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2.2


2.2直接证明与间接证明
2.2.1

综合法和分析法

复习
推理
合情推理 演绎推理

类比 三段论 (特殊到一般) (特殊到特殊) (一般到特殊) 合情推理的结论不一定正确,有待证明; 演绎推理得到的结论一定正确. 归纳

回顾基本不等式:

a+b ? 2

ab

(a>0,b>0)的证明过程:
证明: 因为;( a ? b ) ? 0
2

a+b 证明:要证; ? ab 2 只需证;a + b ? 2 ab

所以 a + b ? 2 ab ? 0 所以 a + b ? 2 ab
a+b ? ab 成立 所以 2

只需证;a + b ? 2 ab ? 0
( a ? b )2 ? 0 只需证;

因为;( a ? b )2 ? 0 成立

a+b 所以 ? 2

ab成立

利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立,这种证明方 法叫做综合法 特点:“执因索果”

综合法又叫由因导果法或顺推证法.
用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:
P ? Q1
Q1 ? Q2
Q 2 ? Q3



Qn ? Q

一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求 推证过程中,使每一步结论成立的充分条件, 直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理 等)为止,这种证明的方法叫做分析法.

特点:执果索因.
分析法又叫执果索因法或叫逆推证法 用框图表示分析法的思考过程、特点.
Q ? P1
P1 ? P2

P2 ? P3



得到一个明显 成立的结论

例1:已知a>0,b>0,求证 a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 证明: 因为b2+c2 ≥2bc,a>0 所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b>0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.

例2:在△ABC中,三个内角A、B、C对应的边分 别为a、b、c,且A、B、C成等差数列,a、b、c成 等比数列,求证△ABC为等边三角形.
证明:由A,B,C成等差数列,有2B=A+C,---------------------------------------①
因为A,B,C是三角形的内角,所以A+B+C=180o,----------------------② 所以B=60o。---------------------------------------------------------------------③

由a,b,c成等比数列,有b2=ac, -----------------------------------------------④
则b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac, 再有④得a2+c2-ac=ac,即(a-c)2=0

因此a=c。从而有A=C----------------------------------------------------------⑤
则由② ③ ⑤得A=B=C=60o。 所以三角形ABC是等边三角形。

例1.已知点P是直角三角形ABC所在平面外的一点, O是斜边AB的中点,并且PA=PB=PC,求证: PO ? 平面ABC.

证明: OC,OP,如图所示,因为AB是Rt ?ABC的 连接 斜边,O是AB的中点,所以OA=OB=OC.又因为 PA=PB=PC,所以?POA≌? POB≌?POC, 所以?POA=?POB=?POC.因为?POA+?POB=180?, 所以?POA=?POB=90?,所以?POC=90?.即PO ? OA, PO ? OC且AO ? OC=O,所以PO ? 平面ABC.

素材1:已知a,b,c为正实数,a+b+c=1. 1 求证:a +b +c ? . 3
2 2 2

1 1 证明:方法1:a +b +c - = (3a 2+3b 2+3c 2-1) 3 3 1 2 = [3a +3b 2+3c 2-(a+b+c) 2 ] 3 1 = (3a 2+3b 2+3c 2-a 2-b 2-c 2-2ab-2ac-2bc) 3 1 2 2 2 = [(a-b) +(b-c) +(c-a ) ] ? 0. 3 1 2 2 2 所以a +b +c ? . 3
2 2 2

方法2: 因为(a+b+c) =a +b +c +2ab+2ac+2bc
2 2 2 2

? a +b +c +a +b +a +c +b +c ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

所以3(a +b +c ) ? (a+b+c) =1,
2 2 2 2

1 所以a +b +c ? . 3
2 2 2

方法3: 1 1 1 设a= +?,b= +?,c= +? .因为a+b+c=1, 3 3 3 所以?+?+? =0. 1 1 1 2 2 所以a +b +c =( +? ) +( +? ) +( +? ) 2 3 3 3 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 = + (?+?+? )+? +? +? = +? +? +? ? . 3 3 3 3 1 2 2 2 所以a +b +c ? . 3
2 2 2

2。分析法

例3:求证

3? 7 ?2 5

证明:因为 3 ? 7和2 5 都是正数, 所以为了证明 3 ? 7 ? 2 5 只需证明 ( 3 ? 7) 2 ? (2 5) 2

展开得 10 ? 2 21 ? 20 即 21 ? 5 只需证明21<25,因为21<25成立,
所以不等式
3 ? 7 ? 2 5 成立。

题型二

用分析法证明

例2.已知a ? b ? c,且a+b+c=0,求证:b 2 ? ac ? 3a

分析:本例可从结果入手,执果索因,逐步推证出 恒成立的条件.

