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函数的奇偶性_图文

函数的奇偶性

观察函数图象,你有什么发现?

f ( x ) ?| x |
y

f ( x) ?
y

1 x

o o x

x

通过观察我们发现, 在这个函数图象中,对于 任意的x,总有

通过观察我们发现, 在这个函数图象中,对于 任意的x,总有

f(x)=f(-x)

f(-x)=-f(x)

动手做一做:
请做出y=sinx和y=cosx的图像。 y=sinx y=cosx

2、奇偶函数图像的性质
(1)奇函数的图象关于原点对称。反过来, 如果一个函数的图象关于原点对称,那么 这个函数为奇函数。 (2)偶函数的图像关于y轴对称。反过来, 如果一个函数的图像关于y轴对称,那么 这个函数为偶函数。

例 1:根据下列函数图像,判断函数的奇偶性。

x

x

f (x) ? ? x ? 2
2

f ( x) ? - x ? 2 x
2

y

y

x

x

f ( x) ? 2 x ? 1

f ( x) ? 2 x

例 2:如图给出了偶函数y=f(x)的局部图像,试比较 f(1)与f(3)的大小。并做出y=f(x)的图像。

y
2

–3

–1

O

x

例3. 下面四个命题: ①偶函数的图象一定与y轴相交; ②奇函数的图象一定通过原点; ③偶函数的图象关于y轴对称; ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R). 其中正确的命题序号为________.
解析:①错误,比如f(x)=1/x? ;②错误,比如f(x)=1/x; ④错误,如f(x)=0,x∈[-1,1]。

判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)=x? +2x (2)f(x)=2x? +3cos(x)

解: 定义域为R f(-x) =(-x)? +2(-x) =-x? -2x =-(x? +2x)

解: 定义域为R

f(-x)=2(-x)? +3cos(-x) =2x? +3cos(x)
即 f(-x)=f(x) 故 f(x)为偶函数

即 f(-x)=-f(x)
故 f(x)为奇函数

根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函 数的方法和步骤是:
(1)先确定函数定义域,并判断定义域是否关于原点对称; (2)求f(-x),找 f(x)与f(-x)的关系:若f(-x)=f(x),则f(x)是偶 函数;若f(-x)= - f(x),则f(x)是奇函数。

(3)作出结论。 f(x)是偶函数或奇函数或非奇非偶 函数或即是奇函数又是偶函数。

小结:
1、图象性质: 奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y轴对称。

2、判断奇偶性方法:图象法,定义法。

经典例题
题型一 判断函数的奇偶性

【例1】判断下列各函数的奇偶性.
(1) f ( x ) ? ( x ? 1) 1? x 1? x
2

(2) f ( x) ?

lg( 1 ? x ) | x ? 2 | ?2
2

? x ? 2, x ? ?1 ? (3) f ( x ) ? ? 0 , | x |? 1 ? ? x ? 2, x ? 1. ?

分析: (1)考虑定义域;(2)利用定义域先化简函数;(3)分段讨论.

解:(1)由

1? x 1? x

≥0,得定义域为[-1,1),

不关于原点对称,∴f(x)为非奇非偶函数.

(2)由
这时

?1 ? x 2 ? 0 ? 2 ?| x ? 2 | ? 2 ? 0
f (x) ? lg ?1 ? x ?
2 2

得定义域为(-1,0)∪(0,1).
? ? lg ?1 ? x ?
2

?? x ? 2? ? 2
2

x

2


2



f (? x) ?

lg [1 ? ?? x ? ] ?? x ?
2

? ?

lg ?1 ? x ? x
2

? f (x)



∴f(x)为偶函数.

(3)当x<-1时,f(x)=x+2,-x>1,

∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x).
当x>1时,f(x)=-x+2,-x<-1,

∴f(-x)=-x+2=f(x).
当-1≤x≤1时,f(x)=0,

又-1≤-x≤1,∴f(-x)=f(x)=0.
∴对定义域内的每个x都有f(-x)=f(x), ∴f(x)是偶函数.

题型二

奇偶性的应用
ax
2

【例2】 (1)已知函数f(x)= b x ? c (a,b,c∈Z)是奇函数,又 f(1)=2,f(2)<3,求a,b,c的值; (2)已知偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(3x-1)>f(2x),求x 的取值范围. 分析: 第(1)小题关键是f(-x)=-f(x)恒成立的应用, 即
ax ? 1
2

?1

? bx ? c

?

ax ? 1
2

?? bx ? c ?

对定义域中任何x都成立,

所以-bx+c=-bx-c恒成立,可得c=0; 第(2)小题关键是利用偶函数的性质f(x)=f(|x|), 将f(3x-1)>f(2x)转化为f(|3x-1|)>f(|2x|),这样就 避免了讨论.

解:(1)由f(-x)=-f(x),得-bx+c=-(bx+c),∴c=0. 4a ? 1 又f(1)=2,得a+1=2b,而f(2)<3,得 a ? 1 <3, 解得-1<a<2. 又a∈Z,∴a=0或a=1. 1 若a=0,则b= ?Z,应舍去; 2 若a=1,则b=1∈Z. ∴a=1,b=1,c=0. (2)∵f(x)是偶函数且在(0,+∞)上是增函数, ∴由f(3x-1)>f(2x),得f(|3x-1|)>f(|2x|), 因而有|3x-1|>|2x|,化简得5x2-6x+1>0, 1 解得x< 5 或x>1. 1? ? ? ? , ? ∪(1,+∞). 则x的取值范围为 ? 5 ? ?

练习
1 判断下列函数的奇偶性.
? x 2 ? x, x ? 0 (1) f ( x ) ? ? 2 ? x ? x, x ? 0

(2) f ( x ) ? 3 ? x ? x ? 3
2 2

(3)f(x)=x2-|x-a|+2. 2 已知函数f(x)对一切x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y). (1)试判断f(x)的奇偶性; (2)若f(-3)=a,用a表示f(12).


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