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惠州市2016届高三第一次调研考试 理科数学 答案


惠州市 2016 届高三第一次调研考试

理科数学参考答案与评分标准
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 B 5 C 6 B 7 C 8 B 9 C 10 D 11 A 12 A

4?,又 B ? ?2, 4? ,故选 C. (1) 【解析】 CU A ? ?0,
(2) 【解析】 1 ?

5 ? 3 ? i ,故模为 10 ,故选 A. 2?i

(3) 【解析】对选项 D,由于当 x ? 0 时, x 2 ? 0 ,故选 D. (4) 【解析】因为 m // n ,所以 a(1 ? a) ? ?2 ,解得 a 2 ? a ? 2 ? 0 ,故 a ? ?1或a ? 2 ,故选 B. (5) 【解析】由余弦定理 cos A ? (6) 【解析】 f ( ) ? log 3

b2 ? c 2 ? a 2 9 ? 4 ? 7 1 ? ? ,又由 A ? (0?,180?) ,得 A ? 60? ,故选 C. 2bc 2 ?3? 2 2

1 1 1 1 ? ?2 , f (?2) ? 2 ? 2 ? ,所以 f ( f ( )) ? ,故选 B. 9 4 9 4 1 1 (7) 【解析】该几何体为直三棱柱,故体为 V ? Sh ? ?1? 1? 1 ? ,故选 C. 2 2
(8) 【解析】 由于可行域为三角形, 且三角形的三个顶点分别为 (0, ?1) ,(1, 0) ,(0,1) , 所以最优解为 (0,1) 时可使目标函数取得最大值为 2,故选 B. (9) 【解析】 f ( x) ? sin

1 9

2 2 ?? 2? ?2 x ? cos x ? 2 sin ? x ? ? ,周期 T ? ? 3? ,相邻的两条对称轴间距 3 3 4? ? ?3

离为

1 3? T ,所以距离为 ,故选 C. 2 2

(10) 【解析】对于选项 A,根据面面垂直的判定定理可知,缺少条件 m?α,故不正确; 对于选项 B,因为 α 与 β 可能平行,也可能相交,所以 m 与 β 不一定垂直,故不正确; 对于选项 C,因为 α 与 β 可能平行,也可能相交,所以 m 与 β 不一定垂直,故不正确; 对于选项 D,由 n⊥α,n⊥β,可得 α∥β,而 m⊥α,则 m⊥β,故正确,故选 D. (11) 【解析】分为两类,第一类为 2+2+1 即有 2 所学校分别保送 2 名同学,方法数为 C3C5C4 ? 90,第
1 1 2

二类为 3+1+1 即有 1 所学校保送 3 名同学, 方法数为 C3C5 A2 ? 60 , 故不同保送的方法数为 150 种,
1 3 2

故选 A. (12) 【解析】抛物线 y ?
理科数学试题答案与评分标准

1 2 y2 x ? x 2 ? 8 y ,焦点 F 为 (0, 2) ,则双曲线 2 ? x 2 ? 1的 c ? 2 ,则 a 2 ? 3 , 8 a
第 1 页 共 7 页

即双曲线方程为

1 2 y2 2 ? x 2 ? 1,设 P(m, n) , (n ? 3) ,则 n2 ? 3m2 ? 3 ? m ? n ? 1 , 3 3
2 2

则 OP ? FP ? (m, n) ? (m, n ? 2) ? m ? n ? 2n ?

1 2 4 3 7 n ? 1 ? n 2 ? 2n ? ( n ? ) 2 ? , 3 3 4 4

因为 n ? 3 ,故当 n ? 3 时取得最小值,最小值为 3 ? 2 3 ,故选 A. 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。 (13) ?

7 25

(14)

(13) 【解析】 sin(

?
2

2 3

(15) ? ? 2

(16) 4

??) ?

3 3 7 ? cos ? ? ,则 cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? ? . 5 5 25

(14) 【解析】 ( x ?

1 4 1 1 r 4? r r 4? 2 r ) 的展开式的通项为 Tr ?1 ? C 4 x (? ) r x ?r ? C 4 x (? ) r , 3x 3 3
2

故常数项为 T3 ? C 4 (? ) ?
2

1 3

2 3
?
2 ?

(15) 【解析】

( 1 ? cos x) dx ? ( x ? sin x) ??
2 ? 2

?

?
2

?? ?2

?a ? b ? c ? 1 ? (16) 【解析】可由待定系数法求得 ?4a ? 2b ? c ? 5 ,解得 a ? 2, b ? ?2, c ? 1 ,所以 3a ? b ? 4 ?9a ? 3b ? c ? 13 ?
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 【解】 (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d ,由题意知 ?

? 2a1 ? 2d ? 8 ?2a1 ? 4d ? 12

………………2 分

解得 a1 ? 2, d ? 2 …………………………………………………………4 分 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n ,得 an ? 2n …………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 Sn ?