证明:要证 b 2 ? ac ? 3a, 只需证b 2-ac ? 3a 2 只需证b 2+a (a+b) ? 3a 2, 只需证2a 2-ab-b 2 ? 0, 只需证(a-b)(2a+b) ? 0, 只需证(a-b)(a-c) ? 0. 因为a ? b ? c,所以a-b ? 0,a-c ? 0, 所以(a-b)(a-c) ? 0,显然成立,故原不等式成立.

素材2.若a、b、c是不全相等的正数,请用分析法证明: a?b b?c c?a lg +lg +lg ? lg a+lg b+lg c. 2 2 2

a?b b?c c?a 证明:要证 lg +lg +lg ? lg a+lg b+lg c成立. 2 2 2 a?b b?c c?a 即证 lg( ? ? ) ? lg ? abc ? 成立, 2 2 2 a?b b?c c?a 只需证明 ? ? ? abc成立. 2 2 2 a?b b?c c?a 因为 ? ab ? 0, ? bc ? 0, ? ca ? 0, 2 2 2 a?b b?c c?a 所以 ? ? ? abc ? 0 ?*? 成立. 2 2 2 又因为a、b、c是不全相等的正数. 所以?*? 式等号不成立,所以原不等式成立.

备选例题.(2010 ? 淮南模拟)在?ABC中,三个内角 1 1 3 A、B、C的对边分别为a、bc, ? ? , a?b b?c a?b?c 试问:A,B,C是否成等差数列,若不成等差数列, 请说明理由;若成等差数列,请给出证明.

证明:A,B,C成等差数列,下面用综合法给出证明. 1 1 3 a?b?c a?b?c 因为 ? ? ,所以 ? ? 3, a?b b?c a?b?c a?b b?c c a 所以 ? =1,所以c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), a?b b?c 所以b 2=a 2+c 2-ac.在?ABC中,由余弦定理, a 2 ? c2 ? b2 ac 1 得 cos B= = = .因为0? ? B ? 180?, 2ac 2ac 2 所以B=60?,所以A+C=2 B=120?, 所以A、B、C成等差数列.

2.2.2







思考?
将9个球分别染成红色或白色.那么无论怎 样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个 结论吗? 分析:假设有某种染法使红色球和白 色球的个数都不超过4, 则球的总数应不超过4+4=8, 这与球的总数是9矛盾.因此,无论怎 样染,至少有5个球是同色的.

?反证法的证明过程:
否定结论——推出矛盾——肯定结论, 即分三个步骤:反设—归谬—存真
反设——假设命题的结论不成立; 归谬——从假设出发,经过一系列正确的推理, ````````得出矛盾; 存真——由矛盾结果,断定反设不成立,从而 肯定原结论成立。

反证法的思维方法:正难则反
用反证法证明命题的过程用框图表示为:

肯定条件
否定结论





反设
不成立

结论
成立

逻辑矛盾

例5: 已知直线a,b和平面? ,如果a ? ? , b ? ? 且a∥b,求证:a ∥ ? ?
a b

?

P

看课本第90页,例题4。

理论

把这种不是直接从原命题的条件逐步 推得命题成立的证明方法称为间接证明
注:反证法是最常见的间接证法,

一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件 经过正确的推理, 下,结论不成立), 最后得出矛盾。 这样的 因此说明假设错误,从而证明了原命题成立, 证明方法叫做反证法(归谬法)。

归纳总结:
一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件 下,结论不成立),经过正确的推理, 最后得出矛盾。 这样的 因此说明假设错误,从而证明了原命题成立, 证明方法叫做反证法。
三个步骤:反设—归谬—存真 归缪矛盾: (1)与已知条件矛盾; (2)与已有公理、定理、定义矛盾; (3)自相矛盾。

练习 已知a≠0,证明x的方程ax=b有且只 有一个根。
证:由于a ≠0,因此方程至少有一个根x=b/a, ```如果方程不只一个根,不妨设x1,x2 (x1 ≠x2 )是 方程的两个根. 则ax1 = b,ax2 = b ∴ax1 = ax2 ∴ax1 - ax 2 = 0 ∴a(x1 - x2) 0 = ∵a ≠ 0 ∴x1 - x 2 ? 0,即x1 = x 2

与x1 ? x 2矛盾

故假设不成立,结论成立。

注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,
是唯一性问题,常用反证法

归纳总结:
哪些命题适宜用反证法加以证明? (1)直接证明有困难 (2)否定性命题 (3)唯一性命题 (4)至多,至少型命题

正难则反!
牛顿曾经说过:“反证法是数学家最精当的武器之一”

知识结构
合情推理 推理 推 理 与 证 明 证明 间接证明 演绎推理

归纳推理 类比推理

综合法
直接证明

分析法
反证法


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