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南溪一中高2013级第一次月考数学试题

南溪一中 2014~2015 学年上期高中 2013 级第一次月考试题 数学学科(供创新部理科使用)
教学研究指导中心:命题人:张 利 审题人: 杨 波 本试卷分为选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分。考试时间:120 分钟。 注意事项:①答题前,考生务必将自己的姓名、考号、班级涂写在答题卡上; ②所有答案一律填涂或写在答题卡上,答在试题卷上的一律无效; ③考试结束,只收答题卡,不收试题卷。 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1、l1、l2 是两条异面直线,直线 m1、m2 与 l1、l2 都相交,则 m1、m2 的位置关系是( ) A.相交或异面 B.相交 C.异面 D.异面或平行 2、 设 a, b, c 是空间三条直线, 则下列命题不成立 的是 ( ) ? ,? 是空间两个平面, ... B.当 b ? ? ,且 c 是 a 在 ? 内的射影时,若 b⊥c,则 a⊥b C.当 b ? ? ,且 c ? ? 时,若 c∥ ? ,则 b∥c D.当 b ? ? 时,若 b⊥ ? ,则 ? ? ? 3、如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误 的是( ). .. A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 角为 60° 4、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
D1 A1 B1 C1

A.当 c ? ? 时,若 c ⊥ ? ,则 ? ∥ ?

(第 3 题)

D A B

C

(第 4 题图) (第 5 题图) A. 2π B.2 2π C.(2 2+1)π D.(2 2+2)π (第 6 题图) )

5、棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,四面体 AB1CD1 的体积为(

1 A. 4

1 B. 3

1 C. 2

2 D. 3

6、如图 6,六棱锥 P—ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC,PA=2AB,则下 列结论正确的是( ) A.PB⊥AD B.平面 PAB⊥平面 PBC C.直线 BC∥平面 PAE D.平面 PAB⊥平面 PAE 7.已知直线 a 和平面 ? ,则能推出 a // ? 的是( )
1 南溪一中高 2013 级理科数学学科试题卷(供创新部使用) 第 1 页 共4页

A. 存在一条直线b, a // b, 且b // ? C. 存在一个平面? , a ? ? , 且? // ?

B. 存在一条直线b, a ? b, 且b ? ? D. 存在一个平面? , a // ? , 且? // ?

8.在空间四边形 ABCD 中, E , F , G, H 分别是 AB, BC, CD, DA 的中点。若 AC =BD

? a ,若四边形 EFGH 的面积为

3 2 a ,则异面直线 AC 与 BD 所成的角为( 8



A 、 30 0 B 、 60 0 ; D 、 60 0 或 1200 。 C 、 1200 ; 9.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的
体积为
1 正视图 2 2 侧视 图

3

(8 ? ? ) 3 6 (6 ? ? ) 3 C. 6
A.

(8 ? 2? ) 3 6 (9 ? 2? ) 3 D. 6
B. ) D.50π

俯视图

10.已知矩形 ABCD 的面积为 8,当矩形 ABCD 周长最小时,沿对角线 AC 把△ACD 折 起,则四面体 ABCD 的外接球表面积等于( A.8π B.16π C.48 2π

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,满 25 分,把答案填在答题卡上对 应题号后的横线上) 11、已知棱长为 2 ,各面均为等边三角形的四面体 S-ABC,则 它的表面积为 。

12、 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 ABCD, 如图所示,∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,这个平面图形的面积_ ___.

13、四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,其他四个侧面都是侧棱长 为 5 的等腰三角形,则二面角 V-AB-C 的平面角的大小为
2

.

14.已知圆锥的表面积为 a m , 且它的侧面展开图是一个半圆, 则这个圆锥的底面半径 为是______. 15、已知球 O1、O2 的半径分别为 1, r ,体积分别为 V1、V2 ,表面积分别为 S1、S2 ,当

r ? (1, ??) 时,

V2 ? V1 的取值范围是 S2 ? S1

。 (参考公式:球的体积公式:

2 南溪一中高 2013 级理科数学学科试题卷(供创新部使用) 第 2 页 共4页

4 V ? ? R 3 , 球的表面积公式: S ? 4? R2 ,其中,R 为球的半径) 3
三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演 算步骤) 16.(本小题满分 12 分) 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P、Q 分别是正方形 AA1D1D 和 A1B1C1D1 的中心。 (Ⅰ)求异面直线 PQ 与 B1C 所成的角; (Ⅱ)求 PQ 与平面 AA1D1D 所成的角.
D A P D1 A1 Q B1 C1 B C

