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沾化区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

沾化区高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知全集 U=R,集合 A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥3},图中阴影部分所表示的集合为 ( )

座号_____

姓名__________

分数__________

A.{1}

B.{1,2}

C.{1,2,3}

D.{0,1,2} )

2. 已知集合 A ? {x| lgx ? 0} , B ={x | A. (0,3] B. (1, 2]

1 ? x ? 3} ,则 A B ? ( 2 1 C. (1,3] D. [ ,1] 2

【命题意图】本题考查对数不等式解法和集合的运算等基础知识,意在考查基本运算能力. 3. 对于函数 f(x),若? a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)为某一三角形的三边长,则称 f(x)为“可 构造三角形函数”,已知函数 f(x)= A. C. D. 是“可构造三角形函数”,则实数 t 的取值范围是( )

4. 过点(﹣1,3)且平行于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为( A.x﹣2y+7=0 A.4 B.2x+y﹣1=0 B.5 C.x﹣2y﹣5=0

) D.2x+y﹣5=0 ) D. 3 3 C. 3 2

5. 如图是某几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为(

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6. 已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)﹣g(x)=x3﹣2x2,则 f(2)+g(2) =( A.16 ) B.﹣16 C.8 D.﹣8 ) D.125 种 )

7. 现准备将 7 台型号相同的健身设备全部分配给 5 个不同的社区,其中甲、乙两个社区每个社区至少 2 台, 其它社区允许 1 台也没有,则不同的分配方案共有( A.27 种 B.35 种 C.29 种

8. 已知向量 a ? (t ,1) , b ? (t ? 2,1) ,若 | a ? b |?| a ? b | ,则实数 t ? (

A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2 【命题意图】本题考查向量的概念,向量垂直的充要条件,简单的基本运算能力. 9. 已知 A, B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 60? , C 为该球面上的动点,若三棱锥 O ? ABC 体积的最大 值为 18 3 ,则球 O 的体积为( A. 81? 求解能力. 10.已知函数 f(x)满足:x≥4,则 f(x)= A. B. C. D. +2a13=0,且数列{bn} 是等比数列,若 b8=a8,则 b4b12=( ) ) ;当 x<4 时 f(x)=f(x+1),则 f(2+log23)=( ) B. 128? ) C. 144 ? D. 288?

【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质,意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算

11.已知等差数列{an}满足 2a3﹣a A.2 B.4 C.8 D.16

12.有 30 袋长富牛奶,编号为 1 至 30,若从中抽取 6 袋进行检验,则用系统抽样确定所抽的编号为( A.3,6,9,12,15,18 B.4,8,12,16,20,24 C.2,7,12,17,22,27 D.6,10,14,18,22,26

二、填空题
13.命题“ ?x ? (0, ) , sin x ? 1 ”的否定是 2 x-2y+1≤0

?





? ? 14.若 x、y 满足约束条件?2x-y+2≥0,z=3x+y+m 的最小值为 1,则 m=________. ?x+y-2≤0 ?
15.已知 f(x)= ,则 f(﹣ )+f( )等于 .
1 16.已知函数 f ? x ? ? x3 ? mx ? , g ? x ? ? ? ln x . min ?a, b? 表示 a , b 中的最小值,若函数 4 h ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ?? ? x ? 0? 恰有三个零点,则实数 m 的取值范围是 ▲ .

17.函数 f ? x ? ? xe x 在点 1, f ?1? 处的切线的斜率是

?

?

.

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18.已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an}的前 n 项和.若 a1,a3 是方程 x2﹣5x+4=0 的两个根,则 S6=



三、解答题
19.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos? ? y ? sin ?

( ? 为参数),过点 P(1,0) 的直线交曲线 C 于 A、B 两点.

(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程; (2)求 | PA | ? | PB | 的最值.

20.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,且 a4=7,S4=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

21.若函数 f(x)=sinωxcosωx+

sin2ωx﹣

(ω>0)的图象与直线 y=m(m 为常数)相切,并且切点的横

坐标依次构成公差为 π 的等差数列. (Ⅰ)求 ω 及 m 的值; (Ⅱ)求函数 y=f(x)在 x∈[0,2π]上所有零点的和.

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22.等差数列{an} 中,a1=1,前 n 项和 Sn 满足条件 (Ⅰ)求数列{an} 的通项公式和 Sn;
n 1 (Ⅱ)记 bn=an2 ﹣ ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.



