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乾安县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

乾安县第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知点 M 的球坐标为(1, A.(1, , ) B.( , , ),则它的直角坐标为( C.( , , ) ) D.( ) , , )

姓名__________

分数__________

, )

2. 已知角 θ 的终边经过点 P(4,m),且 sinθ= ,则 m 等于( A.﹣3 B.3 C. D.±3

3. 设集合 A={x|y=ln(x﹣1)},集合 B={y|y=2x},则 A ? B( A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1) D.(1,2)

) )

4. 已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形,如图所示,则该几何体的体积等于(

A. 12 3
2 2

B. 16 3 ) B.

C. 20 3

D. 32 3 ,那么实数

5. 已知直线 x+y+a=0 与圆 x +y =1 交于不同的两点 A、B,O 是坐标原点,且 a 的取值范围是( A. D. C.

6. 函数 f(x)=2x﹣ A.0 B.1 C.2

的零点个数为( D.3



7. 已知在数轴上 0 和 3 之间任取一实数,则使“ log2 x ? 1 ”的概率为( A.

) D.

1 4

B.

1 8

C.

2 3

1 12

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8. 执行右面的程序框图,如果输入的 t ? [?1,1] ,则输出的 S 属于( A. [0, e ? 2] B. (- ? , e 2] C. [0,5] D. [e ? 3,5]



【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识,意在考查运算能力和转化思想的运用. 9. 设实数 ,则 a、b、c 的大小关系为( )

A.a<c<b B.c<b<a C.b<a<c D.a<b<c 10.执行右面的程序框图,若输入 x=7,y=6,则输出的有数对为( )

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A.(11,12)

B.(12,13)

C.(13,14)

D.(13,12)

11. 已知数列 ?an ? 的各项均为正数,a1 ? 2 ,an ?1 ? an ? ( A. 35 ) B. 36 C. 120

? 1 ? 4 , 若数列 ? 则n ? ? 的前 n 项和为 5, an ?1 ? an ? an?1 ? an ?
D. 121

12.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (0 ? ? ? 小距离为

?
2

) 与 y 轴的交点为 (0,1) ,且图像上两对称轴之间的最

? ,则使 f ( x ? t ) ? f (? x ? t ) ? 0 成立的 t 的最小值为( )1111] 2 ? ? ? A. B. C. 6 3 2 二、填空题
13.在复平面内,记复数 的复数为 . )= ,则 cos2α= . . +i 对应的向量为 ,若向量 饶坐标原点逆时针旋转 60°得到向量

D.

2? 3

所对应

14.设 α 为锐角,若 sin(α﹣

15.在(x2﹣ )9 的二项展开式中,常数项的值为 16.若直线 y﹣kx﹣1=0(k∈R)与椭圆

恒有公共点,则 m 的取值范围是 .



17.直角坐标 P(﹣1,1)的极坐标为(ρ>0,0<θ<π)

2e x ?1 lnx ? x ? a ?a ? R ? , 18. 【常熟中学 2018 届高三 10 月阶段性抽测 (一) 】 已知函数 f ? x ? ? 若曲线 y ? 2 x x e ?1 ( e 为自然对数的底数)上存在点 ? x0 , y0 ? 使得 f ? f ? y0 ? ? ? y0 ,则实数 a 的取值范围为__________.

三、解答题
19.如图,在 Rt△ ABC 中,∠ACB= ,AC=3,BC=2,P 是△ ABC 内一点.

(1)若 P 是等腰三角形 PBC 的直角顶角,求 PA 的长; (2)若∠BPC= ,设∠PCB=θ,求△ PBC 的面积 S(θ)的解析式,并求 S(θ)的最大值.

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20.(本小题满分 12 分)已知等差数列{ an }满足: an?1 ? an ( n ? N ), a1 ? 1,该数列的 前三项分别加上 1,1,3 后成等比数列,且 an ? 2 log2 bn ? ?1 . (1)求数列{ an },{ bn }的通项公式; (2)求数列{ an ? bn }的前项和 Tn .

