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高中数学(人教A版必修5)同步练习:2.3等差数列的前n项和(1)(含答案解析)

§ 2.3 等差数列的前 n 项和(一) 课时目标 1.掌握等差数列前 n 项和公式及其性质. 2.掌握等差数列的五个量 a1,d,n,an,Sn 之间的关系. 1. 把 a1+a2+…+an 叫数列{an}的前 n 项和, 记做 Sn.例如 a1+a2+…+a16 可以记作 S16; a1+a2+a3+…+an-1=Sn-1 (n≥2). 2. 若{an}是等差数列, 则 Sn 可以用首项 a1 和末项 an 表示为 Sn= 1 公差为 d,则 Sn 可以表示为 Sn=na1+ n(n-1)d. 2 3.等差数列前 n 项和的性质 ?Sn? d (1)若数列{an}是公差为 d 的等差数列,则数列? n ?也是等差数列,且公差为 . 2 ? ? n(a1+an) ; 若首项为 a1, 2 (2)Sm,S2m,S3m 分别为{an}的前 m 项,前 2m 项,前 3m 项的和,则 Sm,S2m-Sm,S3m -S2m 也成等差数列. an S2n-1 (3)设两个等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,则 = . bn T2n-1 一、选择题 1.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 a2=3,a6=11,则 S7 等于( A.13 C.49 答案 C 7(a1+a7) 7(a2+a6) 解析 S7= = =49. 2 2 a1 2.等差数列{an}中,S10=4S5,则 等于( d 1 A. 2 1 C. 4 答案 A 解析 由题意得: 1 1 10a1+ ×10×9d=4(5a1+ ×5×4d), 2 2 B.2 D.4 ) B.35 D.63 ) ∴10a1+45d=20a1+40d, a1 1 ∴10a1=5d,∴ = . d 2 2 3.已知等差数列{an}中,a2 3+a8+2a3a8=9,且 an<0,则 S10 为( ) A.-9 答案 D B.-11 C.-13 D.-15 2 解析 由 a3 +a2 8+2a3a8=9 得 (a3+a8)2=9,∵an<0, ∴a3+a8=-3, 10(a1+a10) ∴S10= 2 = 10(a3+a8) 10×(-3) = =-15. 2 2 ) 4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36.则 a7+a8+a9 等于( A.63 答案 B B.45 C.36 D.27 解析 数列{an}为等差数列,则 S3,S6-S3,S9-S6 为等差数列,即 2(S6-S3)=S3+(S9 -S6), ∵S3=9,S6-S3=27,则 S9-S6=45. ∴a7+a8+a9=S9-S6=45. 5.在小于 100 的自然数中,所有被 7 除余 2 的数之和为( A.765 答案 B 解析 ∵a1=2,d=7,2+(n-1)×7<100,∴n<15, 1 ∴n=14,S14=14×2+ ×14×13×7=665. 2 6.一个等差数列的项数为 2n,若 a1+a3+…+a2n-1=90,a2+a4+…+a2n=72,且 a1 -a2n=33,则该数列的公差是( A.3 答案 B B.-3 C.-2 ) D.-1 B.665 C.763 D.663 ) 解析 ?a +a +…+a 由? ?a +a +…+a 1 3 2 4 2n-1=na1+ n(n-1) ×(2d)=90, 2 2n=na2+ n(n-1) ×(2d)=72, 2 得 nd=-18. 又 a1-a2n=-(2n-1)d=33,所以 d=-3. 二、填空题 7.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S3=3,S6=24,则 a9=________. 答案 15 解析 设等差数列的公差为 d,则 3×2 S3=3a1+ d=3a1+3d=3, 2 即 a1+d=1, 6×5 S6=6a1+ d=6a1+15d=24, 2 即 2a1+5d=8. ?a1+d=1, ?a1=-1, ? ? 由? 解得? ? ? ?2a1+5d=8, ?d=2. 故 a9=a1+8d=-1+8×2=15. Sn 7n+2 a5 8.两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,已知 = ,则 的值是 Tn n+3 b5 ________. 答案 解析 65 12 a5 9(a1+a9) S9 65 = = = . b5 9(b1+b9) T9 12 9.在项数为 2n+1 的等差数列中,所有奇数项的和为 165,所有偶数项的和为 150,则 n 的值为________. 答案 10 (n+1)(a1+a2n+1) 解析 S 奇= =165, 2 n(a2+a2n) S 偶= =150. 2 n+1 165 11 ∵a1+a2n+1=a2+a2n,∴ = = , n 150 10 ∴n=10. 10.等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则数列{an}的前 3m 项的和 S3m 的值是________. 答案 210 解析 方法一 在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列. ∴30,70,S3m-100 成等差数列. ∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210. Sm S2m S3m 方法二 在等差数列中, , , 成等差数列, m 2m 3m ∴ 2S2m Sm S3m = + . 2m m 3m 即 S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210. 三、解答题 11.在等差数列{an}中,已知 d=2,an=11,Sn=35,求 a1 和 n. a =a +(n-1)d, ? ?n 1 解 由? n(n-1) Sn=na1+ d, ? 2 ? a +2(n-1)=11, ? ?1 得? n(n-1) na1+ ×2=35, ? 2 ? ?n=5 ?n=7, ? ? 解方程组得? 或? ?a1=3 ? ?

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