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高一数学同步练习(必修4第一章三角函数(一)).(教师版)doc

高一数学同步练习

必修四

第一章三角函数(一)

一、任意角、弧度制及任意角的三角函数
A.基础梳理
1.任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. (2)终边相同的角 (3)弧度制 ①1 弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. ②弧度与角度的换算:360° =2π 弧度;180° 弧度. =π ③弧长公式:l=|α|r, 1 1 扇形面积公式:S 扇形= lr= |α|r2. 2 2 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角.

终边与角 α 相同的角可写成 α+k· (k∈Z). 360°

2.任意角的三角函数定义 设 α 是一个任意角,角 α 的终边上任意一点 P(x,y),它与原点的距离为 r(r>0),那么角 α 的正弦、余弦、 y x y 正切分别是:sin α= ,cos α= ,tan α= ,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数. r r x 3.三角函数线

三 角 函 数 线

有向线段 MP 为正弦线

有向线段 OM 为余弦线

有向线段 AT 为正切线

B.方法与要点
1、一条规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦. π ? ? (2)终边落在 x 轴上的角的集合{β|β=kπ,k∈Z};终边落在 y 轴上的角的集合?β|β =2+kπ,k∈Z?;终边落
? ? ? ? kπ 在坐标轴上的角的集合可以表示为?β?β= 2 ,k∈Z ?. ? ? ?

2、两个技巧 (1)在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点,|OP|=r 一定是 正值. (2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. 3、三个注意 (1)注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于 90° 的角是概念不同的三类角,第一类是象限角,第二
1

类、第三类是区间角. (2)角度制与弧度制可利用 180° rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用. =π (3)注意熟记 0° ~360° 间特殊角的弧度表示,以方便解题.

C.双基自测
9π 1.(人教 A 版教材习题改编)下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是 4 A.2kπ+45° (k∈Z) 9 B.k· + π(k∈Z) 360° 4 C.k· -315° 360° (k∈Z) ( ).

5π D.kπ+ (k∈Z) 4 答案 C

9π 9 解析 与 的终边相同的角可以写成 2kπ+ π(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用。 4 4 2.若 α=k· +45° 180° (k∈Z),则 α 在( A.第一或第三象限 ). C.第二或第四象限

B.第一或第二象限

D.第三或第四象限

解析 当 k=2m+1(m∈Z)时,α=2m· +225° 180° =m· +225° 360° ,故 α 为第三象限角; 当 k=2m(m∈Z)时,α=m· +45° 360° ,故 α 为第一象限角. 3.若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是( A.第一象限角 B.第二象限角 ). C.第三象限角 D.第四象限角 答案 A

解析 由 sin α<0 知 α 是第三、四象限或 y 轴非正半轴上的角,由 tan α>0 知 α 是第一、三象限角.∴α 是第三象限角. 4.已知角 α 的终边过点(-1,2),则 cos α 的值为( A.- 5 5 2 5 B. 5 2 5 C.- 5 ). 1 D.- 2 答案 A 答案 C

-1 5 解析 由三角函数的定义可知,r= 5,cos α= =- . 5 5

5.(2011· 江西)已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴非负半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上一点,且 sin θ 2 5 =- ,则 y=________. 5 解析 根据正弦值为负数且不为-1,判断角在第三、四象限,再加上横坐标为正,断定该角为第四象限 y 2 5 2=- 5 ?y=-8. 16+y 答案 -8

角,∴y<0,sin θ=

D.考点解析 考点一 角的集合表示及象限角的判定

【例 1】?(1)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合; 6π θ (2)若角 θ 的终边与 角的终边相同,求在[0,2π)内终边与 角的终边相同的角; 7 3 α (3)已知角 α 是第二象限角,试确定 2α、 所在的象限. 2 [审题视点] 利用终边相同的角进行表示及判断. 解 π (1)在(0,π)内终边在直线 y= 3x 上的角是 , 3
2

? ? π ∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为?α?α=3+kπ,k∈Z ? ? ? ?