23.为了培养学生的安全意识,某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动,共有 800 名学生参加了这次竞 赛.为了解本次竞赛的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计, 得到如下的频率分布表,请你根据频率分布表解答下列问题: (1)求出频率分布表中①、②、③、④、⑤的值; (2)为鼓励更多的学生了解“安全自救”知识,成绩不低于 85 分的学生能获奖,请估计在参加的 800 名学生 中大约有多少名学生获奖? (3)在上述统计数据的分析中,有一项指标计算的程序框图如图所示,则该程序的功能是什么?求输出的 S 的值. 序号 (i) 1 2 3 4 合计 分组 (分数) 组中值 频数 (人数) ① 20 ③ ④ 50 频率 (Fi) 0.10 ② 0.20 ⑤ 1 (Gi) [60,70) 65 [70,80) 75 [80,90) 85 [90,100) 95

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24.(本题满分 15 分) 设点 P 是椭圆 C1 :

x2 y2 x2 2 C : ? ? 1(t ? 1) 交于 A , 上任意一点, 过点 作椭圆的切线, 与椭圆 ? y ?1 P 2 4t 2 t 2 4

B 两点.

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(1)求证: PA ? PB ; (2) ?OAB 的面积是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由. 【命题意图】本题考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,意在考查解析几何的基本思想方 法和综合解题能力.

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沾化区高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合 A 中,但不在集合 B 中. 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(CUB)∩A, 又 A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥3}, ∵CUB={x|x<3}, ∴(CUB)∩A={1,2}. 则图中阴影部分表示的集合是:{1,2}. 故选 B. 【点评】本小题主要考查 Venn 图表达集合的关系及运算、Venn 图的应用等基础知识,考查数形结合思想.属 于基础题. 2. 【答案】D 【解析】由已知得 A= {x 0 < x ? 1} ,故 A 3. 【答案】D 【解析】解:由题意可得 f(a)+f(b)>f(c)对于?a,b,c∈R 都恒成立, 由于 f(x)= =1+ ,

1 B ? [ ,1] ,故选 D. 2

①当 t﹣1=0,f(x)=1,此时,f(a),f(b),f(c)都为 1,构成一个等边三角形的三边长, 满足条件. ②当 t﹣1>0,f(x)在 R 上是减函数,1<f(a)<1+t﹣1=t, 同理 1<f(b)<t,1<f(c)<t, 由 f(a)+f(b)>f(c),可得 2≥t,解得 1<t≤2. ③当 t﹣1<0,f(x)在 R 上是增函数,t<f(a)<1, 同理 t<f(b)<1,t<f(c)<1, 由 f(a)+f(b)>f(c),可得 2t≥1,解得 1>t≥ 综上可得, ≤t≤2, ,2], .

故实数 t 的取值范围是[ 故选 D.

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【点评】本题主要考查了求参数的取值范围,以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域,同时 考查了分类讨论的思想,属于难题. 4. 【答案】A 【解析】解:由题意可设所求的直线方程为 x﹣2y+c=0 ∵过点(﹣1,3) 代入可得﹣1﹣6+c=0 则 c=7 ∴x﹣2y+7=0 故选 A. 【点评】本题主要考查了直线方程的求解,解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程 x﹣ 2y+c=0. 5. 【答案】D 【解析】 试题分析:因为根据几何体的三视图可得,几何体为下图 AD, AB, AG 相互垂直,面 AEFG ? 面

ABCDE, BC // AE, AB ? AD ? AG ? 3, DE ? 1 ,根据几何体的性质得: AC ? 3 2, GC ? 32 ? (3 2) 2

? 27 ? 3 3, GE ? 32 ? 42 ? 5 , BG ? 3 2, AD ? 4, EF ? 10, CE ? 10 ,所以最长为 GC ? 3 3 .

考点:几何体的三视图及几何体的结构特征. 6. 【答案】B 【解析】解:∵f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)﹣g(x)=x ﹣2x ,
3 2 ∴f(﹣2)﹣g(﹣2)=(﹣2) ﹣2×(﹣2) =﹣16. 3 2

即 f(2)+g(2)=f(﹣2)﹣g(﹣2)=﹣16. 故选:B. 【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法,考查计算能力. 7. 【答案】 B 【解析】 排列、组合及简单计数问题.

