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【2014三维设计文科一轮课时跟踪检测】13 函数模型及其应用


课时跟踪检测(十三) 函数模型及其应用

1.设甲、乙两地的距离为 a(a>0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20 分钟, 在乙地休息 10 分钟后, 他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟, 则小王从出发到返回原 地所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图象为( )

2.(2012· 湖北三校联考)某城市对一种售价为每件 160 元的商品征收附加税,税率为 5 R%(即每销售 100 元征税 R 元),若年销售量为?30-2R?万件,要 使附加税不少于 128 万元, ? ? 则 R 的取值范围是( A.[4,8] C.[4%,8%] ) B.[6,10] D.[6%,100%]

1 3. 由于电子技术的飞速发展, 计算机的成本不断降低, 若每隔 5 年计算机的价格降低 , 3 现在价格为 8 100 元的计算机经过 15 年的价格应降为( A.2 000 元 C.2 800 元 B.2 400 元 D.3 000 元 )

4. (2013· 温州月考)某电信公司推出两种手机收费方式: 种方式是 A 月租 20 元,B 种方式是月租 0 元.一个月的本地网内打出电话时间 t(分 钟)与打出电话费 s(元)的函数关系如图,当打出电话 150 分钟时,这两 种方式电话费相差( A.10 元 C.30 元 ) B.20 元 40 D. 元 3

5.某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台,第二个月销售 200 台,第三个月销 售 400 台,第四个月销售 790 台,则下列函数模型中能较好地反映销量 y 与投放市场的月数 x 之间关系的是( A.y=100x C.y=50×2x )
[来源:Z,xx,k.Com]

B.y=50x2-50x+100 D.y=100log2x+100

6.(2013· 长春联合测试)某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股 票先经历了 n 次涨停(每次上涨 10%),又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%),则该股民这支股 票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )

A.略有盈利 C.没有盈利也没有亏损

B.略有亏损 D.无法判断盈亏情况

7.(2012· 河南调研)为了在“十一”黄金周期间降价搞促销,某超市对顾客实行购物优 惠活动,规定一次购物付款总额:①如果不超过 200 元,则不予优惠;②如果超过 200 元, 但不超过 500 元,则按标价给予 9 折优惠;③如果超过 500 元,其中 500 元按第②条给予优 惠,超过 500 元的部分给予 7 拆优惠.辛云和她母亲两次去购物,分别付款 168 元和 423 元,假设她们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为__________. 8.(2012· 镇江模拟)如图,书的一页的面积为 600 cm2,设计要求书 面上方空出 2 cm 的边,下、左、右方都空出 1 cm 的边,为使中间文字 部分的面积最大,这页书的长、宽应分别为________. 9.某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元, 预测六月份 销售额为 500 万元,七月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比 七月份递增 x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售 总额至少达 7 000 万元,则 x 的最小值是________. 10.(2012· 湖南十二校联考)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得 10 万元到 1 000 万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金 y(单位: 万元)随投资收益 x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过 9 万元,同时奖金不超过收益 的 20%. x 请分析函数 y= +2 是否符合公司要求的奖励函数模型,并说明原因. 150 11. 高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是 4 500 元/台. 当笔记本电 脑销售价为 6 000 元/台时,月销售量为 a 台.市场分析的结果表明,如果笔记本电脑的销售 价提高的百分率为 x(0<x<1),那么月销售量减少的百分率为 x2.记销售价提高的百分率为 x 时,电脑企业的月利润是 y 元. (1)写出月利润 y 与 x 的函数关系式; (2)如何确定这种笔记本电脑的销售价,使得该公司的月利润最大. 12.如图,已知矩形油画的长为 a,宽为 b.在该矩形油画的四边 镶金箔,四个角(图中斜线区域)装饰矩形木 雕,制成一幅矩形壁 画.设壁画的左右两边金箔的宽为 x,上下两边金箔的宽为 y,壁画 的总面积为 S. (1)用 x,y,a,b 表示 S ; (2)若 S 为定值,为节约金箔用量,应使四个矩形木雕的总 面积最大.求四个矩形木雕 总面积的最大值及对应的 x,y 的值.

1.某地 2011 年底人口为 500 万,人均住房面积为 6 m2,如果该城市人口平均每年增 长率为 1%.问为使 2021 年底该城市人均住房面积增加到 7 m2,平均每年新增住房面积至少 为(1.0110≈1.104 6)( A.90 万 m2 C.85 万 m2 ) B.87 万 m2 D.80 万 m2

2.一高为 H,满缸水量为 V 的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞 ,满 缸水从洞中流出.若鱼缸水深为 h 时的水的体积为 v,则函数 v=f(h)的大致图象 可能是图中的________.