6π θ 2π 2kπ 2π 2kπ 3 18 (2)∵θ= +2kπ(k∈Z),∴ = + (k∈Z).依题意 0≤ + <2π?- ≤k< ,k∈Z. 7 3 7 3 7 3 7 7 θ 2π 20π 34π ∴k=0,1,2,即在[0,2π)内终边与 相同的角为 , , . 3 7 21 21 (3)∵α 是第二象限角, ∴k· +90° 360° <α<k· +180° 360° ,k∈Z. ∴2k· +180° 360° <2α<2k· +360° 360° ,k∈Z.

∴2α 是第三、第四象限角或角的终边在 y 轴非正半轴上. α α ∵k· +45° <k· +90° 180° < 180° ,k∈Z,当 k=2m(m∈Z)时,m· +45° <m· +90° 360° < 360° ; 2 2 α α 当 k=2m+1(m∈Z)时, m· +225° <m· +270° ∴ 为第一或第三象限角. 360° < 360° ; 2 2 (1)相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定相等,终边相同的角有无数个,它们之间 相差 360° 的整数倍. (2) 角 的 集 合 的 表 示 形 式 不 是 唯 一 的 , 如 : 终 边 在 y 轴 非 正 半 轴 上 的 角 的 集 合 可 以 表 示 为
? ? ? ? ? π 3π ?x x=2kπ- ,k∈Z?,也可以表示为?x?x=2kπ+ ,k∈Z ?. 2 2 ? ? ? ? ? ?

【训练 1】 角 α 与角 β 的终边互为反向延长线,则( A.α=-β B.α=180° +β

). D.α=k· ± 360° 180° +β(k∈Z)

C.α=k· +β(k∈Z) 360°

解析 对于角 α 与角 β 的终边互为反向延长线,则 α-β=k· ± 360° 180° (k∈Z). ∴α=k· ± 360° 180° +β(k∈Z). 答案 D

考点二 三角函数的定义
【例 2】?已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sin θ= 并求 cos θ 和 tan θ 的值. [审题视点] 根据三角函数定义求 m,再求 cos θ 和 tan θ. 解 由题意得,r= 3+m2,∴ m 2 = m,∵m≠0, 3+m2 4 ∴m=± 5, 2 m,试判断角 θ 所在的象限, 4

故角 θ 是第二或第三象限角. 当 m= 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3, 5),角 θ 是第二象限角, x - 3 6 ∴cos θ= = =- , r 2 2 4 y 5 15 tan θ= = =- . x - 3 3

当 m=- 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3,- 5),角 θ 是第三象限角. x - 3 6 ∴cos θ= = =- , r 2 2 4 y - 5 15 tan= = = . x - 3 3

任意角的三角函数值仅与角 α 的终边位置有关,而与角 α 终边上点 P 的位置无关.若角 α 已经 给出,则无论点 P 选择在 α 终边上的什么位置,角 α 的三角函数值都是确定的.
3

【训练 2】 (2011· 课标全国)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos θ=( 4 A.- 5 B.- ).

5 5

C.

5 5

D.

?

5 5
答案 D

5 解析 取终边上一点(a,2a),a≠0,根据任意角的三角函数定义,可得 cos θ=± , 5

考点三 弧度制的应用
【例 3】?已知半径为 10 的圆 O 中,弦 AB 的长为 10. (1)求弦 AB 所对的圆心角 α 的大小; (2)求 α 所在的扇形的弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S. [审题视点] (1)由已知条件可得△AOB 是等边三角形,可得圆心角 α 的值; (2)利用弧长公式可求得弧长,再利用扇形面积公式可得扇形面积,从而可求弓形的面积. 解 π (1)由⊙O 的半径 r=10=AB,知△AOB 是等边三角形, ∴α=∠AOB=60° . = 3 1 1 10π 50π ∴S 扇形= lr= × ×10= , 2 2 3 3

π π 10π (2)由(1)可知 α= ,r=10,∴弧长 l=α· ×10= , r= 3 3 3

1 10 3 1 10 3 50 3 π 3 而 S△AOB= · AB· = ×10× = , ∴S=S 扇形-S△AOB=50? - ?. 2 2 2 2 2 ?3 2 ? 弧度制下的扇形的弧长与面积公式,比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多,用起来 也方便得多.因此,我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式. 【训练 3】 已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大? 解 设圆心角是 θ,半径是 r,则 2r+rθ=40,