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) ? n 2 ? n 2 2

……………8 分

∴ a3 ? 2 ? 3 ? 6 , ak ?1 ? 2(k ? 1) , Sk ? k 2 ? k 因 a3 , ak ?1 , Sk 成等比数列,所以 ak ?1 ? a3 Sk ,从而 (2k ? 2) ? 6(k ? k ) ,………10 分
2
2 2



k 2 ? k ? 2 ? 0 , k ? N * ,解得 k ? 2 或 k ? ?1 (舍去)

∴ k ? 2 ……………………………………………………………………12 分

理科数学试题答案与评分标准

第 2 页 共 7 页

(18) (本小题满分 12 分) 【解】 (Ⅰ)由题意,得 ? 0.02 ? 0.032 ? a ? 0.018? ?10 ? 1,解得 a ? 0.03 ;………………………1 分 又由最高矩形中点的的横坐标为 20,可估计盒子中小球重量的众数约为 20(克) ,………2 分 而 50 个样本小球重量的平均值为:X ? 0.2 ?10 ? 0.32 ? 20 ? 0.3 ? 30 ? 0.18 ? 40 ? 24.6(克) 故由样本估计总体,可估计盒子中小球重量的平均值约为 24.6 克;…………………………4 分 (Ⅱ)利用样本估计总体,该盒子中小球重量在 ? 5,15? 内的概率为 0.2 ,………………………………5 分 则 X ? B (3, ) . X 的可能取值为 0 、 1 、 2 、 3 ,…………………………………………………6 分

1 5

64 48 0 ?1? ? 4? 1?1? ? 4? , P ? X ? 1? ? C3 , P ? X ? 0? ? C3 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125 ? 5 ? ? 5 ? 125 1 ? 1 ? ? 4 ? 12 3?1? ? 4? , P ? X ? 3? ? C3 . ………………10 分 P ? X ? 2? ? C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125 ? 5 ? ? 5 ? 125
2 3 2 3 0

0

3

2

? X 的分布列为:

X

0

1
48 125

2
12 125

3

P

64 125

1 125

? EX ? 0 ?

1 3 64 48 12 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? .(或者 EX ? 3 ? ? )………………12 分 5 5 125 125 125 125 5

(19) (本小题满分 12 分)

D 是 AC1 的中点,因为 BA ? BC1 ,所以 BD ? AC1 ,……2 分 【解】(Ⅰ)依题意,侧面 AAC 1 1C 是菱形, BD ? 平面 ABC1 ,平面 ABC1 又平面 ABC1 ? 平面 AAC 1 1C ,且
平面 AAC 1 1C ? AC1

所以 BD ? 平面 AAC 1 1C .…………………………………………5 分 (Ⅱ)[传统法]由(Ⅰ)知 BD ? 平面 AAC 1 1C , CD ? 面 AAC 1 1C ,所以 CD ? BD , 又 CD ? AC1 , AC1

BD ? D ,所以 CD ? 平面 ABC1 ,

B1 C1

B

过 D 作 DH ? AB ,垂足为 H ,连结 CH ,则 CH ? AB , 所以 ?DHC 为二面角 C1 ? AB ? C 的平面角. …………8 分 在 Rt?DAB 中, AD ? 1, BD ? 3, AB ? 2 , 所以 DH ?
A1 第 18 题 H C

D A

AD ? DB 3 15 2 2 ? , CH ? DH ? DC ? ……10 分 AB 2 2

所以 cos ?DHC ?

DH 5 5 ? ,即二面角 C1 ? AB ? C 的余弦值是 . ……………12 分 CH 5 5
第 3 页 共 7 页

理科数学试题答案与评分标准

[向量法]以 D 为原点,建立空间直角坐标系 D ? xyz 如图所示, …………………………………6 分 由已知可得 AC1 ? 2, AD ? 1, BD ? A 1D ? DC ? 3, BC ? 6 故 D ? 0, 0, 0 ? , A ?1, 0, 0 ? , B 0, 0, 3 , C1 ? ?1, 0, 0 ? , C 0, 3, 0 , 则 AB ? ?1, 0, 3 , BC ? 0, 3, ? 3 ,………………8 分 设平面 ABC 的一个法向量是 n ? ? x, y, z ? , 则?

?

?

?

?

z B1 C1 B

?

?

?

?

C

y

? ? AB ? n ? 0 ? ? BC ? n ? 0

,即 ?

? ?? x ? 3z ? 0 ? ? 3 y ? 3z ? 0

,解得 ?

? ? x ? 3z ? ?y ? z

D
A1 第 18 题

A

x

令 z ? 1 ,得 n ?

?

3,1,1 ………………………………………9 分

?

