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高二文科数学练习


惠州一中高二文科数学综合练习(2014.11.21)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1.若集合 A ? {1,3, x}, B ? {1, x2}, A ? B ? {1,3, x}, 则满足条件的实数 x 的个数有( A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( A. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n C. 若m‖? , m ‖ ? , 则?‖ ? 3.下列各式中,值为 A. sin15? cos15? B. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? D. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n )
2
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1 的是 ( 2
B. 2 cos

?
12

?1

C.

tan 22.5? 1 ? tan 2 22.5?

D. 1 ? cos60?
2

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4.已知向量 a ? (1 ,n), b ? (?1 ,n ? 2) ,若 a 与 b 共线,则 n 等于( A. 1 B. 2 C. 2 D.4



5.在等比数列 ?an ? 中,如果 a1 ? a2 ? 40,a3 ? a4 ? 60,那么 a7 ? a8 ? ( A.135
2



B.100
2

C.95
2

D.80 )
2 2

6.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 A. ? 2 B. 2

x y ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2 C. ? 4 D. 4

7.若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的坐标,则点 P 落在圆 x ? y ? 16 内的概率 为( ) A.

7 36

B.

2 9

C.

1 6

D.

1 4
频 率 组 距 0.04 0.03 0.02 0.01 40 50 60 70 80 时 速

8.某雷达测速区规定:凡车速大于或等于 70km/h 的汽车 视为“超速”,并将受到处罚,如图是某路段的一个检测 点对 200 辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方 图,则从图中可以看得出将被处罚的汽车大约有 ( ) 30 40 60 A. 辆 B. 辆 C. 辆 D. 80 辆 9. 若函数 f ( x ) 是奇函数,且在( 0, ?? )内是增函数,

f (?3) ? 0 ,则不等式 x ? f ( x) ? 0 的解集为( ) A. {x | ?3 ? x ? 0或x ? 3} B. {x | x ? ?3或0 ? x ? 3} C. {x | x ? ?3或x ? 3} D. {x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3}
2 2

10. 一束光线从点 A(?1,1) 出发,经 x 轴反射到圆 C : ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 上的最短路程是( A. 3 2 ? 1 B. 2 6 C. 4 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. 按下列程序框图来计算: 开始 D. 5



输入 x

x=3×x-2

x>200




输出 x

结束

如果 x=5,应该运算_______次才停止。

-1-

?x ? 2 y ? 4 ? 12. 实数 x, y 满足条件 ? x ? y ? 1 ,则 3x ? 5 y 的最大值是 ? y?0 ?
13. 若 sin(

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?

3 ? ? ) ? ,则 cos 2? ? _________。 2 5

14.已知双曲线C :

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 与椭圆 ? ? 1有相同的焦点, 且双曲线C的渐近线方程 a 2 b2 9 4 为y ? ?2 x, 则双曲线C的方程为

三、解答题(本部分共计 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3sin x cos x
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f ( x) 的最小正周期和值域; (2)求 f ( x ) 的单调递减区间.
(1)求
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17.(本小题满分 12 分) 口袋中装有质地大小完全的 5 个球,编号分别为 1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏:甲先摸一个球, 记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号.如果两个编号的和为偶数就算甲胜,否则算乙胜。 (1)求甲获胜且编号和为 6 且的概率; (2)这种游戏规则公平吗?说明理由。

-2-

18.(本小题满分 14 分) 如图所示,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD , PD ? AB ? 2 , E , F , G 分别为 PC 、 PD 、 BC 的中点. (1)求证:PA//平面 EFG ; (2)求证: GC ? 平面PEF ;
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(3)求三棱锥 P ? EFG 的体积.

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19.(本小题满分 14 分) 抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,过 F 的直线 l 与此抛物线 C 相交于 P、Q,且 FP ? ?2FQ . (Ⅰ)求直线 l 的斜率; (Ⅱ)若 | PQ |?

9 ,求此抛物线方程. 2

-3-

20.(本小题满分 14 分) ⑴已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c , 满足 f (0) ? f (1) ? 0, 且 f ( x ) 的最小值是 ? 求 f ( x ) 的解析式; ⑵设 f ( x ) =x2-2ax+2.当 x ? [?1, ??) 时, f ( x) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围.