20 1 1 S= lr= r(40-2r)=r(20-r)≤? 2 ?2=100. 当且仅当 r=20-r,即 r=10 时,Smax=100. ? ? 2 2 ∴当 r=10,θ=2 时,扇形面积最大,即半径为 10,圆心角为 2 弧度时,扇形

考点四 三角函数线及其应用
【例 4】?在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范围.并由此写出角 α 的集合: (1)sin α≥ 3 ; 2 1 (2)cos α≤- . 2 3 1 ,cos α=- 的角的终边,然后根据已知条件确定角 α 终边的范围.解 2 2

[审题视点] 作出满足 sin α= (1)作直线 y=

3 交单位圆于 A、B 两点,连接 OA、OB,则 OA 与 OB 围成的区域 2

(图中阴影部分)即为角 α 的终边的范围,故满足条件的角 α 的集合为
? ? ? π 2 ?α 2kπ+ ≤α≤2kπ+ π,k∈Z ?. 3 3 ? ? ?

4

1 (2)作直线 x=- 交单位圆于 C、D 两点,连接 OC、OD,则 OC 与 OD 围成的区域 2 (图中阴影部分)即为角 α 终边的范围,故满足条件的角 α 的集合为
? ? ? 2 4 ?α 2kπ+ π ≤α≤2kπ+ π,k∈Z?. 3 3 ? ? ?

利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是: (1)用边界值定出角的终边位置; (3)求交集,找单位圆中公共的部分; 【训练 4】 求下列函数的定义域: (1)y= 2cos x-1; 解 (2)y=lg(3-4sin2x). (2)根据不等式(组)定出角的范围; (4)写出角的表达式.

1 (1)∵2cos x-1≥0,∴cos x≥ . 2

由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示). π π ∴定义域为?2kπ-3,2kπ+3?(k∈Z). ? ? (2)∵3-4sin2x>0, 3 3 3 ∴sin2x< ,∴- <sin x< . 4 2 2 利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示), π π ∴定义域为?kπ-3,kπ+3?(k∈Z). ? ?

二、

同角三角函数的基本关系与诱导公式

A.基础梳理
1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1; 2.诱导公式 sin α (2)商数关系: =tan α. cos α (3)倒数关系: tan ? ? cot ? ? 1

? 公式一:sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos_α, tan( ? 2k? ) ? tan?
公式二:sin(π+α)=-sin_α,cos(π+α)=-cos_α,tan(π+α)=tan α. 公式三:sin(-α)=-sin_α,cos(-α)=cos_α. π π 公式五:sin?2-α?=cos_α,cos?2-α?=sin α. ? ? ? ?

其中 k∈Z.

公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos_α. π π 公式六:sin?2+α?=cos_α,cos?2+α?=-sin_α. ? ? ? ?

π 诱导公式可概括为 k· ±α 的各三角函数值的化简公式.记忆规律是:奇变偶不变,符号看象限.其中的 2 π 奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍,则函数名称变为相应的余 2 名函数;若是偶数倍,则函数名称不变,符号看象限是指:把 α 看成锐角时原函数值的符号作为结果的符 .... . 号.
5

B.方法与要点 一个口诀 1、诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限. 2、四种方法 在求值与化简时,常用方法有: sin α (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α=cos α化成正、余弦. (2)和积转换法:利用(sin θ± θ)2=1± cos 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化. ( sin ? ? cos ? 、 sin ? ? cos ? 、 sin ? cos ? 三个式子知一可求二) π (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan4=?. (4)齐次式化切法:已知 tan ? ? k ,则 3、三个防范 (1)利用诱导公式进行化简求值时, 先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数, 其步骤: 去负——脱周——化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.
(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

a sin ? ? b cos ? a tan ? ? b ak ? b ? ? m sin ? ? n cos ? m tan ? ? n mk ? n

C.双基自测
1 1.(人教 A 版教材习题改编)已知 sin(π+α)= ,则 cos α 的值为( 2 1 A.± 2 1 B. 2 C. 3 2 D.± 3 2 答案 D ).

1 解析 ∵sin(π+α)=-sin α= , 2

1 3 ∴sin α=- .∴cos α=± 1-sin2α=± . 2 2 ).