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【专题】计算题. 【分析】根据题意,可将 7 台型号相同的健身设备看成是相同的元素,首先分给甲、乙两个社区各台设备,再 将余下的三台设备任意分给五个社区,分三种情况讨论分配方案,①当三台设备都给一个社区,②当三台设 备分为 1 和 2 两份分给 2 个社区,③当三台设备按 1、1、1 分成三份时分给三个社区,分别求出其分配方案 数目,将其相加即可得答案. 【解答】解:根据题意,7 台型号相同的健身设备是相同的元素, 首先要满足甲、乙两个社区至少 2 台,可以先分给甲、乙两个社区各 2 台设备, 余下的三台设备任意分给五个社区, 分三种情况讨论: ①当三台设备都给一个社区时,有 5 种结果, ②当三台设备分为 1 和 2 两份分给 2 个社区时,有 2×C52=20 种结果, ③当三台设备按 1、1、1 分成三份时分给三个社区时,有 C53=10 种结果, ∴不同的分配方案有 5+20+10=35 种结果; 故选 B. 【点评】本题考查分类计数原理,注意分类时做到不重不漏,其次注意型号相同的健身设备是相同的元素. 8. 【答案】B 【解析】由 | a ? b |?| a ? b | 知, a ? b ,∴ a ? b ? t (t ? 2) ? 1?1 ? 0 ,解得 t ? ?1 ,故选 B. 9. 【答案】D 【解析】 当 OC ? 平面 AOB 平面时, 三棱锥 O ? ABC 的体积最大, 且此时 OC 为球的半径. 设球的半径为 R , 则由题意,得 ? 10.【答案】A 【解析】解:∵3<2+log23<4,所以 f(2+log23)=f(3+log23) 且 3+log23>4 ∴f(2+log23)=f(3+log23) = 故选 A. 11.【答案】D 【解析】解:由等差数列的性质可得 a3+a13=2a8,
2 即有 a8 =4a8,

1 1 4 ? R 2 sin 60?? R ? 18 3 ,解得 R ? 6 ,所以球的体积为 ?R 3 ? 288? ,故选 D. 3 2 3

解得 a8=4(0 舍去),

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即有 b8=a8=4,
2 由等比数列的性质可得 b4b12=b8 =16.

故选:D. 12.【答案】C 【解析】解:从 30 件产品中随机抽取 6 件进行检验, 采用系统抽样的间隔为 30÷6=5, 只有选项 C 中编号间隔为 5, 故选:C.

二、填空题

13.【答案】 ?x ? 0, 【解析】

? ?2 ?
?

, sin ≥ 1

试题分析:“ ?x ? (0, ) , sin x ? 1 ”的否定是 ?x ? 0, , sin ≥ 1 2 2 考点:命题否定 【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作:①找到命题所含的量词,没有量词的要结合 命题的含义加上量词,再进行否定;②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“?x∈M,p(x)”是 真命题,需要对集合 M 中的每个元素 x,证明 p(x)成立;要判定一个全称命题是假命题,只要举出集合 M 中的一个特殊值 x0,使 p(x0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个 x =x0,使 p(x0)成立即可,否则就是假命题. 14.【答案】 【解析】解析:可行域如图,当直线 y=-3x+z+m 与直线 y=-3x 平行,且在 y 轴上的截距最小时,z 才能 取最小值,此时 l 经过直线 2x-y+2=0 与 x-2y+1=0 的交点 A(-1,0),zmin=3×(-1)+0+m=-3 +m=1, ∴m=4.

? ??

答案:4
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15.【答案】 4 .

【解析】解:由分段函数可知 f( )=2× = . f(﹣ )=f(﹣ +1)=f(﹣ )=f(﹣ ∴f( )+f(﹣ )= + 故答案为:4. . )=f( )=2× = ,

5 3 16.【答案】 ? , ? 4 4 【解析】

?

?

2 试题分析: f ? ? x ? ? 3x ? m ,因为 g ?1? ? 0 ,所以要使 h ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ?? ? x ? 0? 恰有三个零点,须满足

f ?1? ? 0, f (

5 ?m 1 5 3 ?m ) ? 0, m ? 0 ,解得 m ? ? , ? ?? ?m?? 3 4 3 2 4 4

考点:函数零点 【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题,一般先通过导数研究函数的 单调性、最大值、最小值、变化趋势等,再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况,归根到底还 是研究函数的性质,如单调性、极值,然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 17.【答案】 2e 【解析】 试题分析:

f ? x ? ? xex ,? f ' ? x ? ? ex ? xex ,则 f ' ?1? ? 2e ,故答案为 2e .

考点:利用导数求曲线上某点切线斜率. 18.【答案】63 【解析】解:解方程 x2﹣5x+4=0,得 x1=1,x2=4. 因为数列{an}是递增数列,且 a1,a3 是方程 x2﹣5x+4=0 的两个根, 所以 a1=1,a3=4. 设等比数列{an}的公比为 q,则 则 故答案为 63. 【点评】本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前 n 项和,是基础的计算题. ,所以 q=2. .