?

21.在等比数列{an}中,a3=﹣12,前 3 项和 S3=﹣9,求公比 q.

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22.已知梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠B= 所示的几何体 (Ⅰ)求几何体的表面积

,DC=2AB=2BC=2

,以直线 AD 为旋转轴旋转一周的都如图

(Ⅱ)判断在圆 A 上是否存在点 M,使二面角 M﹣BC﹣D 的大小为 45°,且∠CAM 为锐角若存在,请求出 CM 的弦长,若不存在,请说明理由.

23.(1)化简: (2)已知 tanα=3,计算 的值.

24.如图,点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,B(﹣ , ). (I)若∠AOB=α,求 cosα+sinα 的值; (II)设点 P 为单位圆上的一个动点,点 Q 满足 的最大值. = + .若∠AOP=2θ, 表示| |,并求| |

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乾安县第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:设点 M 的直角坐标为(x,y,z), ∵点 M 的球坐标为(1, ∴x=sin cos = ,y=sin , sin ), = ,z=cos =

∴M 的直角坐标为( , 故选:B.

, ).

【点评】假设 P(x,y,z)为空间内一点,则点 P 也可用这样三个有次序的数 r,φ,θ 来确定,其中 r 为原 点 O 与点 P 间的距离,θ 为有向线段 OP 与 z 轴正向的夹角,φ 为从正 z 轴来看自 x 轴按逆时针方向转到 OM 所转过的角,这里 M 为点 P 在 xOy 面上的投影.这样的三个数 r,φ,θ 叫做点 P 的球面坐标,显然,这里 r, φ,θ 的变化范围为 r∈[0,+∞),φ∈[0,2π],θ∈[0,π], 2. 【答案】B 【解析】解:角 θ 的终边经过点 P(4,m),且 sinθ= , 可得 解得 m=3. 故选:B. 【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用,基本知识的考查. 3. 【答案】A 【解析】解:集合 A={x|y=ln(x﹣1)}=(1,+∞),集合 B={y|y=2x}=(0,+∞) 则 A∪B=(0,+∞) 故选:A. 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题目. 4. 【答案】C 【解析】 ,(m>0)

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考点:三视图. 5. 【答案】A 【解析】解:设 AB 的中点为 C,则 因为 所以|OC|≥|AC|, 因为|OC|= 所以 2(
2 2 ,|AC| =1﹣|OC| , 2 ) ≥ 1,



所以 a≤﹣1 或 a≥1, 因为 <1,所以﹣ <a< , ,

所以实数 a 的取值范围是 故选:A.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,属于中档题. 6. 【答案】C 【解析】解:易知函数的定义域为{x|x≠1}, ∵ >0,

∴函数在(﹣∞,1)和(1,+∞)上都是增函数, 又 <0,f(0)=1﹣(﹣2)=3>0,

故函数在区间(﹣4,0)上有一零点; 又 f(2)=4﹣4=0, ∴函数在(1,+∞)上有一零点 0, 综上可得函数有两个零点. 故选:C. 【点评】本题考查函数零点的判断.解题关键是掌握函数零点的判断方法.利用函数单调性确定在相应区间的 零点的唯一性.属于中档题.

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7. 【答案】C 【解析】 试题分析:由 log2 x ? 1 得 0 ? x ? 2 ,由几何概型可得所求概率为 考点:几何概型. 8. 【答案】B

2?0 2 ? .故本题答案选 C. 3?0 3

9. 【答案】A 【解析】解:∵ ∴a<c<b. 故选:A. 10.【答案】 A 【解析】解:当 n=1 时,满足进行循环的条件,故 x=7,y=8,n=2, 当 n=2 时,满足进行循环的条件,故 x=9,y=10,n=3, 当 n=3 时,满足进行循环的条件,故 x=11,y=12,n=4, 当 n=4 时,不满足进行循环的条件, 故输出的数对为(11,12), 故选:A 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答. 11.【答案】C 【解析】解析:本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前 n 项和.由 an ?1 ? an ?
2 2 2 4 4 a2 an ?1 ? an ? 4 ,∴ ? n ? 是等差数列,公差为 ,首项为 ,∴ an ? 4 ? 4(n ? 1) ? 4n ,由 an ? 0 得
0.1 0 ,b=2 >2 =1,0< 0 <0.9 =1.