2.点 A(sin 2 011° ,cos 2 011° )在直角坐标平面上位于( A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

解析 2 011° =360° ×5+(180° +31° ),

∴sin 2 011° =sin[360° ×5+(180° +31° )]=-sin 31° <0, ∴点 A 位于第三象限. 答案 C

cos 2 011° =cos[360° ×5+(180° +31° )]=-cos 31° <0, 4 3.已知 cos α= ,α∈(0,π),则 tan α 的值等于( 5 4 A. 3 3 B. 4 4 C.± 3 ).

3 D.± 4 答案 B

3 sin α 3 解析 ∵α∈(0,π),∴sin α= 1-cos2α= ,∴tan α= = . 5 cos α 4 17π 17π 4.cos?- 4 ?-sin?- 4 ?的值是( ? ? ? ? ).
6

A. 2

B.- 2

C.0 D.

2 2

17π π 17π π 17π π 2 17π π 2 解析 cos?- 4 ?=cos =cos?4π+4?=cos = , ?- 4 ?=-sin =-sin?4π+4?=-sin =- . sin? ? ? ? ? ? ? ? 4 4 2 4 4 2 17π 17π 2 2 ∴cos?- 4 ?-sin?- 4 ?= + = 2. ? ? ? ? 2 2 1 5.已知 α 是第二象限角,tan α=- ,则 cos α=________. 2 sin α 1 2 5 2 2 解析 由题意知 cos α<0, sin α+cos α=1, α= 又 tan =- .∴cos α=- . cos α 2 5 2 5 答案 - 5 答案 A

D.考点解析 考点一 利用诱导公式化简、求值
sin?π-α?cos?2π-α? 31π 【例 1】?已知 f(α)= ,求 f? 3 ?. ? ? π sin?2+α?tan?π+α? ? ? [审题视点] 先化简 f(α),再代入求解. 解 sin αcos α f(α)= =cos α, cos αtan α 31π π 31 π 1 ∴f? 3 ?=cos π=cos?10π+3?=cos = . ? ? ? ? 3 3 2

(1)化简是一种不指定答案的恒等变形,其结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能 简单,能求值的要求出值. (2)诱导公式的应用原则:负化正、大化小,化到锐角为终了. π cos?2+α?sin?-π-α? ? ?

【训练 1】 已知角 α 终边上一点 P(-4,3),则 的值为________. 11π 9π cos? 2 -α?sin? 2 +α? ? ? ? ? ?-sin α?sin α y 3 解析 原式= =tan α,根据三角函数的定义,得 tan α= =- . x 4 ?-sin α?cos α 3 答案 - 4

考点二 同角三角函数关系的应用
题型 1:已知一个三角函数值,求其他三角函数值

【例 2-1】?已知 tan? ? 3 , ? ? ? ?
1? 3 2 ?1? 3 2

3? ,那么 cos ? ? sin ? 的值是( 2



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A

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?

B

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C

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1? 3 2

D

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1? 3 2

sin ? ? ? 3 3? 1 1 ?tan? ? 解析: ? 由 ∵ , cos ? ? ? ∴ ? 3 cos2 ? ? cos2 ? ? 1 ? cos2 ? ? , ? ? ? ? cos? 2 2 4 ?sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ?
∴ sin ?

? ? 1 ? cos2 ? ? ?

?1? 3 3 .∴ cos ? ? sin ? ? .故选 B 2 2
7

【训练 1-1】已知 cos? ? m, (?1 ? m ? 1) ,求 sin ? 、 tan ? 的值 解析:分类讨论(1)若 0 ? m ? 1 ,则 ? 是第一、四象限角

sin ? 1 ? m2 当 ? 是第一象限角时, sin ? ? 1 ? m , tan? ? ? cos? m
2

当 ? 是第四象限角时, sin ? ? ? 1 ? m2 , tan? ?

sin ? 1 ? m2 ?? cos? m

1 (2)若 - ? m ? 0 ,则 ? 是第二、三象限角
当 ? 是第二象限角时, sin ? ? 1 ? m2 , tan? ?

sin ? 1 ? m2 ? cos? m

sin ? 1 ? m2 当 ? 是第三象限角时, sin ? ? ? 1 ? m , tan? ? ?? cos? m
2

(3)若 m =0 ,则 ? 是终边在 y 轴上的界限角 此时, sin ? ? ?1 , tan ? 没有意义. (1)已知一个三角函数值求其他三角函数值时,要确定角 ? 所在的象限后再用平方关系,只 有用到平方关系时,才考虑根号前面的符号。 (2)若不能确定 ? 的象限时,则需进行分类讨论. 题型 2:齐次化切法 【例 2-2】?已知 tan α=2. 2sin α-3cos α 求:(1) ; 4sin α-9cos α (2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α.

