮弹的射程,特别是开普勒发现行星沿椭圆轨道绕太阳运行, 要求用数学方法确定行星位置.所有这些问题都难以在常量数
学的范围内解决.实践要求人们研究变动的量.解析几何便是在 这样的社会背景下产生的.
总结:在当时以前的几何是定性研究不是定量研究,不是精确的计算。 同学们平面几何或立体几何中有精确的计算吗?没有。

其次,解析几何的产生也是数学发展的大势所趋,因为当时 的几何与代数都相当完善了.实际上,几何学早就得到比较充 分的发展,《几何原本》建立起完整的演绎体系,阿波罗尼奥 斯的《圆锥曲线论》则对各种圆锥曲线的性质作了详尽的研 究.但几何学仍存在两个弱点,一是缺乏定量研究,

二是缺乏证题的一般方法.而当时的代数则 是一门注重定量研究、注重计算的学科.到
16世纪末,韦达(F.Vieta, 1540—1603)在代数中有系统地使 用字母,从而使这门学科具有了一般性.它在提供广泛的方法 论方面,显然高出希腊人的几何方法.于是,从代数中寻求解 决几何问题的一般方法,进行定量研究,便成为数学发展的趋 势.实际上,韦达的《分析术引论》(In artem analyticem isagoge)等著作中的一些代数问题,便是为解几何题而列出 的.

在初中平面几何中我们学习了圆与圆的位置关系。我们知 道初中的平面几何是属于笛卡尔时代之前的数学知识。当笛卡 尔把几何与代数联系起来时,我们看看用代数角度研究圆与圆 的位置关系看看有什么新鲜的结论或有什么不同的风景,并且 圆与圆的位置关系可以深入的精确的计算吗?这在平面几何中 是不可能的事情,在平面几何中判断圆与圆的位置关系是比较 肤浅的,比如直接给出圆心距和半径。我们知道笛卡尔之前几 何、代数是相互分离,老死不相往来的。

两圆位置关系的代数表示

同学们这些 结论需要死 记硬背吗?

只要让圆从 外离到内含, 那两圆位置 关系自然呈 现。

位置关系 外离 外切 代数表示 d ? R ? r d ? R ? r

相交

内切

内含

| R ? r |? d ? R ? r d ?| R ? r | d ? | R ? r |

练 习 1 圆O1和圆O2的半径分别为3厘米和4厘米,设 (1)

o1o2 =8厘米; 外离 外切 (2) o1o2 =7厘米; (3) o1o2 =5厘米; 相交 (4) o1o2 =1厘米; 内切 (5) o1o2 =0.5厘米; 内含

圆O1和圆2的位置关系怎样?

记住公式 然后去套 吗? 答:画个图 即可判断,这 是初中里平 面几何即笛 卡尔时代前 的知识。就 算有数据进 行计算也是 肤浅的不是 精确的计算

例题讲解
例1、已知圆 C1:x ? y ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0,
2 2

圆C 2:x ? y ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0,试判断圆
2 2

C1与圆 C 2的位置关系。
解:方法1:利用初中判断两圆位置关系的结论。 问:因为在笛卡尔前代数与几何分离,所以判断两圆位置关系 只有几何法即初中的结论。笛卡尔后代数和几何联系在一起, 所以除了单单几何法还有什么新鲜的判断方法或不同的风景吗? 有没有多了个新的判定方法? 先解答以下两题

例题讲解
例3、已知圆C1:x ? y ? 4 x ? 6 ? 0,与
2 2

圆C2:x ? y ? 4 y ? 6 ? 0,求两圆的公共
2 2

弦所在的直线方程,并 求公共弦AB的长
小结

求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长:

两圆作差 ? 得公共弦方程 ? 求弦心距 ? 求半弦长 ? 弦长

例题讲解
性质: 两圆相切时,两圆圆心的连线过切点;(若两 圆相交时,两圆圆心连线垂直平分公共弦)

例4、圆 x ? y ? 4 x ? 6 y ? 0和圆
2 2

x ? y ? 6 x ? 0,交于 A,B两点,
2 2

求线段 AB的垂直平分线的方程

问两圆方程相减得到什么? 答:得到是一条直线,那这条直线到底是什么东西? 答:叫做两个圆的根轴。根轴的特征是:上面任意一个点 到两圆的切线长相等。
注:这 些结论 只需了 解,因 为有助 于理解 新知识。

例题讲解
例 、已知圆 C1:x 2 ? y 2 ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0, 1 圆C 2:x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0,试判断圆 C1与圆 C 2的位置关系。

解:方法1:利用初中平面几何即笛卡尔之前的判断两 圆位置关系的方法。但比初中多了可以精确的计算,这 是笛卡尔的功劳。 方法2:

? 解法二:联立两个方程组得
? x2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 ① ? ? 2 2 ?x ? y ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 ② ?

联立方程组
消去二次项 消元得一元 二次方程

①-②得 x ? 2 y ?1 ? 0 ③ 把上式代入①
x ? 2x ? 3 ? 0 ④
2

? ? (?2)2 ? 4?1? (?3) ? 16

用Δ判断两 所以方程④有两个不相等的实根x1,x2 把x1,x2代入方程③得到y1,y2 圆的位置关
所以圆C1与圆C2有两个不同的交点 系 A(x1,y1),B(x2,y2)

小结:判断两圆位置关系
几何方法
两圆心坐标及半径(配方 法)

代数方法
? ( x ? a1 )2 ? ( y ? b1 )2 ? r12 ? ( x ? a2 )2 ? ( y ? b2 )2 ? r2 2 ?
消去y(或x)

圆心距d (两点间距离公式)

比较d和r1,r2的大小, 下结论

几何方法 虽然是古 老方法, 但可以精 确计算圆 心距和半 径却是从 笛卡尔开 始

px2 ? qx ? r ? 0

? ? ? 0 : 相交 ? ? ? ? 0 :内切或外切 ?? ? 0 : 相离或内含 ?

在平面几何 中不可能有 代数方法, 这是笛卡尔 的功劳。是 相对于几何 法多了的新 方法。

例5:求经过点M(2,-2)以及圆x 2 ? y 2 ? 6x ? 0与x 2 ? y 2 ? 4 交点的圆的方程

例3:求直线3x+2y-1=0和2x-3y-5=0的交点M的 坐标,并证明方程3x+2y-1+λ(2x-3y-5)=0 (λ为任意常数)表示过M点的所有直线(不包括 直线2x-3y-5=0)。
3x+2y-1=0 证明:联立方程 2x-3y-5=0 x y

x=1
解得: y= - 1 代入:x+2y-1+λ(2x-3y-5)= 0 即 M(1,- 1)

o

(1, - 1) M

得 0+λ·0=0

∴M点在直线上

A1x+B1y+C1+λ( A2x+B2y+C2)=0是过直A1x+B1y+C1=0 和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。


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