4 得 an ?1 ? an

an ? 2 n .

? 1 ? 1 1 1 ? ? ( n ? 1 ? n ) ,∴数列 ? ? 的前 n 项和为 an?1 ? an 2 n ? 1 ? 2 n 2 ? an?1 ? an ? 1 1 1 1 ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2) ? ? ? ( n ? 1 ? n ) ? ( n ? 1 ? 1) ? 5 ,∴ n ? 120 ,选 C. 2 2 2 2
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12.【答案】A 【解析】

考 点:三角函数的图象性质.

二、填空题
13.【答案】 2i .

【解析】解:向量 (

饶坐标原点逆时针旋转 60°得到向量所对应的复数为 +i)( )=2i

+i)(cos60°+isin60°)=(

,故答案为 2i. 【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法及其集合意义,判断旋转 60°得到向量对应的复数为( (cos60°+isin60°),是解题的关键. 14.【答案】 ﹣ . )= , +i)

【解析】解:∵α 为锐角,若 sin(α﹣ ∴cos(α﹣ ∴sin
2 ∴cos2α=1﹣2sin α=﹣

)=

, = . [sin(α﹣ )+cos(α﹣ )]= ,

故答案为:﹣



【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式,二倍角的余弦函数公式的应用,属于基础题. 15.【答案】 84 .
2 9 【解析】解:(x ﹣ ) 的二项展开式的通项公式为 Tr+1=

?(﹣1)r?x18﹣3r,

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令 18﹣3r=0,求得 r=6,可得常数项的值为 T7= 故答案为:84.

=

=84,

【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,属于基础题. 16.【答案】 [1,5)∪(5,+∞) . 【解析】解:整理直线方程得 y﹣1=kx, ∴直线恒过(0,1)点,因此只需要让点(0.1)在椭圆内或者椭圆上即可, 由于该点在 y 轴上,而该椭圆关于原点对称, 故只需要令 x=0 有 5y2=5m 2 得到 y =m 要让点(0.1)在椭圆内或者椭圆上,则 y≥1 即是 y2≥1 得到 m≥1 ∵椭圆方程中,m≠5 m 的范围是[1,5)∪(5,+∞) 故答案为[1,5)∪(5,+∞) 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.本题采用了数形结合的方法,解决问题较为直观.

17.【答案】 【解析】解:ρ= ∴点 P 的极坐标为 故答案为: 18.【答案】 ? ??, ? e .

. ,tanθ= =﹣1,且 0<θ<π,∴θ= .

= .

? ?

1? ?

2e x ?1 1 ? e2 x 2e x ?1 【解析】结合函数的解析式: y ? 2 x 可得: y ' ? , 2 e ?1 e2 x ? 1

?

?

?

?

令 y′=0,解得:x=0, 当 x>0 时,y′>0,当 x<0,y′<0, 则 x∈(-∞,0),函数单调递增,x∈(0,+∞)时,函数 y 单调递减,
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则当 x=0 时,取最大值,最大值为 e, ∴y0 的取值范围(0,e], 结合函数的解析式: f ? x ? ? x∈(0,e), f ' ? x ? ? 0 , 下面证明 f(y0)=y0. 假设 f(y0)=c>y0,则 f(f(y0))=f(c)>f(y0)=c>y0,不满足 f(f(y0))=y0. 同理假设 f(y0)=c<y0,则不满足 f(f(y0))=y0. 综上可得:f(y0)=y0.

x 2 ? lnx ? 1 lnx ? x ? a ? a ? R ? 可得: f ' ? x ? ? , x x2

则 f(x)在(0,e)单调递增,

lnx ? x?a ? x . x lnx 1 ? lnx 设 g ? x? ? ,求导 g ' ? x ? ? , x x2
令函数 f ? x ? ? 当 x∈(0,e),g′(x)>0, g(x)在(0,e)单调递增, 当 x=e 时取最大值,最大值为 g ? e ? ? 当 x→0 时,a→-∞, ∴a 的取值范围 ? ??, ? . e

1 , e

? ?