[审题视点] (1)齐次化切法,方法:同除 cos α; (2)利用 1=sin2α+cos2α,把整式变为分式,再同除 cos2α. 解 2sin α-3cos α 2tan α-3 2×2-3 (1) = = =-1. 4sin α-9cos α 4tan α-9 4×2-9 4sin2α-3sin αcos α-5cos2α 4tan2α-3tan α-5 4×4-3×2-5 = = =1. sin2α+cos2α tan2α+1 4+1

(2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α=

sin α+3cos α 【训练 2-2】 已知 =5.则 sin2α-sin αcos α=________. 3cos α-sin α tan α+3 解析 依题意得: =5,∴tan α=2. 3-tan α sin2α-sin αcos α tan2α-tan α 22-2 2 ∴sin2α-sin αcos α= = = 2 = . sin2α+cos2α tan2α+1 2 +1 5 答案 2 5

(1)关于 sin α,cos α 的齐次式(分子、分母中的各项的方次相同) ,往往化为关于 tan α 的式子. (2)具体方法:分子分母同除 cos α; (或同除 cos2α.).(必要时添加 1=sin2α+cos2α) 题型 3:sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 三个式子知一求二 【例 2-3】已知 sin ? ? cos ? ?

1 ,且 0 ? ? ? ? ,求(1) sin ? ? cos ? ; (2) tan ? 5
8

(3) sin ? cos ? (利用乘法公式: a 3 ? b 3 ? (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 )
3 3

1 1 24 ? 2 sin ? cos ? ? ? ,两边平方得: 1+2 sin ? cos ? ? 5 25 25 49 49 ? (sin ? ? cos ? ) 2 ? ∴ 1-2 sin ? cos ? ? ② 25 25 24 ? 0 且 0 ? ? ? ? ,∴ sin ? ? 0, cos? ? 0 ,即 ? 是第二象限角 ∵ 2 sin ? cos ? ? ? 25 7 ∴ sin ? ? cos ? ? 0 ,∴由②得 sin ? ? cos ? ? ③ 5 1 7 4 3 (2) sin ? ? cos ? ? 、 sin ? ? cos ? ? 两式相加,得 sin ? ? ,两式相减得 cos ? ? ? 5 5 5 5 4 ∴ tan ? ? ? 3 7 12 91 3 3 2 2 )? (3) sin ? cos ? ? (sin ? ? cos ? )(sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? ) ? ? (1 ? 5 25 125 1 ? 【训练 2-3】已知 sin ? ? cos ? ? ,0 ? ? ? ,求(1) sin ? ? cos ? ; (2) sin ? ? cos ? 8 4
解析: (1)∵ sin ? ? cos ? ? (3) sin ? ? cos ? ;
2 2



解析: (1) (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2 sin ? cos ? ? 1 ? 2 ?
2

1 5 5 ? ,∴ sin ? ? cos? ? 8 4 2

(2) (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2 sin ? cos ? ?
2

3 , 4

∵0 ? ? ?

?
4

,由三角函数线知 sin ? ? cos ? ,∴ sin ? ? cos? ? ?

3 2

(3) sin

2

? ? cos2 ?=(sin ? ? cos? )(sin? ? cos? ) ? ?

15 4

(1)对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 这三个式子,已知其中一个式子的值,其余二式 的值可求. (2)转化的公式为(sin α± α)2=1± cos 2sin αcos α.