1 . 4

21. (本小题满分 14 分) 已 知 点 A(1,1) 是 椭 圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上 的 一 点 , F1 , F2 是 椭 圆 的 两 个 焦 点 , 且 满 足 a2 b2

AF1 ? AF2 ? 4 .
(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率; (Ⅱ)设点 C , D 是椭圆上的两点,直线 AC , AD 的倾斜角互补,试判断直线 CD 的斜率是否为定值?并 说明理由.

-4-

惠州一中高二文科数学综合练习(2014.11.21)参考答案
一.选择题(10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

1、C

2、D

3、C

4、A

5、A

6、D

7、B

8、 B

9、D

10、C

二.填空题 11、4 12、12

7 13、 ? . 25

14、

y2 x ? ?1 4
2

三.解答题(本部分共计 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15.(本题满分 12 分)

1 ? cos 2 x sin 2 x ? 3 ???2 分 2 2 3 1 1 = sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 ? 1 = sin( 2 x ? ) ? ???4 分 6 2 1 3 2? ? ? ,值域为 [? , ] ∴ f ( x ) 的最小正周期为 T ? ???6 分 2 2 2 ? ? 3? ,k ?Z (2)当 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ???8 分 2 6 2 ? 5? , k ? Z 时,函数 f ( x ) 单调递减 ????????10 分 即 k? ? ? x ? k? ? 3 6 ? 5? ? f ( x) 的单调递减区间是 [k? ? , k? ? ](k ? Z ). ?????????12 分 3 6
解:(1) f ( x) ? 16.(本小题满分 12 分) 解:(1)设“甲胜且两个编号的和为 6”为事件 A .甲编号 x ,乙编号 y , ( x, y ) 表示一个基本事件,则 两人摸球结果包括(1,1),(1,2),??,(1,5),(2,1),(2,2),??,(5,4),(5, 5)共 25 个基本事件; --------------------------------- 1 分 A 包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)共 5 个 ------ 3 分 所以 P( A) ?

5 1 ? 25 5

--------------------------------- --------------------------------- 4 分

答:甲获胜且编号之和为 6 的概率为

1 。 5

----------------------------------------- 5 分

(2)这种游戏不公平. 设“甲胜”为事件 B ,“乙胜”为事件 C .甲胜即两编号之和为偶数所包含基本事件数为以下 13 个:(1, 1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4), (5,1),(5,3),(5,5) ------------------- --------------------------------7 分

13 , ------------------- ---9 分 25 13 12 ? 乙胜的概率为 P (C ) ? 1 ? , ------------------- ---11 分 25 25 ∵ P( B) ? P(C ) ,∴这种游戏规则不公平. ------------------- -----12 分 17、解:(1)证法 1:如图,取 AD 的中点 H ,连接 GH , FH ∵ E , F 分别为 PC , PD 的中点, ∴ EF CD ………2 分 ∵ G , H 分别为 BC , AD 的中点,∴ GH CD . ∴ EF GH .∴ E , F , H , G 四点共面 ………4 分 ∵ F , H 分别为 DP, DA 的中点,∴ PA FH .
所以甲胜的概率为 P ( B ) ?
-5-

P A. P E D. E F C. CF F. C G B. G B A H. A G. B

D

H E. D d

∵ PA ? 平面 EFG , FH ? 平面 EFG , ∴ PA 平面 EFG ………6 分. 证法 2:∵ E, F , G 分别为 PC , PD, BC 的中点,

CD , EG PB ………2 分 ∵ CD AB ,∴ EF AB .………3 分 ∵ PB AB ? B , EF EG ? E , ∴平面 EFG 平面 PAB . ∵ PA ? 平面 PAB ,∴ PA 平面 EFG .………6 分 (2)解:∵ PD ? 平面 ABCD , GC ? 平面 ABCD , ∴ GC ? PD . ………7 分 ∵ ABCD 为正方形,∴ GC ? CD .………8 分 ∵ PD CD ? D ,∴ GC ? 平面 PCD . ………10 分 1 1 (3)∵ PF ? PD ? 1 , EF ? CD ? 1 , 2 2 1 1 ∴ S ?PEF ? EF ? PF ? . ………12 分 2 2 1 ∵ GC ? BC ? 1 , 2 1 1 1 1 ∴ VP ? EFG ? VG ? PEF ? S ?PEF ? GC ? ? ? 1 ? ………14 分 3 3 2 6
18、解:(Ⅰ)直线 l 的斜率显然存在,且不为零,设为 k ,则直线 l : y ? k ( x ? 即x?