1? ?

点睛:(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号.而解答本题(2)问时,关键是分离 参数 k,把所求问题转化为求函数的最小值问题. (2)若可导函数 f(x)在指定的区间 D 上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为 f′(x)≥0(或 f′(x) ≤0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)∵P 为等腰直角三角形 PBC 的直角顶点,且 BC=2, ∴∠PCB= ∵∠ACB= ,PC= , , =5,

,∴∠ACP=

2 2 2 在△PAC 中,由余弦定理得:PA =AC +PC ﹣2AC?PC?cos

整理得:PA=



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(2)在△PBC 中,∠BPC= ∴∠PBC= ﹣θ, = sin(

,∠PCB=θ,

由正弦定理得: ∴PB= sinθ,PC=

= ﹣θ), = . sin(



∴△PBC 的面积 S(θ)= PB?PCsin 则当 θ= 时,△PBC 面积的最大值为

﹣θ)sinθ=

sin(2θ+

)﹣

,θ∈(0,

),

【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 20.【答案】(1) an ? 2n ? 1, bn ? 【解析】

1 2n ? 3 ;(2) Tn ? 3 ? . n 2n 2

试题分析:(Ⅰ1)设 d 为等差数列 ?an ?的公差,且 d ? 0 ,利用数列的前三项分别加上 1,1,3 后成等比数列,

1 3 3 2n ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n 利用错位相减法求和即可. 1 2 2 2 2 试题解析:解:(1)设 d 为等差数列 ?an ?的公差, d ? 0 ,
求出 d ,然后求解 bn ;(2)写出 Tn ? 由 a1 ? 1, a2 ? 1 ? d , a3 ? 1 ? 2d ,分别加上 1,1,3 后成等比数列,111.Com] 所以 (2 ? d ) 2 ? 2(4 ? 2d ) ∴ an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 又 an ? ?2 log2 bn ? 1 ∴ log2 bn ? ?n ,即 bn ?

? d ? 0 ,? d ? 2
1 2n
(6 分)

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考点:数列的求和. 21.【答案】 【解析】解:由已知可得方程组 ,

第二式除以第一式得

= ,

2 整理可得 q +4q+4=0,解得 q=﹣2.

22.【答案】 【解析】解:(1)根据题意,得; 该旋转体的下半部分是一个圆锥, 上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体, 其表面积为 S= ×4π×2 或 S= ×4π×2 ×2=8 π, ﹣2π× )+ ×2π× =8 π;

+ ×(4π×2

(2)作 ME⊥AC,EF⊥BC,连结 FM,易证 FM⊥BC, ∴∠MFE 为二面角 M﹣BC﹣D 的平面角, 设∠CAM=θ,∴ EM=2sinθ,EF= ,

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∵tan∠MFE=1,∴ ∴CM=2 .

,∴tan

=

,∴



【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题,也考查了空间想象能力的应用问题,是综合性题 目. 23.【答案】 【解析】解:(1) =

=cosαtanα=sinα. (2)已知 tanα=3,∴ = = = .

【点评】本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系,属于基础题. 24.【答案】 【解析】 解:(Ⅰ)点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,B(﹣ , ). 可得 sinα= ,cosα= ,∴cosα+sinα= . = =(1+cos2θ,sin2θ),

(Ⅱ)因为 P(cos2θ,sin2θ),A(1,0)所以

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所以 所以 |

= =2|cosθ|∈ . ,

=

=2|cosθ|,因为



|的最大值

【点评】本题考查三角函数的定义的应用,三角函数最值的求法,考查计算能力.

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