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2014—2015学年度上学期期末考试高一年级数学科试卷


2014—2015 学年度上学期期末考试高一年级数学科试卷
命题学校:东北育才学校 命题人:刘新风 校对人:张岩
考试时间:120 分钟 满分:150 分

第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A= 1, 2

?

a

1? ? , B ? ?a, b? ,若 A ? B ? ? ? ? ,则 A ? B ? ( ?2?
(B) ?1,
2

).

(A) ??1,
2

? ?

1? ? 2?

? ?

1? ? 2?

(C) ??1,

? ?

1 ? , 1? 2 ?

(D) ? , 1, b ?

?1 ?2

? ?

2.

圆 ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1 关于直线 y ? x ? 1 对称的圆的方程为( (A) x ? ? y ? 3? ? 1
2 2

).

(B) x ? ? y ? 3? ? 1
2 2

(C) ? x ? 3? ? y ? 1
2 2

(D) ? x ? 3? ? y ? 1
2 2

3.

如果幂函数 y ? n2 ? 3n ? 3 x n (A)n=1 或 n=2

?

?

2

?n?2

的图象不过原点,则 n 的取值是( (C)n=1 ).

).

(B)n=1 或 n=0

(D)n=2

4.

函数 f ? x ? ? ln x ? (A) ?1, ?? ?

1 x 的零点所在的区间是( 3
(B) ? ,1?

?1 ? ?e ?

(C) ? 0, ?

? ?

1? e?

(D) ? ?1, 0 ?

5.

一个几何体的三视图如图所示, 其中俯视图与侧视图均为半径 是 2 的圆,则这个几何体的表面积是( ). (A) 16? (B) 14? (C) 12? (D) 8? 若点 A ? ?3, ? 4? , B ? 6,3? 到直线 l : ax ? y ? 1 ? 0 的距离相 等,则实数 a 的值为( ). 正视图 侧视图

6.

7 9 7 1 (C) 或 9 3
(A) 7.

1 3 7 1 (D) ? 或 ? 9 3
(B) ?
x

俯视图

?1? 若 g ? x ? ? 1 ? 2x , f ? ? g ? x ?? ? ? ? 3 ? ,则 f ? 4 ? =( ? ?
(A)-27 (B)

).

1 27

(C)9

(D) 3 3

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8.

在空间直角坐标系中,O 为坐标原点,设 A ? , , ? , B ?

?1 1 1? ?2 2 2?

?1 1 ? ?1 1 1? , ,0? ,C ? , , ? , ?2 2 ? ? 3 3 3?

9.

则( ). (A)OA⊥AB (B)AB⊥AC (C)AC⊥BC (D)OB⊥OC α, β 表示两个不同的平面, l 表示既不在 α 内也不在 β 内的直线, 若以①l⊥α; ②l∥β; ③α⊥β 中其中两个作为条件,第三个作为结论,构成的命题中正确的个数为( ). (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

10. 已知 f ? x ? ? ? ( ).

? ? ?? 3 ? a ? x, x ? ? ?? ,1 是 ? ??, ?? ? 上的增函数,那么 a 的取值范围是 x a , x ? 1, ?? ? ? ? ?
?3 ?2 ? ?

(A) ? 0,3 ?

(B) ?1,3?

(C) ?1, ?? ?

(D) ? ,3 ?

11. 已知空间 4 个球,它们的半径均为 2,每个球都与其他三个球外切,另有一个小球与这 4 个球都外切,则这个小球的半径为( ). (A) 6 ? 2 (B) 6 ? 2 (C) 10 ? 3 (D) 2 2 ? 2

12. 定义 min ? ? f ? x ? , g ? x ?? ???

? ? f ? x?, f ? x? ? g ? x? ,若函数 f ? x ? ? x 2 ? tx ? s 的图像经 ? ?g ? x? , f ? x? ? g ? x?
).

过两点 ? x1 , 0 ? , ? x2 , 0 ? ,且存在整数 m,使得 m ? x1 ? x2 ? m ? 1 成立,则(

1 4 1 (C) min ? ? f ? m ? , f ? m ? 1? ? ??4
(A) min ? ? f ? m ? , f ? m ? 1? ? ??