显然 DC ? 0, 3, 0 是平面 ABC1 的一个法向量, ……………10 分 所以 cos ? n, DC ??

?

?

n ? DC n DC

?

3 5 5 ,即二面角 C1 ? AB ? C 的余弦值是 .………12 分 ? 5 5 5? 3

(20) (本小题满分 12 分) 【解】(Ⅰ)因为抛物线 y ? ? x2 ? 1与 x 轴交于点 (?1, 0), (1, 0) ,所以 b ? 1 …………………………1 分 由因为 e ? 1 ?

y2 b2 3 1 2 ? x 2 ? 1………………………3 分 ,所以椭圆方程为 ? ? 1 ? ? a ? 4 4 a2 2 a2

(Ⅱ)因为 B(1,0) ,若过点 B 的直线 l 斜率不存在时,不满足题意,所以直线 l 斜率存在,……………4 分 设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,………………………5 分

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 联立 ? y 2 ? (k 2 ? 4) x2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0 ? ? ?(k ? 4) x ? (k ? 4) ? ? ( x ? 1) ? 0 ……………7 分 2 ? ? x ?1 ? 4
? x1 ?

? k 2 ? 4 ?8k ? k2 ? 4 k2 ? 4 ?8k y ? k ( x ? 1) ? k ( ? 1) ? y ? ,所以 ,所以 P , 2 1 1 1 ? 2 ? ………8 分 k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 ?k ?4 k ?4?

联立 ?

? y ? k ( x ? 1) ? x2 ? kx ? k ? 1 ? 0 ? ( x ? k ? 1)( x ? 1) ? 0 ? x2 ? ?k ? 1 ………………………9 分 2 y ? ? x ? 1 ?
2

所以 y2 ? k ( x2 ?1) ? k (?k ? 2) ? y1 ? ?k 2 ? 2k ,所以 Q(?k ? 1, ?k ? 2k ) …………………………10 分 由 AP

? AQ ? AP ? AQ ? 0 ? ?
8 3

? k2 ? 4 ?8k ? 2 ? 1, ? ?(?k , ?k ? 2k ) ? 0 …………………………11 分 2 2 k ?4? ?k ?4
8 3

化简得 3k ? 8 ? 0 ,所以 k ? ? ,所以直线 l 的方程为 y ? ? ( x ? 1) 即 8 x ? 3 y ? 8 ? 0 ……12 分
理科数学试题答案与评分标准 第 4 页 共 7 页

(21) (本小题满分 12 分)
3 2 2 【解】(Ⅰ) f ? x ? ? x ? x ? a ? ? x ? 2ax ? a x , 2

则 f ? ? x ? ? 3x2 ? 4ax ? a2 ? ?3x ? a ?? x ? a ? , 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? a 或 所以

…………………………………………1 分

a a ?1 ,而二次函数 g ? x ? 在 x ? 处有极大值, 3 2

a ?1 a ?1 a ?a或 ? ,解得 a ? ?1 或 a ? 3 ; …………………………………………3 分 2 2 3

当 a ? 3 时, f ? x ? 的递增区间为 ? ??,1? , ? 3, ??? ,递减区间为 ?1,3? .………………………4 分 当 a ? ?1 时, f ? x ? 的递增区间为 ? ??, ?1? , ? ? , ?? ? ,递减区间为 ? ?1, ? ? .……………5 分
2 (Ⅱ) f ? x ? ? g ? x ? ? x ? x ? a ? ? ? ? ? x ? ? a ? 1? x ? a ? ? ? x ? x ? a ? ? ? x ? a ?? x ? 1? 2
2 2 ? ? x ? a? ? ? x ? ?1 ? a ? x ? 1? ? ,…………………………………………………6 分

? 1 ? 3

? ?

? ?

1? 3?

令 h ? x ? ? x2 ? ?1 ? a ? x ? 1 , ? ? ?1 ? a ? ? 4 ? ? a ? 1?? a ? 3? ,
2

1 当 ? ? 0 即 ?1 ? a ? 3 时, h ? x ? ? 0 无实根,故 y ? F ( x) 的零点为 x ? a ???1,3? ,满足题意,
即函数 y ? F ( x) 有唯一零点 x ? a ?? ?1,3? ;………………………………………………………7 分

2 当 ? ? 0 即 a ? ?1 或 a ? 3 时,
若 a ? ?1 ,则 h ? x ? ? 0 的实数解为 x ? ?1 ,故 y ? F ( x) 在区间 ? ?1,3? 上有唯一零点 x ? ?1 ; 若 a ? 3 ,则 h ? x ? ? 0 的实数解为 x ? 1 ,故 y ? F ( x) 在区间 ? ?1,3? 上有两零点, x ? 1 或 3 ;……8 分

3 当 ? ? 0 即 a ? ?1 或 a ? 3 时,
若 a ? ?1 ,由于 h ? ?1? ? a ? 1 ? 0, h ?0 ? ? 1, h ?3 ? ? 13 ? 3a ? 0 , 此时 h ? x ? ? 0 在区间 ? ?1,3? 上有一实数解,故 y ? F ( x) 在区间 ? ?1,3? 上有唯一零点; ……9 分 若 a ? 3 时,由于 h ? ?1? ? a ? 1 ? 4, h ? 0? ? 1 ? 0, h ?3? ? 13 ? 3a , 当 13 ? 3a ? 0 即 a ?