考点三 三角形中的诱导公式
【例 3】?在△ABC 中,sin A+cos A= 2, 3cos A=- 2cos(π-B),求△ABC 的三个内角. [审题视点] 要求三角形的内角,需求得某一内角的某一三角函数值,故结合条件 sin A+cos A= 2知先求 角 A,进而求其他角. 解 由已知可得 π 2sin?A+4?= 2, ? ? π 因为 0<A<π,所以 A= . 4

π 3 π 由已知可得 3cos A= 2cos B,把 A= 代入可得 cos B= ,又 0<B<π,从而 B= , 4 2 6 π π 7π 所以 C=π- - = . 4 6 12 在△ABC 中常用到以下结论:sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C,
9

A B A B C C sin? 2 + 2 ?=cos ,cos? 2 + 2 ?=sin . ? ? ? ? 2 2 【训练 3】 若将例 3 的已知条件“sin A+cos A= 2”改为“sin(2π-A)=- 2sin(π-B)”其余条件不变, 求△ABC 的三个内角. 解 由条件得:-sin A=- 2sin B,即 sin A= 2sin B, 3cos A= 2cos B,平方相加得: 若 cos A=- 2 3 ,则 cos B=- ,A,B 均为钝角不可能. 2 2

2 sin2 A+3cos2 A=2?2cos2 A=1,cos A=± . 2 故 cos A=

2 3 π π 7π ,cos B= ,故 A= ,B= ,C= . 2 2 4 6 12

自我检测题
一、选择题 1、集合{α|kπ+ ≤α≤kπ+ ,k∈ Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )

A、

B、

C、

D

解答:解:当 k 取偶数时,比如 k=0 时,+ 当 k 取奇数时,比如 k=1 时,+ ≤α≤+

≤α≤+

,故角的终边在第一象限.

,故角的终边在第三象限.

综上,角的终边在第一、或第三象限,故选 C. 2、已知角 a 的终边经过点 P(﹣4m,3m) (m≠0) ,则 2sina+cosa 的值是( A、1 或﹣1 解答:解: 当 m>0 时, 当 m<0 时, B、 或﹣ C、1 或﹣ , , , D、﹣1 或



; .

故选 B. 3、 (2000?天津)已知 sinα>sinβ,那么下列命题成立的是( ) A、若 α、β 是第一象限角,则 cosα>cosβ B、若 α、β 是第二象限角,则 tanα>tanβ C、若 α、β 是第三象限角,则 cosα>cosβ D、若 α、β 是第四象限角,则 tanα>tanβ 解:若 α、β 同属于第一象限,则 第二象限,则 第三象限,则 ,cosα<cosβ;故 A 错.

,tanα<tanβ;故 B 错. ,cosα<cosβ;故 C 错.

10

第四象限,则



tanα>tanβ. (均假定 0≤α,β≤2π. )故 D 正确. 答选为 D. 4、若|sinθ|= , A、 <θ<5π,则 tanθ 等于( B、﹣ C、 ) D、

解:∵ |sinθ|= ,

<θ<5π,∴ sin

,cosθ=﹣

=﹣

,∴ tanθ=

=

=﹣



故选 C. 5.若

? ? <θ < ,则下列不等式成立的是( 4 2



(A)sinθ >cosθ >t anθ (C )sinθ >tanθ >cosθ

(B)cosθ >tanθ >sinθ (D)tanθ >sinθ >cosθ

【解析】选 D.在单位圆上过角θ 终边与单位圆的交点 P 向 x 轴 引垂线 PD,利用△OPD 与△OTA 中边的不等关系易知,OD<DP<AT, ∴cosθ <sinθ <tanθ . 6、设角 的值等于( )

A、 解答:解:因为

B、﹣ ,

C、

D、﹣



=

=

=

=

=

=



故选 C

7、已知 cos( A、﹣ 解答:解:sin(

+α)=﹣ ,则 sin( B、 ﹣α)=cos[ ﹣(

﹣α)=( C、﹣

) D、 +α)=﹣ . 故选 A

﹣α)]=cos(
11

8、已知 sinα+cosα= A.
3 3

1? 3 ,且 0 <α<π,则 tanα 的值为 2
B. ? 3 C.
? 3 3

( D. 3

)

解答:解:由 sinα+cosα=

1? 3 3 ,两边平方得 2 sin ? cos? ? ? ?0 2 2

∴ sin ? ? cos? ) ? 1 ? (
2

3 2? 3 4?2 3 1? 3 2 ? ? ?( ) 2 2 4 2

由 2 sin ? cos? ? ?

3 ? 0 且 0 <α<π 得 sin ? ? 0 , cos ? ? 0 ,∴ sin ? ? cos ? ? 0 2

∴ sin ? ? cos? ?