1 4 1 (D) min ? ? f ? m ? , f ? m ? 1? ? ??4
(B) min ? ? f ? m ? , f ? m ? 1? ? ??

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 设二次函数 f ? x ? ? ax 2 ? 2ax ? c 在区间 ? 0,1? 上单调递减, 且 f ? n ? ? f ? 0? , 则实数 n 的取值范围是
2 2

.

14. 过原点 O 作圆 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 20 ? 0 的两条切线, 设切点分别为 M、 N, 则线段 MN 的长为 . 15. 已知正方形 ABCD 的边长是 4,若将△BCD 沿正方形的对角线 BD 所在的直线进行翻 折,则在翻折的过程中,四面体 C-ABD 的体积的最大值是 . 16. 已 知 偶 函 数 f ? x ? 对 任 意 x ? R 都 有 f ? x ? 3? ? ?

1 , 且 当 x ? ? ?3, ?2 ? 时, f ? x?

f ? x ? ? 4 x ,则 f ? 2015 ? ?

.

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤. 17. (本小题满分 10 分) 设全集 U ? R ,集合 A ? x ? x ? 3?? 4 ? x ? ? 0 , B ? x log 2 ? x ? 2 ? ? 3 . (1)求 A ?
U

?

?

?

?

B;

(2)已知 C ? x 2a ? x ? a ? 1 ,若 C ? B ,求实数 a 的取值范围.

?

?

18. (本小题满分 12 分) 如图所示, 射线 OA, OB 分别与 x 轴正半轴成 45° 和 30° 角,过点 P(2,0)作直线 AB 分别交 OA,OB 于 A,B 两点,当 AB 的中点 C 恰好落在直线

y

A

C O B P x

y?

1 x 上时,求直线 AB 的方程. 2

19. (本小题满分 12 分) 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,M 分别 是棱 A1B1,AA1,B1C1 的中点. (1)求证:BF⊥平面 ADE; (2)是否存在过 E,M 两点且与平面 BFD1 平行的平 面?若存在,请指出并证明;若不存在,请说明理由. A F A1

D1
E M B1

C1

D B

C

20. (本小题满分 12 分) 因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一游泳池中. 为了治污,根据环保 部门的建议, 现决定在游泳池中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂. 已知每投 放a?

?1 ? 它在水中释放的浓度 y (克/升) 随着时间 x (天) ? a ? 3, a ? R ? 个单位的药剂, ?3 ?

? 12 ? 1? 0 ? x ? 4 ? ? ?6 ? x ( x ? R )变化的函数关系式近似为 y ? af ? x ? ,其中 f ? x ? ? ? . ?5 ? 1 x ? 4 ? x ? 10 ? ? ? 2
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若多次投放,则某一时刻水中的药剂的浓度不低于 3(克/升)时,它才能起到有效治污 的作用. (Ⅰ)若一次投放 3 个单位的药剂,则有效治污时间可达几天? (Ⅱ)若第一次投放 2 个单位的药剂,6 天后再投放 a 个单位的药剂,要使接下来的 4 天中能够持续有效治污,试求 a 的最小值.

21. (本小题满分 12 分) 已知

C : x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 .
C 的切线在 x 轴,y 轴上的截距相等,求此切线的方程;

(1)若

(2)从圆外一点 P ? x0 , y0 ? 向圆引切线 PM,M 为切点,O 为原点,若 PM ? PO , 求使

? x0 ? 2 ?

2

? y0 2 取最小值时 P 点的坐标.

22. (本小题满分 12 分) 对于定义域为 A 的函数 y ? f ? x ? ,若同时满足下列条件: ① f ? x ? 在 A 内具有单调性; ②存在区间 ? a, b ? ? A ,使 f ? x ? 在 ? a, b ? 上的值域为 ? a, b ? ; 则称 f ? x ? 为闭函数. (Ⅰ)求闭函数 y ? ? x 符合条件②的区间 ? a, b ? ;
3

(Ⅱ)判断函数 f ? x ? ?

3 1 x ? ? x ? 0 ? 是否为闭函数,并说明理由; 2 x

(Ⅲ)若函数 y ? k ? x ? 3 是闭函数,求实数 k 的取值范围.

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