三、解答题

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19.【答案】(1) 【解析】

1 x2 ? y 2 ? 1 .(2) | PA | ? | PB | 的最大值为,最小值为 . 2 2

试 题解析:解:(1)曲线 C 的参数方程为 ? 得曲线 C 的普通方程为

? x ? 2 cos? ? y ? sin ?
(3 分)

( ? 为参数),消去参数 ?

? x ? 1 ? t cos? ? x ? 1 ? t cos? x2 ? y2 ? 1 (2)由题意知,直线的参数方程为 ? (为参数),将 ? 代入 2 ? y ? t sin ? ? y ? t sin ? 2 2 2 得 (cos ? ? 2 sin ? )t ? 2t cos? ? 1 ? 0 (6 分) 1 1 1 ? ? [ ,1] . 设 A, B 对应的参数分别为 t1, t2 ,则 | PA | ? | PB |?| t1t2 |? 2 2 2 cos ? ? 2 sin ? 1 ? sin ? 2 1 ∴ | PA | ? | PB | 的最大值为,最小值为 . (10 分) 2
考点:参数方程化成普通方程. 20.【答案】 【解析】解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,依题意得 解得:a1=1,d=2an=2n﹣1… (2)由①得 ∴ ∴ …(12 分) …(7 分) …(11 分) …(2 分)

x2 ? y2 ? 1 2

【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法及数列的求和,突出考查裂项法求和的应用,属于中档题.
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21.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵f(x)=sinωxcosωx+ = ωx+ (1﹣cos2ωx)﹣ = sin2ωx﹣ 2ωx﹣ 2ωx=sin(2ωx﹣ ),

依题意得函数 f(x)的周期为 π 且 ω>0, ∴2ω= ,

∴ω=1,则 m=±1; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)=sin(2ωx﹣ ∴ . ),∴ ,

又∵x∈[0,2π], ∴ . .

∴y=f(x)在 x∈[0,2π]上所有零点的和为

【点评】本题主要考查三角函数两倍角公式、辅助角公式、等差数列公差、等差数列求和方法、函数零点基础 知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想,是中档题. 22.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)设等差数列的公差为 d, 由 =4 得 =4,

所以 a2=3a1=3 且 d=a2﹣a1=2, 所以 an=a1+(n﹣1)d=2n﹣1, =
n 1 n 1 (Ⅱ)由 bn=an2 ﹣ ,得 bn=(2n﹣1)2 ﹣ . 1 2 n 1 所以 Tn=1+32 +52 +…+(2n﹣1)2 ﹣

① ②

2Tn=2+32 +52

2

3

+…+(2n﹣3)2n﹣1+(2n﹣1)2n

①﹣②得:﹣Tn=1+22+222+…+22n﹣1﹣(2n﹣1)2n =2(1+2+22+…+2n﹣1)﹣(2n﹣1)2n﹣1 =2×
n ﹣(2n﹣1)2 ﹣1

=2n(3﹣2n)﹣3.

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n ∴Tn=(2n﹣3)2 +3.

【点评】本题主要考查数列求和的错位相减,错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数 列.此方法是数列求和部分高考考查的重点及热点. 23.【答案】 【解析】解:(1)由分布表可得频数为 50,故①的数值为 50×0.1=5, ②中的值为 =0.40,③中的值为 50×0.2=10, =0.30;

④中的值为 50﹣(5+20+10)=15,⑤中的值为 (2)不低于 85 的概率 P= ×0.20+0.30=0.40,

∴获奖的人数大约为 800×0.40=320; (3)该程序的功能是求平均数, S=65×0.10+75×0.40+85×0.20+95×0.30=82, ∴800 名学生的平均分为 82 分 24.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.

∴点 P 为线段 AB 中点, PA ? PB ;…………7 分 (2)若直线 AB 斜率不存在,则 AB : x ? ?2 ,与椭圆 C 2 方程联立可得, A(?2,? t 2 ? 1) , B(?2, t 2 ? 1) ,
2 故 S ?OAB ? 2 t ? 1 ,…………9 分

若直线 AB 斜率存在,由(1)可得

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x1 ? x 2 ?

1? k 2 t 2 ?1 ? 8km 4m 2 ? 4t 2 2 AB ? 1 ? k x ? x ? 4 x x ? , , ,…………11 分 1 2 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1 m 1? k 2 ? 4k 2 ? 1 1? k 2
,…………13 分

点 O 到直线 AB 的距离 d ? ∴ S ?OAB ?

1 AB ? d ? 2 t 2 ? 1 ,综上, ?OAB 的面积为定值 2 t 2 ? 1 .…………15 分 2

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