3.(2011· 湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市 的交通状况.在一般 情况下,大桥上的 车流速度 v(单位:千米/时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上 的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/ 千米时,车流速度为 60 千米/时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 时)f(x)=x· v(x)可以达到最大, 并求出最大值.(精确到 1 辆/时) [答 题 栏] 1._________ 2._________ 3._________ 4._________ A级 5._________ 6._________
[来源:学科网]

B级

1.______ 2.______
源:Z,xx,k.Com][来源:学|科|网 Z|X|X|K]

[来

7. __________ 8. __________ 9. ____ ______





课时跟踪检测(十三)

A级 1.D 2.A 3.B 4.A

5.选 C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型. 6.选 B 设该股民购这支股票的价格为 a,则经历 n 次涨停后的价格为 a(1+10%)n= a×1.1n,经历 n 次跌停后的价格为 a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n= 0.99n· a<a,故该股民这支股票略有亏损. 7.解析:依题意,价值为 x 元商品和实际付款数 f(x)之间的函数关系式为 f(x)=

?x,0≤x≤200, ? ?0.9x,200<x≤500, ?500×0.9+?x-500?×0.7,x>500. ?
当 f(x)=168 时,由 168÷ 0.9≈187<200,故此时 x=168;当 f(x)=423 时,由 423÷ 0.9= 470∈(200,500], 故此时 x=470.所以两次共购得价值为 470+168=638 元的商品, 500×0.9 又 +(638-500)×0.7=546.6 元,即若一次性购买上述商品,应付款额为 546.6 元. 答案:546.6 元 8.解析:设长为 a cm,宽为 b cm,则 ab=600,则中间文字部分的面积 S=(a-2-1)(b -2)=606-(2a+3b)≤606-2 6×600=486,当且 仅当 2a=3b,即 a=30,b=20 时,S 最


=486. 答案:30 cm,20 cm 9.解析:七月份的销售额为 500(1+ x%),八月份的销售额为 500(1+x%)2,则一月份

到十月份的销售总额是 3 860+500+2 [500(1+x%)+500(1+x%)2],根据题意有 3 860+500 +2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7 000, 即 25(1+x%)+25(1+x%)2≥66, 令 t=1+x%,则 25t2+25t-66≥0, 6 11 解得 t≥ 或者 t≤- (舍去), 5 5 6 故 1+x%≥ ,解得 x≥20. 5 答案:20 10.解:对于函数模型 y=f(x)= x +2, 150

当 x∈[10,1 000 ]时,f(x)为增函数, 1 000 20 f(x)max=f(1 000)= +2= +2<9, 150 3 所以 f(x)≤9 恒成立. 1 10 但当 x=10 时,f(10)= +2> , 15 5 x 即 f(x)≤ 不恒成立. 5 x 故函数模型 y= +2 不符合公司要求. 150 11.解:(1)依题意,销售价提高后变为 6 000(1+x)元/台,月销售量为 a(1-x2)台,则 y =a(1-x2)[6 000(1+x)-4 500]. 即 y=1 500a(-4x3-x2+4x+1)(0<x<1). (2)由(1)知 y′=1 500a(-12x2-2x+4), 令 y′=0,得 6x2+x-2=0, 1 2 解得 x= 或 x=- (舍去). 2 3 1 1 当 0<x< 时,y′>0;当 <x<1 时,y′<0. 2 2 1 故当 x= 时,y 取得最大值. 2 3 此时销售价为 6 000× =9 000(元). 2 故笔记本电脑的销售价为 9 000 元时,该公司的月利润最大. 12.解:(1)由题意可得 S=2bx+2ay+4xy+ab,其中 x>0,y>0. (2)依题意,要求四个矩形木雕总面积的最大值即求 4xy 的最大值. 因为 a,b,x,y 均大于 0,所以 2bx+2ay≥2 2bx· 2ay,从而 S≥4 abxy+4xy+ab,当 且仅 当 bx=ay 时等号成立. 令 t= xy,则 t>0,上述不等式可化为 4t2+4 ab· t+ab-S≤0, - S- ab S- ab 解得 ≤t≤ . 2 2 因为 t>0,所以 0<t≤ S- ab , 2

ab+S-2 abS 从而 xy≤ . 4
? ?bx=ay, 由? ? ?S=2bx+2ay+4xy+ab,

?x= ? 得? ?y= ?

abS-ab , 2b abS-ab . 2a abS-ab abS-ab ,y= 时,四个矩形木雕的总面积最大,最大值为 2b 2a

所以当 x=

ab+S-2 abS. B级 1.选 B 由题意 500×?1+1%?10×7-500×6 ≈86.6(万 m2) 10 ≈87(万 m2). H 2.解析:当 h=0 时,v=0 可排除①、③;由于鱼缸中间粗两头细,∴当 h 在 附近时, 2 H H 体积变化较快;h 小于 时,增加越来越快;h 大于 时,增加越来越慢. 2 2 答案:② 3.解:(1)由题意,当 0≤x≤20 时,v(x)=60; 当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b,
? ?200a+b=0, 再由已知得? ? ?20a+b=60,

?a=-3, 解得? 200 ?b= 3 .
1 故函数 v(x)的表达式为

?60,0≤x≤20, ? v(x)=?1 ?3?200-x?,20≤x≤200. ?
(2)依题意并由(1)可得

?60x,0≤x≤20, ? f(x)=?1 ? ?3x?200-x?,20≤x≤200.
当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数, 故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1 200; 1 当 20≤x≤200 时,f(x)= x(200-x)≤ 3

1?x+?200-x??2 10 000 3? 2 ? = 3 ,当且仅当 x=200-x, 即 x=100 时,等号成立. 10 000 所以当 x=100 时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值 . 3 10 000 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3 333, 3 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/时.


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