17.(本小题满分 12 分) O 为菱形 ABCD 对角线的交点, 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, M 为棱 PD 的中点, MA ? MC. P (Ⅰ)求证:PB // 平面 AMC; (Ⅱ)求证:平面 PBD ? 平面 AMC. M O D A O
(第 17 题)

C B

18.(本小题满分 12 分) 如图,边长为 2 的正方形 ABCD,E,F 分别是 AB,BC 的中点,将△AED,△DCF 分别沿 DE,DF 折起,使 A,C 两点重合于 A? 。 (1)求证: A?D ⊥EF; (2)求二面角 A? ? EF ? D 的平面角的余弦值.
A B A/

E

E

D F B

D F C

图3
3 南溪一中高 2013 级理科数学学科试题卷(供创新部使用) 第 3 页 共4页

19.(本小题满分 12 分) 如图所示,平面 ? //平面 ? ,点 A ?? , C ?? ,点 B ? ? , D ? ? ,点 E,F 分别在线 段 AB,CD 上, AB,CD 所在直线异面,且 AE : EB ? CF : FD (Ⅰ)求证: EF // ? ; (Ⅱ)若 E,F 分别是 AB,CD 的中点, AC ? 4, 且 AC,BD 所成的角为 60 ? ,求 EF 的长.

BD ? 6 ,

20.(本小题满分 13 分) 如图,在四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中, AA1⊥底面 ABCD ,底面 ABCD 是菱形, ∠ DAB=60° ,AA1=4,AB=2,点 E 在棱 CC1 上,点 E 是棱 C1C 上一点。 (Ⅰ)求证:无论 E 在任何位置,都有 A1E⊥ BD (Ⅱ)试确定点 E 的位置,使得 A1—BD—E 为直二面角,并说明理由。 (Ш)试确定点 E 的位置,使得四面体 A1—BDE 体积最大。并求出体积的最大值。

D1 A1 B1

C1

E D C A B

21、(本小题满分 14 分) 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, ?PAB ? ?PAC ? ?ACB ? 90 . (Ⅰ)求证:平面 PBC ? 平面 PAC ; (Ⅱ)若 PA ? 1, AB=2 ,当三棱锥 P ? ABC 的体积最大时,在线段 AC 上是否存在 一点 D ,使得直线 BD 与平面 PBC 所成角为 30 ?若存在,求出 CD 的长;若不存在, 说明理由。 (参考公式:棱锥的体积公式 V ? 1 Sh ,其中 S 表示底面积, h 表示棱锥的
3

高)

P

B C
4 南溪一中高 2013 级理科数学学科试题卷(供创新部使用) 第 4 页 共4页

A

解: (Ⅰ)∵ ,∴ , . ∵ ,∴ 平面 ------------------------1 分 ∵ 平面 ,∴ .------------------------2 分 ∵ ,∴ .∵ ,∴ 平面 .------------3 分 ∵ 平面 ,∴平面 平面 .------------4 分 (Ⅱ)由已知及(Ⅰ)所证可知, 平面 , , ∴ 是三棱锥 的高.∵ , , ,设 ,则 , . ,∴ ------6 分 ∴当 , 有最大值 ,此时 .------------7 分 以 为原点,建立如图的空间直角坐标系 ,则 , 设 是平面 的法向量, 则 , 取 ,得 ,------------9 分 设线段 上的点 的坐标为 ,则 , ∵ ,解得 , ------------11 分 ∴在线段 上不存在点 ,使得直线 与平面 所成角为 。------------12 分

(1)证明:∵ABCD 是正方形, ∴DA⊥AE, DC⊥CF, ∴DA/⊥A/E, DA/⊥A/F, 又 A/E∩A/F=A/, ∴DA/⊥平面 A/EF, 又 EF ? 平面 A/EF, ∴DA/⊥EF。 (2)取 EF 的中点 M,连 A/M,DM,则在△A/EF 中, ∵A/E=AE=1,A/F=CF=1, ∴A/M ⊥EF, ∴DE=DF= 22 ?1 ? 5 , ∴DM ⊥EF 所以∠A/MD 是二面角 A? ? EF ? D 的平面角, 9分 10 分 8分 2分 3分 4分 5分 6分 7分