∴ EF

p ), 2

1 p 2p y ? ,将此方程代入 y 2 ? 2 px 并整理得: y 2 ? y ? p2 ? 0 , k 2 k 2p ① ? y1 ? y 2 ? k , 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则 ? ② ? y y ? ? p2 1 2
又 FP ? ?2FQ , 故 y1 ? 2 y2 ? 0 ③

2p y ?? ? 2 8 p2 k 2 由①③可得 ? ,代入②可得 ? 2 ? ? p , k ? y ? 4p 1 k 2 ∴ k ? 8 , k ? ?2 2 . 1 1 2 (Ⅱ) | PQ |?| y1 ? y2 | 1 ? 2 ? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? 1 ? 2 k k 2p 1 1 9p , ? ( ) 2 ? 4(? p 2 ) ? 1 ? 2 ? 2 p(1 ? 2 ) ? k k k 4 9 又 | PQ |? ,∴ p ? 2 , 2 2 ∴ 抛物线方程是 y ? 4 x
19.解: ⑴由二次函数图象的对称性, 可设 f ( x) ? a( x ? )2 ? 故 f ( x) ? x 2 ? x ⑵当 x ? [?1, ??) 时, f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a ,

1 2

1 ,又 f (0) ? 0 ? a ? 1 4

????????????4 分

当 a ? ?1 时, f ( x)min ? f (?1) ? 3 ? 2a ,………………6 分
-6-

?a ? ?1 由? 得: ?3 ? a ? ?1 ?3 ? 2a ? a 当 a ? ?1 时, f ( x)min ? f (a) ? a2 ? 2a2 ? 2 ? 2 ? a2 ,
? a ? ?1 由? 得: ?1 ? a ? 1 ???? 12 分 2 ?2 ? a ? a 综上所述,实数 a 的取值范围是 [?3,1]. ???? 14 分
20.(本小题满分 14 分)

4 x2 y2 解: (Ⅰ)由椭圆定义知 2a ? 4, 故 a ? 2 .即椭圆方程为 ? 2 ? 1 ,将(1,1)代入得 b 2 ? 3 4 b 2 2 x y ? ? 1. 故椭圆方程为 ?????4 4 4 3 4 8 6 2 因此 c ? 4 ? ? , 离心率 e ? . ?????6 分 3 3 3 ? (Ⅱ)设 C( xC , yC ), D( xD , yD ), 由题意知,直线 AC 的倾斜角不为 90 ,故设 AC 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 1 ,联立 ? y ? k ( x ? 1) ? 1, ? 2 消去 y 得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k (k ? 1) x ? 3k 2 ? 6k ? 1 ? 0 . ??8 分 3 2 ? x ? y ? 1 ? ? 4 4 3k 2 ? 6k ? 1 由点 A(1,1) 在椭圆上,可知 xC ? . ??10 分 3k 2 ? 1 因为直线 AC, AD 的倾斜角互补,
故 AD 的方程为 y ? ?k ( x ? 1) ? 1 ,同理可得 x D ? 所以 xC ? xD ?

?12k . 3k 2 ? 1

3k 2 ? 6k ? 1 . 3k 2 ? 1
??12 分

又 yC ? k ( xC ? 1) ? 1, yD ? ?k ( xD ? 1) ? 1, yC ? yD ? k ( xC ? xD ) ? 2k ? 所以 k CD ?

?4k , 3k 2 ? 1

yC ? y D 1 1 ? ,即直线 CD 的斜率为定值 . 3 xC ? x D 3

???????14 分

-7-


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