1 1? 3 3 3 ,两式相加得 sin ? ? ,两式相减得 cos? ? ? ,∴ tan? ? ? 选C 2 2 2 3
tan ;④ ,其中恒

9、在△ABC 中,①sin(A+B)+sinC;②cos(B+C)+cosA;③tan

为定值的是( ) A、②③ B、①② C、②④ D、③④ 解答:解:sin(A+B)+sinC=sin(π﹣c)+sinC=2sinC,不是定值.排除①; cos(B+C)+cosA=cos(π﹣A)+cosA=﹣cosA+cosA=0②符合题意; tan tan =tan( ﹣ )tan =cot tan =1③符合;
2

=sin sin =sin

不是定值.④不正确.

故选 A ( ) D、 ? 2 cos 5

10、化简 1 2 sin 5 ? c cos5 ? 1 ? 2 sin 5 cos5 得 + A、 2 sin 5 B、 2 cos 5
2

C、 ? 2 sin 5
2

解答:解:原式= (sin 5 ? cos 5) ? (sin 5 ? cos 5) ? sin 5 ? cos 5 ? sin 5 ? cos 5 ∵ 5 ? 5 ? 57.30? ? 286 .5? ,∴ sin 5 ? cos 5 ? 0 , sin 5 ? cos 5 ? 0 ∴原式= ? (sin 5 ? cos5) ? (sin 5 ? cos5) ? ?2 sin 5 , 二、填空题 11、若扇形的周长是 16cm,圆心角是 2 弧度,则扇形的面积是 ___________. 解答:解:设扇形半径为 r,面积为 s,圆心角是 α,则 α=2,弧长为 αr, 则周长 16=2r+α r=2r+2r=4r,∴ r=4, 扇形的面积为:s= α r = × 16=16 (cm ) 2× ,故答案为 16 cm . 12、函数 的值域是 __________
2 2 2

故选 C

解答:解:由题意知本题需要对于角所在的象限讨论,确定符号, 当角 x 在第一象限时,y=1+1+1=3, 当角在第二象限时,y=1﹣1﹣1=﹣1, 当角在第三象限时,y=﹣1﹣1+1=﹣1, 当角在第四象限时,y=﹣1+1﹣1=﹣1. 故答案为: {﹣1,3}
12

13、已知 tanθ=2,则 解答:解:∵ tanθ=2,

=

________



=

=

=

= .

故答案为: .

14、已知 解答:解:∵ = 故答案为:

,则 , ∴ = +

=

_________.

=

=

15、已知 f(x)=

,则 f(1° )+f(2° )+…+f(58° )+f(59° )=

_____.

解答:解:∵f(x)=

,∴

∴首尾配对,得原式= 三、解答题 16、证明



故答案为

. (注:其中



等式左边=

=

=

=



等式右边=

=

=

=

=

=

=



故等式左边和等式右边相等,等式成立. 17、已知 α 是第二象限角,且 , .

(1)求角 α 的正弦值、余弦值和正切值; (2)在图中作出角 α 的三角函数线,并用有向线段表示 sinα,cosα 和 tanα. 解答:解: (1)∵ ∴ ,
2 2

, ,由 sin α+cos α=1 可得:
13



k=1 或

; ,k=1(舍去) , , .

又 α 是第二象限角,∴ ∴ ,

(2)设单位圆与 x 轴正半轴交于 A(1,0) 的终边与单位圆交点为 P, ,α 过点 P 向 x 轴作垂线,垂足为 M, 则 sinα=MP,cosα=OM, 过 A(1,0)作圆的切线与 α 的终边的反向延长线相交于点 T,tanα=AT. 18、已知 cos 75? ? ? ?

?

?

1 , ? 为第三象限角,求 cos ? 255? ? ? ? sin 435? ? ? 的值. 3 1 2 2 且 ? 为第四象限角,∴ sin ? ? ? , 3 3

?

?

?

?

? 解答:解:设: 75 ? ? ? ? ,则 cos ? ?

于是: cos ? 255? ? ? ? sin 435? ? ? ? cos 180? ? ? ? sin 360? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? cos? ? sin ? ? ?

1? 2 2 。 3

14


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