在△BEF 中,BE=BF=1,BE⊥BF, 5 南溪一中高 2013 级理科数学学科试题卷(供创新部使用) 第 5 页 共4页

∴EF= 2 ,∴A/M=

2 ,又 A/D=1, 2

11 分

∵DA/⊥平面 A/EF,∴A/D ⊥A/M,又 A/D=2,

∴DM=

A/ M 2 ? A/ D2 =

3 2 , 2

12 分

∴cos∠A/MD=

A/ M 1 ? , DM 3
1 。 3

13 分

所以二面角 A? ? EF ? D 的平面角的余弦值是

14 分

20.解: (1)因为 AA1⊥ 底面 ABCD,底面 ABCD 是菱形, 所以

? ? BD ? AC ? ? ? BD ? 平面AA1C1C ? BD ? AA1 ? ? ? BD ? A1 E A1 E ? 平面AA1C1C ? ?
………4 分 (2)由(1)得 BD ? 平面AA 1C1C , 所以二面角 A1—BD—E 的平面角为 ?A 1OE . 令 CE ? x ,则易得

D1 A1 B1

C1

E D A O C B

A1O ? A1 E ?

AA12 ? AO 2 ? 19, OE ? OC 2 ? CE 2 ? x 2 ? 3, A1C12 ? C1 E 2 ? 12 ? (4 ? x) 2
2 2 2

又因为 A1 E ? A1O ? OE ? x ? (3)因为 VA1 ? BDE ? VE ? A1BD ?

3 ……………………8 分 4

1 S 3

A1BD

? d E ? A1BD

另一方面,因为 BD ? 平面AA 1C1C ,所以 平面A 1 BD ? 平面AA 1C1C , 过 E 作 A1O 的垂线与 H,则必有 EH ? 平面A =EH 1 BD ,从而 d E ? A 1BD
6 南溪一中高 2013 级理科数学学科试题卷(供创新部使用) 第 6 页 共4页

所以当 EH 最大时,四面体 A1—BDE 体积最大。 所以当 E 点和 C1 重合时体积最大。此时 EH ?

8 57 ,………………11 分 19

从而 VA1 ? BDE ? VE ? A1BD ? 21、解:

1 S 3

A1BD

? d E ? A1BD =

8 3 ……………………13 分 3

?? ? ? , ? 平面ABD ? 平面BCD ? ?
(1)

A P D M Q B R N C

2 又易得CD ? BD

?? ? ?

CD ? 平面ABD ? CD ? AB
.………3 分 (2)不存在

因如果有AC ? BD ? ? ? BD ? 平面ACD ? BD ? AD (矛盾)……6 分 又有CD ? BD ?
(3)在 BN 线段去点 R 使得

AP ? NR ? NQ ? ? (? ? R) PB RB QD
从而易得 PR / / AN 且RQ / / BDA , ?1 =?PQR,?2 =?QPR 另一方面,易证 AM ? BD, MN ? BD ,从而 ? =?AMN 。

又AM ? BD, MN ? BD ? BD ? 平面AMN ? BD ? AN ? ? ? ? ?PRQ= 2 又有PR / / AN 且RQ / / BDA ?
从而有 ?1 +?2 =

? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 1 1 2
2

? sin ?1 ? sin ? 2 ? 2(sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ) ? 2 ……………………11 分
当且仅当 sin ?1 ? sin ?2 ,即 ?1 ? ?2 时取得最大值。 此时有 PR ? QR ,又
7 南溪一中高 2013 级理科数学学科试题卷(供创新部使用) 第 7 页 共4页

? PR ? BP ? 1 ? PR ? 1 AN ? 1 AN BA 1 ? ? 1? ? 1? ? ? 1 2 ? 2cos ? 1? ?

AM 2 ? MN 2 ? 2 MN ? AN cos ?

?

QR NQ ? ? ? ? QR ? ? BD ? ? ? 2 ? 2? BD ND 1 ? ? 1? ? 1? ? 1? ? ? PR ? QR ? 1 2 ? 2 cos ? ? 2? ? 2 ? 2 cos ? ? 2? ? 1? ? 1? ? ………14 分 ? ? 1 ? cos ? ? sin ? 2 2

8 南溪一中高 2013 级理科数学学科试题卷(供创新部使用) 第 8 页 共4页


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