13 时,数形结合可知 h ? x ? ? 0 在区间 ? ?1,3? 上有唯一实数解, 3

故 y ? F ( x) 在区间 ? ?1,3? 上有唯一零点;……………………………………………………10 分 若 13 ? 3a ? 0 即 3 ? a ?

13 a ?1 a ?1 5 ? , 时,由于 y ? h( x) 的对称轴为 x ? ,故 1 ? 3 2 2 3

又 h(1) ? 1 ? 0, h(3) ? 13 ? 3a ? 0, 且 ? ? 0 , 所以 h( x) 在区间 ?? 1,3? 上有两个不等零点. ………………………………………………11 分
理科数学试题答案与评分标准 第 5 页 共 7 页

综上,当 a ? 3 或 a ? 当3 ? a ?

13 时,函数 y ? F ( x) 有唯一零点; 3

13 时,函数 y ? F ( x) 有两不相等的零点。……………………………………12 分 3

考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分,评卷时请注意看清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 【证明】 (Ⅰ)由直线 CD 与⊙O 相切,得∠ CEB=∠ EAB. …………………………………………1 分 π 由 AB 为⊙ O 的直径,得 AE⊥ EB,从而∠ EAB+∠ EBF= ;………………………3 分 2 π 又 EF⊥ AB,得∠ FEB+∠ EBF= ,从而∠ FEB=∠ EAB. 故∠ FEB=∠ CEB.……5 分 2 (Ⅱ)由 BC⊥ CE,EF⊥ AB,∠ FEB=∠ CEB,BE 是公共边,得 Rt△ BCE≌ Rt△ BFE,………6 分 所以 BC=BF. 类似可证,Rt△ ADE≌ Rt△ AFE,得 AD=AF. ………………………………………………8 分 又在 Rt△ AEB 中,EF⊥ AB,故 EF2=AF· BF,所以 EF2=AD· BC. ………………………10 分

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 【解】 (Ⅰ)由 C1 的参数方程消去参数 t 得普通方程为 x ? y ? 1 ? 0 …………………………2 分 圆 C2 的直角坐标方程 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 ,……………………………………4 分 所以圆心的直角坐标为 (?1, 3) ,因此圆心的一个极坐标为 (2, (答案不唯一,只要符合要求就给分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知圆心 (?1, 3) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?

2? ) . …………6 分 3

?1 ? 3 ? 1 2

?

6 ,………8 分 2

所以 AB ? 2 4 ?

6 ? 10 .………………………………………………………………10 分 4

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 【解】 (Ⅰ)因为 m ? 1 ,不等式 m? | x ? 2 | ?1 可化为 | x ? 2 | ? m ? 1 ,…………………1 分 ∴ 1 ? m ? x ? 2 ? m ? 1 ,即 3 ? m ? x ? m ? 1 ,………………………………3 分

∵其解集为 [0, 4] ,∴ ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? b ? 3 ,
理科数学试题答案与评分标准

?3 ? m ? 0 , m ? 3 . ………………………………5 分 m ? 1 ? 4 ?

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(方法一:利用基本不等式) ∵ (a ? b)2 ? a2 ? b2 ? 2ab ? (a2 ? b2 ) ? (a2 ? b2 ) ? 2(a2 ? b2 ) ,…………………8 分 ∴ a2 ? b2 ?

9 9 ,∴ a 2 ? b 2 的最小值为 .…………………………………………10 分 2 2

(方法二:利用柯西不等式) ∵ (a2 ? b2 ) ? (12 ? 12 ) ? (a ?1 ? b ?1)2 ? (a ? b)2 ? 9 ,……………………………8 分 ∴ a2 ? b2 ?

9 9 ,∴ a 2 ? b 2 的最小值为 .…………………………………………10 分 2 2

(方法三:消元法求二次函数的最值) ∵ a ? b ? 3 ,∴ b ? 3 ? a ,
2 2 2 2 2 2 ∴ a ? b ? a ? (3 ? a ) ? 2a ? 6a ? 9 ? 2(a ? ) ?

3 2

9 9 ? ,……………………9 分 2 2

∴ a 2 ? b 2 的最小值为

9 . ………………………………………………………………10 分 2

理科数学试题答案与评分标准

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